2024-2025學(xué)年貴州省貴陽市樂灣國際實驗學(xué)校高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年貴州省貴陽市樂灣國際實驗學(xué)校高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2i1+i(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列可使a，b，c構(gòu)成空間的一個基底的條件是(

)A.a，b，c兩兩垂直 B.b=λc

C.a=m3.已知μ=(3,a+b,a?b)(a,b∈R)是直線l的方向向量，n=(1,2,3)是平面α的法向量，若l⊥α，則(

)A.a=1，b=8 B.a=?1，b=?2

C.a=32，b=?152 4.已知空間中三點A(1,1,0)，B(2,?2,0)，C(0,?1,3)，則(

)A.AB與AC是共線向量

B.與AC同向的單位向量是(66,?63,66)

C.5.若向量{e1,e2,e3}是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量a，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使得：a=xe1+ye2+ze3，我們把有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做基底{A.(12,?32,3) B.(?6.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，PA.當(dāng)λ=0時，點P在棱BB1上

B.當(dāng)λ=μ時，點P在線段B1C上

C.當(dāng)μ=1時，點P在棱B1C1上

D.

7.如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，且GN=2MG，現(xiàn)用向量OA，OB，OC表示向量OG，設(shè)OG=xOA+yOB+zOC，則x，y，A.x=13,y=13,z=13

8.已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，棱AA1、AB、AD兩兩的夾角均為60°，AA1=2AB，AB=ADA.12

B.13

C.14二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知單位向量a，b的夾角為θ，則下列結(jié)論正確的有(

)A.(a+b)⊥(a?b)B.a在b方向上的投影向量為|a|cosθb|10.下列命題正確的是(

)A.若p=2x+3y，則p與x，y共面

B.若MP=2MA+3MB，則M，P，A，B共面

C.若OA+OB+OC+OD=0，則A，B，C11.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，B1C1上的點，且BM=2A1MA.AB與B1C1的夾角為60° B.MN=13三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=25，且z?4是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=______．13.直線m的方向向量為m=(1,?2,λ)，直線n的方向向量為n=(?2,4,5)，平面α的法向量為k=(μ,?8,γ)，m⊥n，n⊥α，則λ、μ、γ14.在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過點(x0,y0,z0)，且以向量n=(a,b,c)(abc≠0)為方向向量，則這條直線可以用方程x?x四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中3asinBcosA=bsin2A．

(1)求A的值；

(2)若△ABC的面積為316.(本小題12分)

(1)如圖，在三棱錐O?ABC中，OA⊥BC，OC⊥AB.求證：OB⊥AC．

(2)平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AD=1，AB=2，AA117.(本小題12分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點，M為棱CE的中點．

(1)證明：BC⊥C1E18.(本小題12分)

四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，點E是棱PC上一點．

(1)求證：平面PAC⊥平面BDE；

(2)當(dāng)E為PC的一個三等分點，即PC=3PE時，求四面體PBDE的體積；

(3)當(dāng)E為PC中點時，求平面ABE與平面BDE夾角的大?。?9.(本小題12分)

對于實數(shù)a1，b1，a2，b2，稱a1a2b1b2為二階行列式，定義其一種運算：a1a2b1b2=a1b2?a2b1.對于向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,參考答案1.A

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.C

8.D

9.AB

10.ABD

11.BD

12.4+2i或4?2i

13.2、4、?10

14.2

15.解：(1)由正弦定理得3sinAsinBcosA=sinBsin2A，

因為sinA，sinB≠0，故3cosA=sinA，則tanA=3，

因為A∈(0,π)，故A=π3．

(2)由題意S△ABC=12bcsinA=34bc=16.解：(1)證明：∵OA⊥BC，∴OA?BC=OA?(OC?OB)=0，

∴OA?OC=OA?OB，

同理由OC⊥AB，∴OA?OC=OC?OB，

∴OA?OB=OC?OB，∴OB?(OC?OA)=17.解：(1)證明：根據(jù)題意，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，

因為側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥AB，A1A⊥AD

又因為AB⊥AD，則以A為坐標(biāo)原點，以AD，AA1，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則B(0,0,2)，D(1,0,0)，C(1,0,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,1)，B1(0,2,2)，

所以BC=(1,0,?1)，EC1=(1,1,1)，所以BC?EC1=1×1+0+1×(?1)=0，

所以BC⊥EC1，故BC⊥C1E；

(2)根據(jù)題意，C(1,0,1)，E(0,1,0)，而M為棱CE的中點，則M(12,12,12)，

18.解：(1)證明：∵底面ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴PA⊥BD，又BD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，又BD?平面BDE，

∴平面PAC⊥平面BDE．

(2)因為PC=3PE，

所以VP?BDE=12VC?BDE′，

故VP?BDE=13VP?BCD，

又VP?BCD=12VP?ABCD′，

所以VP?BDE=16VP?ABCD′，

又PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，

所以VP?ABCD=13×4×2=83，

所以VP?BDE=16×83=49，

所以四面體PBDE的體積為49；

(3)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，

所以PA，AD，AB兩兩垂直，

以A坐標(biāo)原點，以AB，AD，AP為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，

所以AB=(2,0,0)，BE=(?1,1,1)，BD=(?2,2,0)，

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AB=2x=0n?BE=?x+y+z=0，

解得x=0，令y=1，得z=?1，