《20.3一次函數(shù)的性質(zhì)》講義

《20.3一次函數(shù)的性質(zhì)》講義同學(xué)們，咱們現(xiàn)在已經(jīng)到了八年級(jí)第二學(xué)期，在滬教版的數(shù)學(xué)課本里，今天要好好講講第二十章一次函數(shù)里的20.3一次函數(shù)的性質(zhì)。一、一次函數(shù)的樣子咱們先得知道一次函數(shù)長啥樣，一次函數(shù)啊，它的表達(dá)式就是y＝kx＋b（這里的k和b都是常數(shù)，而且k可不能等于0哦）。就像我們?nèi)ド痰曩I東西，這個(gè)表達(dá)式就是一種規(guī)則，x就像是我們拿進(jìn)去的東西的數(shù)量，y就是我們要付的錢。比如說，咱們?nèi)ベI鉛筆，每支鉛筆2元（這里k就相當(dāng)于2啦），如果我們?cè)偌由弦粋€(gè)固定的費(fèi)用，比如說買本子的5元（這個(gè)5元就相當(dāng)于b啦），那我們總共要花的錢y就可以用y＝2x+5這個(gè)一次函數(shù)來表示。二、k的魔法1、k決定函數(shù)的傾斜方向這個(gè)k啊，可神奇了。當(dāng)k大于0的時(shí)候，一次函數(shù)的圖像就像是一個(gè)人在爬坡，是從左向右往上走的。我給大家講個(gè)事兒啊，我有一次去爬山，那個(gè)山路就有點(diǎn)像k大于0的一次函數(shù)圖像。我從山腳下開始往上爬，越走越高，就像y的值隨著x的值增加而增加一樣。比如說y＝3x＋1這個(gè)函數(shù)，當(dāng)x從1變成2的時(shí)候，y就從3×1＋1＝4變成了3×2＋1＝7，是不是就像在爬山，越來越高呢？2、k決定函數(shù)的傾斜程度而且k的大小還能決定這個(gè)“坡”的陡緩程度呢。k越大，這個(gè)坡就越陡。我又想到一個(gè)例子，有一次我看到兩個(gè)滑梯，一個(gè)滑梯的傾斜度比較小，小朋友滑得比較慢，就像k比較小的一次函數(shù)圖像；另一個(gè)滑梯傾斜度很大，小朋友嗖的一下就滑下去了，這個(gè)就像k比較大的一次函數(shù)圖像。比如說y＝0.5x＋2和y＝2x＋2，y＝2x＋2這個(gè)函數(shù)的圖像就比y＝0.5x＋2的圖像要陡得多。三、b的奧秘1、b是y軸上的截距再來說說b，這個(gè)b呢，它就是一次函數(shù)圖像和y軸相交的那個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)。簡單說，就是當(dāng)x＝0的時(shí)候，y的值就是b。我記得有一次我在看溫度計(jì)，這個(gè)溫度計(jì)的初始刻度就有點(diǎn)像b。假如我們把溫度的變化看成是一個(gè)一次函數(shù)，這個(gè)初始刻度就是不管溫度怎么變化，一開始就有的那個(gè)數(shù)值。比如說y＝2x＋3，當(dāng)x＝0的時(shí)候，y＝3，這個(gè)3就是b，就像溫度計(jì)在沒開始測量溫度變化之前的初始刻度。2、不同b值的圖像平移如果k相同，b不同，那這些一次函數(shù)的圖像就像是一排整齊的士兵，只是站的位置不一樣。它們是互相平行的，只是在y軸上的截距不同。我看到過這樣的場景，在建筑工地上，有一排一樣斜度的樓梯，但是它們的起始高度不一樣，這就像不同b值的一次函數(shù)圖像，雖然傾斜程度一樣（k相同），但是和y軸相交的點(diǎn)不一樣（b不同）。比如說y＝2x＋1和y＝2x＋3，它們的圖像就是平行的，只是y＝2x＋3的圖像在y軸上的截距比y＝2x＋1的圖像在y軸上的截距要大。四、一次函數(shù)的增減性1、當(dāng)k＞0時(shí)當(dāng)k大于0的時(shí)候，一次函數(shù)是單調(diào)遞增的。這是什么意思呢？就是說隨著x的增大，y也跟著增大。就像我們跑步，隨著時(shí)間（x）的增加，我們跑過的距離（y）也會(huì)增加，如果我們的速度是恒定的（這里速度就有點(diǎn)像k）。比如說y＝2x＋1，當(dāng)x從1變成3的時(shí)候，y就從2×1＋1＝3變成了2×3＋1＝7，y隨著x的增大而增大了。2、當(dāng)k＜0時(shí)而當(dāng)k小于0的時(shí)候呢，一次函數(shù)是單調(diào)遞減的。就像我們騎車下坡，不用踩踏板，隨著時(shí)間（x）的增加，我們距離坡頂?shù)母叨龋▂）就會(huì)越來越小。