高中數(shù)學競賽講義完美數(shù)學高考指導一

高中數(shù)學競賽講義+完美數(shù)學高考指導(一)高中數(shù)學競賽講義+完美數(shù)學高考指導(一)/高中數(shù)學競賽講義+完美數(shù)學高考指導(一)高中數(shù)學競賽講義+完美數(shù)學高考指導(一)高中數(shù)學競賽講義（一）──集合與簡易邏輯一、基礎知識定義1

一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)}，分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。定義2

子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3

交集，定義4

并集，定義5

補集，若稱為A在I中的補集。定義6

差集，。定義7

集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1

集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2

加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，…，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。定理3

乘法原理：做一件事分個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，…，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。二、方法與例題1．利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。例1

設，求證：（1）；（2）；（3）若，則[證明]（1）因為，且，所以（2）假設，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設不成立，所以（3）設，則（因為）。2．利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則。例2

設A，B是兩個集合，又設集合M滿足，求集合M（用A，B表示）?！窘狻肯茸C，若，因為，所以，所以；再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，3．分類討論思想的應用。例3

，若，求【解】依題設，，再由解得或，因為，所以，所以，所以或2，所以或3。因為，所以，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4．計數(shù)原理的應用。例4

集合A，B，C是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合對（A，B）的個數(shù)；（2）求I的非空真子集的個數(shù)?！窘狻浚?）集合I可劃分為三個不相交的子集；A\B，B\A，中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。5．配對方法。例5給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值?！窘狻繉的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得對，每一對不能同在這個子集中，因此，；其次，每一對中必有一個在這個子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設為C1A與A，并設，則，從而可以在個子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。6．競賽常用方法與例問題。定理4

容斥原理；用表示集合A的元素個數(shù)，則，需要此結(jié)論可以推廣到個集合的情況，即定義8

集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個-劃分。定理5

最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6

抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有一個抽屜放有不少于個元素，也必有一個抽屜放有不多于個元素；將無窮多個元素放入個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。例6

求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)。【解】記，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個。例7

S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于S，將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數(shù)，若S含有這11個數(shù)中至少6個，則必有兩個數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個數(shù)。又因為2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個元素，另一方面，當時，恰有，且S滿足題目條件，所以最少含有912個元素。例8

求所有自然數(shù)，使得存在實數(shù)滿足：【解】

當時，；當時，；當時，。下證當時，不存在滿足條件。令，則所以必存在某兩個下標，使得，所以或，即，所以或，。（?。┤簦紤]，有或，即，設，則，導致矛盾，故只有考慮，有或，即，設，則，推出矛盾，設，則，又推出矛盾，所以故當時，不存在滿足條件的實數(shù)。（ⅱ）若，考慮，有或，即，這時，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當時，不存在滿足條件的實數(shù)。例9

設{1，2，3，4，5，6}，{7，8，9，……，n}，在A中取三個數(shù)，B中取兩個數(shù)組成五個元素的集合，求的最小值?！窘狻吭OB中每個數(shù)在所有中最多重復出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設它是1，就有集合{1，}，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數(shù)，這不可能，所以20個中，B中的數(shù)有40個，因此至少是10個不同的，所以。當時，如下20個集合滿足要求：{1，2，3，7，8}，

{1，2，4，12，14}，

{1，2，5，15，16}，

{1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，

{1，3，6，12，15}，

{1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，

{2，3，4，13，15}，

{2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，

{2，4，6，7，11}，

{2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，

{3，5，6，7，10}，

{4，5，6，14，15}。例10集合{1，2，…，3n}可以劃分成個互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)【解】設其中第個三元集為則1+2+…+所以。當為偶數(shù)時，有，所以，當為奇數(shù)時，有，所以，當時，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，所以的最小值為5。三、基礎訓練題1．給定三元集合，則實數(shù)的取值范圍是。2．若集合中只有一個元素，則。3．集合的非空真子集有個。4．已知集合，若，則由滿足條件的實數(shù)組成的集合。5．已知，且，則常數(shù)的取值范圍是。6．若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有個。7．集合之間的關系是。8．若集合，其中，且，若，則A中元素之和是。9．集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為。10．集合，則。11．已知S是由實數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1））若，則。如果，S中至少含有多少個元素？說明理由。12．已知，又C為單元素集合，求實數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓練題1．已知集合，且，則，。

