陜西省寶雞市2023-2024學(xué)年高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷含答案

2023-2024學(xué)年高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共7小題，每小題4分，共28分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知集合的交集及補(bǔ)集定義運(yùn)算即得．【詳解】因則,故.故選：D．2.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用不等式的性質(zhì)判斷B、C、D；【詳解】解：對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，則，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，所以，所以，故D正確；故選：D3.在人類中，雙眼皮由顯性基因控制，單眼皮由隱性基因控制．當(dāng)一個(gè)人的基因型為或時(shí)，這個(gè)人就是雙眼皮，當(dāng)一個(gè)人的基因型為時(shí)，這個(gè)人就是單眼皮．隨機(jī)從父母的基因中各選出一個(gè)或者基因遺傳給孩子組合成新的基因．根據(jù)以上信息，則“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的概念判斷即可.【詳解】若父母均為單眼皮，則父母的基因一定為和，孩子就一定是單眼皮．若孩子為單眼皮，則父母的基因可能是和，即父母均為雙眼皮，故“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的充分不必要條件．故選：A4.取最小值時(shí)取值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可．【詳解】由題意可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即取最小值時(shí)的取值為．故選：．5.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列方程組即可求解.【詳解】由題知：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，解得，故選：C.6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)值的正負(fù)可判斷函數(shù)的圖象.【詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，而當(dāng)，，結(jié)合各選項(xiàng)中的圖象可得C是正確的，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，一般通過(guò)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)值的符號(hào)等來(lái)判斷，本題屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)，其圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足，且，則有（）A. B.C. D.，的大小不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)，作差比較.【詳解】已知函數(shù)，所以，，，因?yàn)椋?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查作差法比較函數(shù)值的大小，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．8.下列函數(shù)與表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同即為相等函數(shù)逐項(xiàng)判斷．【詳解】對(duì)于A：的定義域是，的定義域是，故，不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于的定義域是，的定義域是，，故，不是同一函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于的定義域是，的定義域是，且，故，是同一函數(shù)，故正確；對(duì)于的定義域是，的定義域是，且，故，是同一函數(shù)，故正確．故選：CD．9.下列命題中正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，的最大值是C.函數(shù)在，上是減函數(shù)D.當(dāng)，，都是正數(shù)時(shí)，有成立【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)．【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，可知在上是增函數(shù)，A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確；函數(shù)在和上是減函數(shù)，C錯(cuò)誤；當(dāng)，，都是正數(shù)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述三個(gè)不等式等號(hào)都成立，故，D正確．故選：ABD．10.若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意，恒有；②對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有.則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)，能被稱為“理想函數(shù)”的有（）A. B.C. D.函數(shù)滿足【答案】BC【解析】【分析】由題得函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)才是“理想函數(shù)”.A.,在定義域上不是單調(diào)減函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”；BC.是奇函數(shù)，是定義域上的減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”；D.，是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”.【詳解】解：對(duì)于定義域上的任意，恒有，所以函數(shù)是奇函數(shù)；對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，所以函數(shù)是減函數(shù).A.,是奇函數(shù)，但是在定義域上不是單調(diào)減函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”；B.，是奇函數(shù)，是定義域上的減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”；C.，函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)是奇函數(shù)，在定義域上單調(diào)遞減，所以是“理想函數(shù)”；D.函數(shù)滿足，所以，是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”；故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．11.學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（2）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.同時(shí)參加田徑和球類比賽的同學(xué)有_________人.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，同時(shí)參加游泳和田徑的有3人，同時(shí)參加游泳和球類比賽的有3人，可以求得只參加游泳比賽的人數(shù)；再結(jié)合總?cè)藬?shù)即可求得同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)．