對(duì)數(shù)函數(shù)及其冪函數(shù)教案及復(fù)習(xí)資料詳解

/對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、冪函數(shù)的概念。4、五種冪函數(shù)的圖象并歸納他們的基本性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。二、能力訓(xùn)練要求1、理解對(duì)數(shù)函數(shù)的的概念.2、掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).3、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí).4、理解冪函數(shù)的概念。5、理解五種冪函數(shù)的圖象并歸納他們的基本性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)冪函數(shù)的概念從五個(gè)具體冪函數(shù)中認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的一些性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的關(guān)系畫五個(gè)具體冪函數(shù)的圖象并由圖象概括其性質(zhì)，體會(huì)圖象的變化規(guī)律對(duì)數(shù)及其對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)的概念（1）定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對(duì)數(shù)，記作其中稱對(duì)數(shù)的底，N稱真數(shù)。=1\*GB3①以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，記作；=2\*GB3②以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，，記作；（2）基本性質(zhì)：=1\*GB3①真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù)）；2）；=3\*GB3③；4）對(duì)數(shù)恒等式：。（3）運(yùn)算性質(zhì)：如果則=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③R）。（4）換底公式：兩個(gè)非常有用的結(jié)論=1\*GB3①；=2\*GB3②。【注】指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類型：af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;（定義法）af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0（轉(zhuǎn)化法）af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取對(duì)數(shù)法)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(換底法)2．對(duì)數(shù)函數(shù)定義一般地，當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，函數(shù)y=㏒2x.叫做對(duì)數(shù)函數(shù).這里大家要明確，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以，對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式可以由指數(shù)函數(shù)求反函數(shù)得到，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域也就是指數(shù)函數(shù)的值域、定義域.即對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R.3．對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）圖象：由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象作關(guān)于的對(duì)稱圖形，即可獲得。同樣：也分與兩種情況歸納，以（圖1）與（圖2）為例。111111（圖1）（圖2）（圖1）（圖2）（2）對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)列表：圖象 性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）過(guò)點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，（4）在（0，+∞）上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)冪函數(shù)1.問題引入我們先看下面幾個(gè)具體問題:(1).如果圣誕節(jié)卡片每張1元，那么買x張卡片需y元。y=x(2).如果正方形的邊長(zhǎng)為x，面積為y。y=(3).如果正方形邊長(zhǎng)為x，體積為y。y=(4).如果正方形的面積為x，邊長(zhǎng)為y。y=(5).如果某人x秒內(nèi)騎車行了1km,他騎車的平均速度為y.y=以上問題中的函數(shù)具有什么共同特征？答：共同特征：（1）都是函數(shù)；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數(shù)為常數(shù)；（4）自變量前的系數(shù)為1;2、冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)注：一般我們討論為有理數(shù)的情況3、冪函數(shù)性質(zhì)的探究：對(duì)于冪函數(shù)，我們只討論=1，2，3，，–1時(shí)的情形。

定義域

R

R

R

值域

R

R

奇偶性

奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)單調(diào)性

公共點(diǎn)

（1，1）通過(guò)上表我們得出：函數(shù)，，，和得圖像都通過(guò)點(diǎn)（1，1）函數(shù)，，是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)在區(qū)間上，函數(shù)，，，是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖像向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近。由上述推理歸納：冪函數(shù)的性質(zhì)如下(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1);(2)指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù),指數(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)(3)如果＞０，則冪函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；如果＜０，則冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無(wú)限接近，圖象向右與x軸無(wú)限接近。4、課堂小結(jié)（1）學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義（2）對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性判別“同指數(shù)不同底數(shù)”的冪的大?。?）數(shù)形結(jié)合思想的再次升華典例解析例1．計(jì)算（1）；（2）；（3）。例2．設(shè)、、為正數(shù)，且滿足（1）求證：；（2）若，，求、、的值。例3.（1）已知log189=a,18b=5,求log3645（用a,b表示）（2）設(shè)求證：例4．設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。.例5.已知y=loga(2－ax)在區(qū)間[0，1]上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍．例6，已知函數(shù)f(x)=loga(a－ax)且a＞1，（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；例7.已知冪函數(shù)的圖象與軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，求的值。課后練習(xí)1．函數(shù)的定義域是，值域是.2．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解為.3．函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是.4．若函數(shù)log2(kx2+4kx+3)的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是___________.5．設(shè)若時(shí)有意義，求實(shí)數(shù)的范圍6.已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求函數(shù)f(x)的值域.7.如圖，A，B，C為函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+2,t+4(t1).(1)設(shè)ABC的面積為S求S=f(t)；(2)判斷函數(shù)S=f(t)的單調(diào)性；(3)求S=f(t)的最大值.8.已知冪函數(shù)在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，求的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)例題答案與解析例1.解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。例2．證明：（1）左邊；解：（2）由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，從而。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見形式再來(lái)處理即可。例3.（1）解：∵log189=a∴∴l(xiāng)og182=1a∵18b=5∴l(xiāng)og185=b∴（2）證：∵∴∴題型4：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例4．解：（1）原方程為，，時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）①當(dāng)時(shí)，，∴方程有唯一解；②當(dāng)時(shí)，.的解為；令的解為；綜合①、②，得1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：；2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；3）當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解。點(diǎn)評(píng)：具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的特點(diǎn)，題型非常廣泛，應(yīng)通過(guò)解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)。例5.解析：先求函數(shù)定義域：由2－ax＞0，得ax＜2又a是對(duì)數(shù)的底數(shù)，∴a＞0且a≠1，∴x＜由遞減區(qū)間[0，1]應(yīng)在定義域內(nèi)可得＞1，∴a＜2又2－ax在x∈[0，1]是減函數(shù)∴y=loga(2－ax)在區(qū)間[0，1]也是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：a＞1∴1＜a＜2例6．解析：(1)定義域?yàn)?－∞，1)，值域?yàn)?－∞，1)(2)設(shè)1＞x2＞x1∵a＞1，∴，于是a－＜a－則loga(a－a)＜loga(a－)即f(x2)＜f(x1)∴f(x)在定義域(－∞，1)上是減函數(shù)例7，解：因?yàn)榈膱D象與x,y軸都無(wú)交點(diǎn)，所以，，所以，m可取0，1，2。因?yàn)榈膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱所以m=1課后習(xí)題答案與解析1．2.03.4. 5.解：由已知得，當(dāng)時(shí)，∴∴∴，∴，∴6.解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?1，p).(2)當(dāng)p＞3時(shí)，f(x)的值域?yàn)?－∞，2log2(p+1)－2)；當(dāng)1＜p3時(shí)，f(x)的值域?yàn)?－，1+log2(p+1)).7.解：（1）過(guò)A,B,C,分別作AA1,BB1,CC1垂直于x軸，垂足為