2．，則。3．已知集合，當時，實數(shù)的取值范圍是。4．若實數(shù)為常數(shù)，且。5．集合，若，則。6．集合，則中的最小元素是。7．集合，且，則。8．已知集合，且，則的取值范圍是。9．設集合，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。10．集合A和B各含有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合C的個數(shù)：1）且C中含有3個元素；2）。11．判斷以下命題是否正確：設A，B是平面上兩個點集，，若對任何，都有，則必有，證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1．已知集合，則實數(shù)的取值范圍是。2．集合的子集B滿足：對任意的，則集合B中元素個數(shù)的最大值是。3．已知集合，其中，且，若，則實數(shù)。4．已知集合，若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則。5．集合，集合，則集合M與N的關系是。6．設集合，集合A滿足：，且當時，，則A中元素最多有個。7．非空集合，≤則使成立的所有的集合是。8．已知集合A，B，（不必相異）的并集,則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個數(shù)是。9．已知集合，問：當取何值時，為恰有2個元素的集合？說明理由，若改為3個元素集合，結(jié)論如何？10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。11．S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個成立，并且若，則，試確定集合S。12．集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？六、聯(lián)賽二試水平訓練題1．是三個非空整數(shù)集，已知對于1，2，3的任意一個排列，如果，，則。求證：中必有兩個相等。2．求證：集合{1，2，…，1989}可以劃分為117個互不相交的子集，使得（1）每個恰有17個元素；（2）每個中各元素之和相同。3．某人寫了封信，同時寫了個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？4．設是20個兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個不同的元素，求集合中不同元素個數(shù)的最小可能值。5．設S是由個人組成的集合。求證：其中必定有兩個人，他們的公共朋友的個數(shù)為偶數(shù)。6．對于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對于任何正整數(shù)，集合的任一個元子集中，均有至少3個兩兩互質(zhì)的元素。7．設集合{1，2，…，50}，求最小自然數(shù)，使S的任意一個元子集中都存在兩個不同的數(shù)a和b，滿足。8．集合，試作出X的三元子集族&，滿足：（1）X的任意一個二元子集至少被族&中的一個三元子集包含；（2）。9．設集合，求最小的正整數(shù)，使得對A的任意一個14-分劃，一定存在某個集合，在中有兩個元素a和b滿足。高中數(shù)學精神講義（二）──二次函數(shù)與命題一、基礎知識1．二次函數(shù)：當0時，2或f(x)2稱為關于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，另外配方可得f(x)(0)2(x0)，其中x0，下同。2．二次函數(shù)的性質(zhì)：當a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減小（簡稱遞減），在[x0,-∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當a<0時，情況相反。3．當a>0時，方程f(x)=0即20…①和不等式2>0…②及2<0…③與函數(shù)f(x)的關系如下（記△2-4）。1）當△>0時，方程①有兩個不等實根，設x12(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分別是{<x1或x>x2}和{1<x<x2}，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，f(x)還可寫成f(x)(1)(2).2）當△=0時，方程①有兩個相等的實根x120=,不等式②和不等式③的解集分別是{}和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。3）當△<0時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是R和(x)圖象與x軸無公共點。當a<0時，請讀者自己分析。4．二次函數(shù)的最值：若a>0，當0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，則當0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間[]上的二次函數(shù)f(x)2(a>0)，當x0∈[m,n]時，f(x)在[m,n]上的最小值為f(x0);當x0<m時。f(x)在[m,n]上的最小值為f(m)；當x0>n時，f(x)在[m,n]上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。定義1

能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復合命題。注1

“p或q”復合命題只有當p，q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復合命題只有當p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。定義2

原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。注2

原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。注3

反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義3

如果命題“若p則q”為真，則記為否則記作.在命題“若p則q”中，如果已知,則p是q的充分條件；如果，則稱p是q的必要條件；如果但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但，則p稱為q的必要非充分條件；若且，則p是q的充要條件。二、方法與例題1．待定系數(shù)法。例1

