自動控制原理3.1

第三章時(shí)域分析法第三章時(shí)域分析法上一章中，我們介紹了如何確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在確定了模型后，就可以用不同的方法去分析控制系統(tǒng)的性能了。在經(jīng)典控制理論中，常用時(shí)域分析法、根軌跡法、頻域法來分析線性系統(tǒng)的性能。時(shí)域分析法是一種直接在時(shí)間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。第三章時(shí)域分析法一、線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)性能的評價(jià)分為動態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩類。

其動態(tài)性能可以通過對輸入信號的響應(yīng)過程來評價(jià)。系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和外加輸入信號的形式有關(guān)。一般，外加輸入信號具有隨機(jī)性而無法預(yù)先確定，因此，在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要有一個(gè)對控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基準(zhǔn)，這個(gè)基準(zhǔn)就是系統(tǒng)對預(yù)先規(guī)定的具有典型意義的實(shí)驗(yàn)信號，即典型輸入信號的響應(yīng)。為了評價(jià)控制系統(tǒng)的性能，需要選擇若干典型輸入信號。一、線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)1.典型輸入信號條件：（1）輸入信號的形式應(yīng)反映系統(tǒng)在工作過程中所響應(yīng)的實(shí)際輸入；（2）輸入信號在形式上應(yīng)盡可能簡單，以便于對系統(tǒng)響應(yīng)的分析；（3）應(yīng)選取能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為典型輸入信號。

如何選取典型的輸入信號呢？1.典型輸入信號㈠階躍函數(shù)階躍函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中R為常數(shù)，表示階躍函數(shù)信號的幅值。

當(dāng)R=1時(shí)為單位階躍函數(shù)，其拉氏變換為：1.典型輸入信號㈡單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：且其拉氏變換為：1.典型輸入信號㈢斜坡函數(shù)斜坡函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中R為常數(shù)。當(dāng)R=1時(shí)表示的是單位斜坡函數(shù)，記為t·1（t），它等于單位階躍函數(shù)對時(shí)間的積分。單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

R（S）=L[r(t)]=1/s21.典型輸入信號㈣拋物線函數(shù)（勻加速函數(shù)）拋物線函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中R為常數(shù)。

當(dāng)R=1時(shí)，為單位拋物線函數(shù)，記為其拉氏變換為1.典型輸入信號㈤正弦函數(shù)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

A是正弦函數(shù)的幅值。其拉氏變換為1.典型輸入信號總結(jié)：在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，究竟采用哪一種典型輸入信號作為實(shí)驗(yàn)信號，需要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況來決定。一般而言：（1）如果系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸增加的信號，選擇斜坡函數(shù)作為實(shí)驗(yàn)信號較為合適；（2）如果系統(tǒng)輸入端的信號突然出現(xiàn)擾動時(shí)，應(yīng)選擇階躍函數(shù)作為實(shí)驗(yàn)信號；（3）如果系統(tǒng)的輸入端的信號是沖擊輸入量時(shí)，選擇脈沖函數(shù)較適宜；（4）如果是工作在艦船上的一類控制系統(tǒng)，由于經(jīng)常受到海浪的干擾，則用正弦函數(shù)或至少用拋物線函數(shù)作為實(shí)驗(yàn)函數(shù)是合理的。第三章時(shí)域分析法二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)為了評價(jià)線性系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)的性能，需要研究其在典型輸入信號作用下的時(shí)間響應(yīng)過程。在典型輸入信號作用下，控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可分為動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩個(gè)部分。二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

1動態(tài)過程也稱過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的過程。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇的情況，動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散和等幅振蕩幾種形態(tài)。顯然，一個(gè)可以正常運(yùn)行的控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，換句話說系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定的信息外，還可以提供其響應(yīng)速度和阻尼情況等信息，這些信息用系統(tǒng)的動態(tài)性能描述。