【詳解】解：有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，這三項(xiàng)累加時(shí)，比全班人數(shù)多算了三部分，即同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的、同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的和同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的重復(fù)算了兩次所以，就是同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的人數(shù)，所以同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有3人．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合之間的元素關(guān)系，注意每?jī)煞N比賽的公共部分，屬于中檔題．12.已知函數(shù)，若不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出實(shí)數(shù)的值．【詳解】，即，解集，所以，且是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，于是由韋達(dá)定理可得，解得不符合題意，舍去）．故答案為：．13.已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求得的值，再根據(jù)偶函數(shù)的定義可求得的值，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是偶函數(shù)，則有，解可得，此時(shí)，又因其為偶函數(shù)，所以，解得，故.故答案為：.14.對(duì)，，記，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．【答案】##1.5【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在同一個(gè)處取得的兩個(gè)函數(shù)值的較大的值，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】函數(shù)是函數(shù)與函數(shù)同一個(gè)取得的兩個(gè)函數(shù)值的較大的值，作函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，由圖象可知，令，得或，故當(dāng)時(shí)，的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共57分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知，，求，．【答案】，．【解析】【分析】先求出集合，，然后結(jié)合集合的并集運(yùn)算，交集及補(bǔ)集運(yùn)算即可求解．【詳解】因?yàn)榛?，或，所以，?6.已知：實(shí)數(shù)滿足，其中；：實(shí)數(shù)滿足（1）若，且，均正確，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式，取交集即得；（2）由題設(shè)可推得集合間的包含關(guān)系，從而得到關(guān)于的不等式組，求解即得．【小問(wèn)1詳解】時(shí)，由解得：，由解得：，因均正確，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【小問(wèn)2詳解】由是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件，因?yàn)?，為，故為的真子集，，解得：，故?shí)數(shù)的取值范圍是．17.（1）當(dāng)取什么值時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立？（2）若實(shí)數(shù)，，滿足，則稱比遠(yuǎn)離．對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，證明比遠(yuǎn)離．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由題意知，，再求出取值范圍即可；（2）根據(jù)題意，對(duì)代數(shù)式作差，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立，；當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，，解得．綜上，的取值范圍為，．（2）證明：，，，，比遠(yuǎn)離．18.已知二次函數(shù)滿足（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值【答案】（1）f（x）＝x2－2x＋2；f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)；（2）最大值5，最小值1．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）結(jié)合的單調(diào)性可得出答案.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f（0）＝2，得c＝2，又f(x＋1)－f（x）＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1故解得：a＝1，b＝－2．所以f（x）＝x2－2x＋2．f（x）＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x＝1，且開(kāi)口向上，所以f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)．（2）f（x）＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，對(duì)稱軸為x＝1∈[－1，2]，故，又f(－1)＝5，f（2）＝2，所以【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求解析式和二次函數(shù)最值問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握情況，較簡(jiǎn)單.19.如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為．（1）求函數(shù)解析式；（2）若時(shí)，成立，則當(dāng)正實(shí)數(shù)滿足時(shí)，求的最小值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象，分類討論求函數(shù)的解析式；（2）由（1）及知從而得的最小值1，再化簡(jiǎn)，從而求最小值．【小問(wèn)1詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述．【小問(wèn)2詳解】由（1）及知，，又，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3．20.已知函數(shù)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)滿足且當(dāng)時(shí)，.（1）求與的值；（2）判斷并證明的奇偶性和單調(diào)性；（3）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）偶函數(shù)，在?∞,0為減函數(shù)，在0,+∞上為增函數(shù)；（3）或或【解析】【分析】（1）利用賦值法，令，可求得的值，令，可求得的值；（2）判斷定義域?yàn)?，令，結(jié)合（1）中，化簡(jiǎn)可得，可得是偶函數(shù)；設(shè)，則，由題意可得，利用定義法即可證明在0,+∞單調(diào)性，根據(jù)是偶函數(shù)，可得在?∞,0的單調(diào)性；（3）根據(jù)（1）和（2）結(jié)論，將題干化簡(jiǎn)為或，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.【詳解】（1