設方程x21=0的兩根是α，β，求滿足f(α)=β(β)=α(1)=1的二次函數(shù)f(x).【解】

設f(x)2(a0),則由已知f(α)=β(β)=α相減并整理得（α-β）[（α+β）1]=0，因為方程x21=0中△0，所以αβ，所以(α+β)1=0.又α+β=1,所以1=0.又因為f(1)1，所以1=1，所以2.又(1)，所以f(x)2-(1)2.再由f(α)=β得aα2-(1)α+2=β,所以aα2α+2=α+β=1，所以aα2α+1=0.即a(α2-α+1)+10,即10，所以1,所以f(x)2-22.2．方程的思想。例2

已知f(x)2滿足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍?！窘狻?/p>

因為-4≤f(1)≤-1,所以1≤(1)≤4.又-1≤f(2)=4≤5,f(3)(2)(1),所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,所以-1≤f(3)≤20.3．利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例3

已知二次函數(shù)f(x)2(∈R,a0)，若方程f(x)無實根，求證：方程f(f(x))也無實根?！咀C明】若a>0，因為f(x)無實根，所以二次函數(shù)g(x)(x)圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的x∈(x)>0即f(x)>x，從而f(f(x))>f(x)。所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))無實根。注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。4．利用二次函數(shù)表達式解題。例4

設二次函數(shù)f(x)2(a>0)，方程f(x)的兩根x1,x2滿足0<x1<x2<,（Ⅰ）當x∈(0,x1)時，求證：x<f(x)<x1；（Ⅱ）設函數(shù)f(x)的圖象關于0對稱，求證：x0<【證明】因為x1,x2是方程f(x)0的兩根，所以f(x)(1)(2)，即f(x)(1)(2).（Ⅰ）當x∈(0,x1)時，1<0,2<0,a>0，所以f(x)>x.其次f(x)1=(1)[a(2)+1](1)[2+]<0，所以f(x)<x1.綜上，x<f(x)<x1.（Ⅱ）f(x)(1)(2)2+[1(x12)]1x2,所以x0=,所以，所以5．構(gòu)造二次函數(shù)解題。例5

已知關于x的方程(1)22(2),a>1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大。【證明】

方程化為2a2x2+212=0.構(gòu)造f(x)=2a2x2+212,f(1)=(1)2>0,f(-1)=(1)2>0,f(0)=12<0,即△>0，所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，負根比-1大。6．定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6

當x取何值時，函數(shù)取最小值？求出這個最小值。【解】1-,令u,則0<u≤1。5u21=5,且當即3時，.例7

設變量x滿足x2≤(b<-1)，并且x2的最小值是，求b的值?！窘狻?/p>

由x2≤(b<-1)，得0≤x≤-(1).ⅰ)-≤-(1)，即b≤-2時，x2的最小值為-，所以b2=2，所以（舍去）。ⅱ)->-(1)，即b>-2時，x2在[0，-(1)]上是減函數(shù)，所以x2的最小值為11.綜上，.7.一元二次不等式問題的解法。例8

已知不等式組

①②的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍?！窘狻?/p>

因為方程x22=0的兩根為x1,x2=1,若a≤0，則x1<x2.①的解集為a<x<1，由②得x>1-2a.因為1-2a≥1，所以a≤0,所以不等式組無解。若a>0，?。┊?<a<時，x1<x2,①的解集為a<x<1.因為0<a<x<1<1，所以不等式組無整數(shù)解。ⅱ）當時，1，①無解。ⅲ）當a>時，a>1，由②得x>1-2a，所以不等式組的解集為1<x<a.又不等式組的整數(shù)解恰有2個，所以(1)>1且(1)≤3，所以1<a≤2，并且當1<a≤2時，不等式組恰有兩個整數(shù)解0，1。綜上，a的取值范圍是1<a≤2.8．充分性與必要性。例9