二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)2穩(wěn)態(tài)過程也稱系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，指系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，其輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能描述。實(shí)際應(yīng)用中，認(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)的輸出對其輸入的復(fù)現(xiàn)進(jìn)入到允許的誤差范圍后，系統(tǒng)即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)由上述兩點(diǎn)可見，控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標(biāo)由動態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩部分組成。一般認(rèn)為階躍輸入對系統(tǒng)來說是最為嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，通常在階躍函數(shù)作用下測定或計(jì)算系統(tǒng)的動態(tài)性能。而系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)就用其在單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)，即系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來描述。二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)為便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。對于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實(shí)際情況的?？刂葡到y(tǒng)的典型單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示：二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)單位階躍響應(yīng)及動態(tài)性能指標(biāo)二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)根據(jù)圖中展示的響應(yīng)特性，定義如下動態(tài)性能指標(biāo)：（1）上升時(shí)間。指階躍響應(yīng)從零第一次上升到其穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間?？紤]到不靈敏區(qū)或允許的誤差，工程上有時(shí)取響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需要的時(shí)間。（2）峰值時(shí)間。指階躍響應(yīng)從運(yùn)動開始到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間。（3）延遲時(shí)間。指階躍響應(yīng)從運(yùn)動開始第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值的50%所需要的時(shí)間。二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)（4）調(diào)節(jié)時(shí)間。又稱過渡過程時(shí)間，指系統(tǒng)的動態(tài)過渡過程時(shí)間。應(yīng)用中，以階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為基準(zhǔn)設(shè)置允許誤差帶寬度為±Δ，階躍響應(yīng)進(jìn)入誤差帶的時(shí)間定義為調(diào)節(jié)時(shí)間。

Δ為階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值的2%或5%。（5）超調(diào)量σ%。指階躍響應(yīng)的最大峰值超出其穩(wěn)態(tài)值的部分，用百分比表示為：二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)上述五個(gè)動態(tài)性能指標(biāo)基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)過程的特征。其中，、、反映了系統(tǒng)響應(yīng)的初始快速性（起動速度）；體現(xiàn)了系統(tǒng)響應(yīng)的總體快速性（系統(tǒng)收斂的速度）；σ%描述了系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性或系統(tǒng)的阻尼程度。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)是表征系統(tǒng)控制準(zhǔn)確性的性能指標(biāo)，一般用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。對單位反饋控制系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)間t

時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的實(shí)際值與期望值之間的差就定義為穩(wěn)態(tài)誤差，記為ess。第三章時(shí)域分析法三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析可以用一階微分方程描述的系統(tǒng)被稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為典型閉環(huán)控制的一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為C(s)-R(s)三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),其拉氏變換為R(s)=1/s,則輸出的拉氏變換為

對上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為

三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

上式表明，當(dāng)初始條件為零時(shí)，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線,式中的1為穩(wěn)態(tài)分量，-e-t/T為瞬態(tài)分量，當(dāng)t→∞時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個(gè)工作時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會超過穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。

三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

圖中指數(shù)響應(yīng)曲線的初始（t=0時(shí)）斜率為1/T。因此，如果系統(tǒng)保持初始響應(yīng)的變化速度不變，則當(dāng)t=T時(shí)，輸出量就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。斜率1C(t)0.95T3T0.632一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析實(shí)際上，響應(yīng)曲線的斜率是不斷下降的，經(jīng)過T時(shí)間后，輸出量C（T）從零上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。經(jīng)過3T～4T時(shí)，

C（t）將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%～98%?？梢?，時(shí)間常數(shù)T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過程的快速性也越好。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無超調(diào)量，主要性能指標(biāo)是調(diào)節(jié)時(shí)間，一般取

=3T(Δ=5%C())=4T(Δ=2%C())

三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析2一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù)r(t)=δ(t),其拉氏變換為R(s)=1,則輸出響應(yīng)的拉氏變換為對上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位脈沖響應(yīng)為

t≥0三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線，

曲線的初始斜率為-1/T2，輸出量的初始值為1/T

。

當(dāng)t趨于∞時(shí)，輸出量c(∞)趨于零，所以它不存在

穩(wěn)態(tài)分量。在實(shí)際中一般認(rèn)為在

t=3T～4T時(shí)過渡過程結(jié)束，故系

統(tǒng)過渡過程的快速性取決于T的值，

T越小系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好。0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t，其拉氏變換為R(s)=1/s2則輸出的拉氏變換為

t≥0三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析式中，t-T為穩(wěn)態(tài)分量，Te-T/t

為瞬態(tài)分量，當(dāng)t→∞時(shí)，瞬態(tài)分量衰減到零。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線如圖所示。TtTC(t)r(t)=to

一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析

顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)從t=0時(shí)開始跟蹤輸入信號而單調(diào)上升，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號同速增長，但它們之間存在跟隨誤差。即且

可見，當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，誤差趨近于T，因此系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時(shí)刻，輸出量c(t)

將小于輸入量r(t)一個(gè)T的值，時(shí)間常數(shù)T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析輸入信號輸出響應(yīng)1（t）1-e-t/Tt≥0δ（t）1/T·e-t/Tt≥0t1（t）t-T+Te-t/T

t≥0

一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)關(guān)系式三、一階系統(tǒng)時(shí)域分析表中各響應(yīng)說明如下結(jié)論：（1）一