比如說y＝2x＋3，當(dāng)x從1變成3的時(shí)候，y就從-2×1＋3＝1變成了-2×3＋3＝－3，y隨著x的增大而減小了。五、一次函數(shù)的奇偶性1、特殊情況有些一次函數(shù)是奇函數(shù)或者偶函數(shù)。如果b＝0，那么一次函數(shù)y＝kx就是奇函數(shù)。奇函數(shù)有一個(gè)很有趣的特點(diǎn)，就是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。我給大家舉個(gè)例子，就像一個(gè)圓形的摩天輪，它的中心就是原點(diǎn)。如果我們把摩天輪的一邊看成是一次函數(shù)y＝kx的圖像的一部分，那么另一邊就是它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分。比如說y＝3x，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－3，是不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？2、一般情況但是如果b不等于0，那么一次函數(shù)y＝kx＋b就既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。這就像一個(gè)不對(duì)稱的東西，比如說我們的鞋子，左右腳的鞋子形狀一樣，但是如果把一只鞋子放在原點(diǎn)，它的兩邊并不對(duì)稱，就像y＝2x＋1這樣的一次函數(shù)。六、一次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用1、成本與產(chǎn)量在工廠里，一次函數(shù)經(jīng)常被用來計(jì)算成本和產(chǎn)量的關(guān)系。比如說，生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品的成本包括固定成本和變動(dòng)成本。固定成本就像我們前面說的b，不管生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品，這個(gè)成本都存在。變動(dòng)成本就像kx，隨著產(chǎn)量x的增加而增加。如果一個(gè)工廠生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品的變動(dòng)成本是5元（k＝5），固定成本是1000元（b＝1000），那么總成本y就可以用y＝5x＋1000這個(gè)一次函數(shù)來表示。這樣，老板就可以根據(jù)這個(gè)函數(shù)來計(jì)算不同產(chǎn)量下的成本，從而決定生產(chǎn)多少產(chǎn)品最劃算。2、距離與時(shí)間在我們出行的時(shí)候，一次函數(shù)也能派上用場。假如我們坐汽車，汽車的速度是恒定的，比如說每小時(shí)60千米（k＝60），我們一開始離出發(fā)點(diǎn)的距離是10千米（b＝10），那么我們離出發(fā)點(diǎn)的距離y和時(shí)間x的關(guān)系就可以用y＝60x+10來表示。這樣我們就可以知道在不同時(shí)間我們離出發(fā)點(diǎn)有多遠(yuǎn)了。七、課程重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)重點(diǎn)就是要理解k和b對(duì)一次函數(shù)圖像和性質(zhì)的影響。要能熟練地根據(jù)k和b的值畫出一次函數(shù)的圖像，并且知道這個(gè)函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減的。就像我們要記住不同的鑰匙開不同的鎖一樣，看到k和b的值就能馬上知道這個(gè)一次函數(shù)的各種性質(zhì)。2、難點(diǎn)難點(diǎn)呢，可能就是對(duì)一次函數(shù)奇偶性的理解，尤其是對(duì)于b不等于0時(shí)為什么不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，這個(gè)可能有點(diǎn)繞。還有就是在實(shí)際生活中如何準(zhǔn)確地找出一次函數(shù)的關(guān)系，因?yàn)閷?shí)際生活中的情況有時(shí)候比較復(fù)雜，就像我們?cè)谝欢央s