設定數(shù)A，B，C使得不等式A()()()()()()≥0

①對一切實數(shù)都成立，問A，B，C應滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）【解】

充要條件為A，B，C≥0且A222≤2().先證必要性，①可改寫為A()2-()()()()2≥0

②若0，則由②對一切∈R成立，則只有，再由①知0，若A0，則因為②恒成立，所以A>0，△=()2()2-4()2≤0恒成立，所以()2-4≤0，即A222≤2()同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。再證充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A222≤2()，1）若0，則由B22≤2得()2≤0，所以，所以△=0，所以②成立，①成立。2）若A>0，則由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。綜上，充分性得證。9．常用結(jié)論。定理1

若a,b∈R,≤≤.【證明】

因為≤a≤≤b≤，所以-()≤≤,所以≤（注：若m>0，則≤x≤m等價于≤m）.又≤,即≤.綜上定理1得證。定理2

若∈R,則a22≥2；若∈,則≥(證略)注

定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細論證。三、基礎訓練題1．下列四個命題中屬于真命題的是，①“若0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤1，則x20有實根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。2．由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是.①p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；②p:3+2=6:③∈():{a}{};④p:,q:.3.當2|<a時，不等式2-4|<1成立，則正數(shù)a的取值范圍是.4.不等式2+(1)>0的解是1<x<2，則a,b的值是.5.x1且x2是1的條件，而-2<m<0且0<n<1是關于x的方程x20有兩個小于1的正根的條件.6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是.7.若{2+52=0}的子集至多有2個，則m的取值范圍是.8.R為全集，{3≥4},,則()∩.9.設a,b是整數(shù)，集合{()|()2+3b≤6y}，點（2，1）∈A，但點（1，0）A，（3，2）A則的值是.10．設集合{<4},{2-43>0}，則集合{∈A且∩B}.11.求使不等式2+41≥-2x2對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。12．對任意x∈[0,1],有①②成立，求k的取值范圍。四、高考水平訓練題1．若不等式<x的解集不空，則實數(shù)a的取值范圍是.2．使不等式x2+(6)9>0當≤1時恒成立的x的取值范圍是.3．若不等式24<0的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是.4．若集合{7|>10},{5|<k}，且A∩，則k的取值范圍是.5．設a1、a2,b1、b2,c1、c2均為非零實數(shù)，不等式a1x211>0和a2x222>0解集分別為M和N，那么“”是“”的條件。6．若下列三個方程x2+443=0,x2+(1)2=0,x2+220中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是.7．已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的條件。8．已知p:|1≤2,q:x2-212≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是.9．已知a>0，f(x)2，對任意x∈R有f(2)(2)，若f(1-2x2)<f(1+22)，求x的取值范圍。10．已知a,b,c∈R,f(x)2,g(x),當≤1時，(x)|≤1,(1)求證：≤1;(2)求證：當≤1時，(x)|≤2;(3)當a>0且≤1時，g(x)最大值為2，求f(x).11.設實數(shù)滿足條件：=0，且a≥0>0，求證：方程20有一根x0滿足0<x0<1.五、聯(lián)賽一試水平訓練題1．不等式3-2x2-43<0的解集是.2．如果實數(shù)x,y滿足：，那么的最小值是.3．已知二次函數(shù)f(x)2的圖象經(jīng)過點（1，1），（3，5），f(0)>0，當函數(shù)的最小值取最大值時，23.4.已知f(x)1-2,x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))有個實根。5．若關于x的方程4x2-40在[-1，1]上至少有一個實根，則m取值范圍是.6．若f(x)432對一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，則2.7.對一切x∈R，f(x)2(a<b)的值恒為非負實數(shù)，則的最小值為.8．函數(shù)f(x)2的圖象如圖，且2.那么b2-44.（填>、=、<）9．若a<b<c<d，求證：對任意實數(shù)1,關于x的方程()()()()=0都有兩個不等的實根。10．某人解二次方程時作如下練習：他每解完一個方程，如果方程有兩個實根，他就給出下一個二次方程：它的常數(shù)項等于前一個方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項系數(shù)都是1。證明：這種練習不可能無限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。11．已知f(x)2在[0，1]上滿足(x)|≤1,試求的最大值。

六、聯(lián)賽二試水平訓練題1．設f(x)2，∈R,a>100，試問滿足(x)|≤50的整數(shù)x最多有幾個？2．設函數(shù)f(x)2+83(a<0)，對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間[0，l(a)]上，不等式(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相應a的值。3．設x12,…∈[a,1]，且設,,求2的最大值。4．F(x)2，∈R,且(0)|≤1(1)|≤1(-1)|≤1,則對于≤1，求(x)|的最大值。5．已知f(x)2，若存在實數(shù)m，使得(m)|≤(1)|≤,求△2-4b的最大值和最小值。6．設二次函數(shù)f(x)2(∈R,a0)滿足下列條件：1）當x∈R時，f(4)(2)，且f(x)≥x；2）當x∈(0,2)時，f(x)≤;3）f(x)在R上最小值為0。求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]就有f()≤x.7.求證：方程32+2()=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根。8．設∈,a<A,b<B，若n個正數(shù)a1,a2,…位于a與A之間，n個正數(shù)b1,b2,…位于b與B之間，求證：9．設為實數(shù)，g(x)2,≤1，求使下列條件同時滿足的a,b,c的值：（?。?381;（ⅱ）g(x)444;（ⅲ）g(x)364.高中數(shù)學競賽講義（三）──函數(shù)一、基礎知識定義1

映射，對于任意兩個集合A，B，依對應法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應，則稱f:A→B為一個映射。定義2

單射，若f:A→B是一個映射且對任意x,y∈A,,都有f(x)f(y)則稱之為單射。定義3

滿射，若f:A→B是映射且對任意y∈B，都有一個x∈A使得f(x)，則稱f:A→B是A到B上的滿射。定義4

一一映射，若f:A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應法則1構(gòu)成的映射，記作1:A→B。定義5

函數(shù)，映射f:A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A,y∈B，且f(x)（即x對應B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)3-1的定義域為{≥0∈R}.

定義6

反函數(shù)，若函數(shù)f:A→B（通常記作(x)）是一一映射，則它的逆映射1:A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作1(x).這里求反函數(shù)的過程是：在解析式(x)中反解x得1(y)，然后將x,y互換得1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)的反函數(shù)是1-(x0).定理1

互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱。定理2

在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。定義7

函數(shù)的性質(zhì)。（1）單調(diào)性：設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1,x2∈I并且x1<x2，總有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設函數(shù)(x)的定義域為D，且D是關于原點對稱的數(shù)集，若對于任意的x∈D，都有f()(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f()(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱。（3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f()(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。定義8

如果實數(shù)a<b，則數(shù)集{<x<b,x∈R}叫做開區(qū)間，記作（），集合{≤x≤∈R}記作閉區(qū)間[]，集合{<x≤b}記作半開半閉區(qū)間（]，集合{≤x<b}記作半閉半開區(qū)間[a,b)，集合{>a}記作開區(qū)間（a,+∞），集合{≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞].定義9

函數(shù)的圖象，點集{()(x),x∈D}稱為函數(shù)(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關系(>0)；（1）向右平移a個單位得到()的圖象；（2）向左平移a個單位得到()的圖象；（3）向下平移b個單位得到(x)的圖象；（4）與函數(shù)()的圖象關于y軸對稱；（5）與函數(shù)()的圖象關于原點成中心對稱；（6）與函數(shù)1(x)的圖象關于直線對稱；（7）與函數(shù)(x)的圖象關于x軸對稱。定理3

復合函數(shù)[g(x)]的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減”。例如,2在（-∞,2）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以在（-∞,2）上是增函數(shù)。注：復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證，求導之后是顯然的。二、方法與例題1．數(shù)形結(jié)合法。例1

求方程1的正根的個數(shù).【解】分別畫出1|和的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。

例2

求函數(shù)f(x)=的最大值?！窘狻?/p>

f(x)=，記點P(x,x?2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。因為≤,當且僅當P為延長線與拋物線2的交點時等號成立。所以f(x)2.函數(shù)性質(zhì)的應用。例3

設x,y∈R，且滿足，求.【解】

設f(t)3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實上，若a<b，則f(b)(a)33+1997()=()(b22+1997)>0，所以f(t)遞增。由題設f(1)1(1)，所以1=1，所以2.例4

奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1)(12)<0，求a的取值范圍。【解】

因為f(x)

是奇函數(shù)，所以f(12)(a2-1)，由題設f(1)<f(a2-1)。又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-1<1<a2-1<1，解得0<a<1。例5

設f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z,用表示區(qū)間(21,21]，已知當x∈I0時，f(x)2，求f(x)在上的解析式?！窘狻?/p>

設x∈，則21<x≤21，所以f(2k)=(2k)2.又因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以當x∈時，f(x)(2k)=(2k)2.例6

解方程：(31)()+(23)(+1)=0.【解】

令31,23，方程化為m(+1)(+1)=0.

①若0，則由①得0，但m,n不同時為0，所以m0,n0.ⅰ)若m>0，則由①得n<0，設f(t)(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)()，所以，所以31+23=0，所以ⅱ)若m<0，且n>0。同理有0,但與m<0矛盾。綜上，方程有唯一實數(shù)解3.配方法。例7

求函數(shù)的值域。【解】

[21+2+1]-1=(+1)-1≥-1.當時，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。4．換元法。例8

求函數(shù)(2)(+1)∈[0,1]的值域?！窘狻苛?，因為x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以2∈[+2，8]。所以該函數(shù)值域為[2+，8]。5．判別式法。例9

求函數(shù)的值域。【解】由函數(shù)解析式得(1)x2+3(1)44=0.①當y1時，①式是關于x的方程有實根。所以△=9(1)2-16(1)2≥0，解得≤y≤1.又當1時，存在0使解析式成立，所以函數(shù)值域為[，7]。6．關于反函數(shù)。例10

若函數(shù)(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞∞)上遞增，求證：1(x)在(-∞∞)上也是增函數(shù)?！咀C明】設x1<x2,且y11(x1),y21(x2)，則x1(y1),x2(y2)，若y1≥y2，則因為f(x)在(-∞∞)上遞增，所以x1≥x2與假設矛盾，所以y1<y2。即1(x)在(-∞∞)遞增。例11

設函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)1(x).【解】

首先f(x)定義域為（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，設x1,x2是定義域內(nèi)變量，且x1<x2<>0,所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。在方程f(x)1(x)中，記f(x)1(x)，則y≥0，又由1(x)得f(y)，所以x≥0,所以∈[-，+∞）.若，設x<y，則f(x)<f(y)，矛盾。同理若x>y也可得出矛盾。所以.即f(x)，化簡得3x5+2x4-41=0,即(1)(3x4+5x3+5x2+51)=0,因為x≥0，所以3x4+5x3+5x2+51>0，所以1.三、基礎訓練題1．已知{-1,0,1},{-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y滿足：對任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得(x)為偶數(shù)，這樣的映射有個。2．給定{1，2，3}，{-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有個；若f為滿射，則f有個；滿足f[f(x)](x)的映射有個。3．若直線(2)與函數(shù)2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有個交點。4．函數(shù)(x)的值域為[]，則函數(shù)g(x)(x)+的值域為。5．已知f(x)=，則函數(shù)g(x)[f(x)]的值域為。6．已知f(x)，當x≥3時f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是。7．設(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為。8．若函數(shù)(x)存在反函數(shù)1(x)，則1(x)的圖象與()的圖象關于直線對稱。9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()。10.函數(shù),x∈(1,+∞)的反函數(shù)是。11．求下列函數(shù)的值域：（1）;(2);(3)2;(4)12.已知定義在R上，對任意x∈R,f(x)(2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當x∈[2,3]時，f(x)，則當x∈[-2,0]時，求f(x)的解析式。四、高考水平訓練題1．已知a∈,f(x)定義域是（0,1]，則g(x)()()(x)的定義域為。2．設0≤a<1時，f(x)=(1)x2-61恒為正值。則f(x)定義域為。3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}滿足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20，這樣的映射f有個。4．設函數(shù)(x)(x∈R)的值域為R，且為增函數(shù)，若方程f(x)解集為P，f[f(x)]解集為Q，則P，Q的關系為：（填=、、）。5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(1)；（2）g(x)2121|;(3)(x)=；（4）6.設函數(shù)(x)(x∈R且x0)，對任意非零實數(shù)x1,x2滿足f(x1x2)(x1)(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)()≤0的解集為。7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)={(x),x∈P},f(M)={(x),x∈M}，給出如下判斷：①若P∩，則f(P)∩f(M)=；②若P∩M，則f(P)∩f(M)；③若P∪,則f(P)∪f(M)；④若P∪，則f(P)∪f(M)R.其中正確的判斷是。8．函數(shù)(1)的反函數(shù)是1(1)，并且f(1)=3997，則f(1998)=。9．已知(x)是定義域為[-6，6]的奇函數(shù)，且當x∈[0，3]時是一次函數(shù)，當x∈[3，6]時是二次函數(shù)，又f(6)=2，當x∈[3，6]時，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。10．設a>0，函數(shù)f(x)定義域為R，且f()=，求證：f(x)為周期函數(shù)。11．設關于x的方程2x22=0的兩根為α，β（α<β），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1,x2，求證：<2|α-β|.

五、聯(lián)賽一試水平訓練題1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)1(x)，若把(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關于直線對稱，得到的曲線所對應的函數(shù)是.2．若a>0，a1(x)是奇函數(shù)，則G(x)(x)是（奇偶性）.3．若，則下列等式中正確的有.①F(-2)2(x)；②F()=；③F(1)(x)；④F(F(x)).4.設函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對任意∈R，都有f(1)(x)f(y)(y)2，則f(x).5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(5)≥f(x)+5,f(1)≤f(x)+1。若g(x)(x)+1，則g(2002)=.6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是.7.函數(shù)f(x)=的奇偶性是：奇函數(shù)，偶函數(shù)（填是，非）。8.函數(shù)的值域為.9．設f(x)=,對任意的a∈R，記V(a){f(x)∈[1,3]}{f(x)∈[1,3]}，試求V(a)的最小值。10．解方程組：（在實數(shù)范圍內(nèi)）11．設k∈,f:→滿足：（1）f(x)嚴格遞增；（2）對任意n∈,有f[f(n)]，求證：對任意n∈,都有n≤f(n)≤六、聯(lián)賽二試水平訓練題1．求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x≠0,f(x)·f；（2）對所有的x≠且≠0，有f(x)(y)=1().2.設f(x)對一切x>0有定義，且滿足：（?。ゝ(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x>0,f(x)1，試求f(1).3.f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當x,y,∈[0,1]時，f(x)(y)≤f()，試求最小常數(shù)c，對滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤.4.試求f()=6(x22)()-4(x22)-3()+5(x>0,y>0)的最小值。5．對給定的正數(shù)∈(0,1)，有>1≥p22，試求f(x)=(1)+在[1]上的最大值。6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.當x∈時，試求f(x)的最大值。7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。8．函數(shù)(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質(zhì)的函數(shù)。9．設是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個函數(shù)f:→，滿足這樣的條件：f((y)),y∈.高中數(shù)學競賽講義（四）──幾個初等函數(shù)的性質(zhì)一、基礎知識1．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如(a>0,a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域為R，值域為（0，+∞），當0<a<1時，是減函數(shù)，當a>1時，為增函數(shù)，它的圖象恒過定點（0，1）。2．分數(shù)指數(shù)冪：。3．對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如(a>0,a1)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其定義域為（0，+∞），值域為R，圖象過定點（1，0）。當0<a<1，為減函數(shù)，當a>1時，為增函數(shù)。4．對數(shù)的性質(zhì)（M>0,N>0）；1）(a>0,a1)；2）a()=aaN；3）a（）=aaN；4）aaM；，5）aaM；6）a;7)a(>0,a,c1).5.函數(shù)（a>0）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。（請讀者自己用定義證明）6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若a<b,f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)=0在（）上至少有一個實根。二、方法與例題1．構(gòu)造函數(shù)解題。例1

已知a,b,c∈(-1,1)，求證：1>0.【證明】設f(x)=()1(x∈(-1,1))，則f(x)是關于x的一次函數(shù)。所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因為-1<a<1）.因為f(-1)()1=(1)(1)>0，f(1)(1)(1)>0，所以f(a)>0，即1>0.例2

（柯西不等式）若a1,a2,…是不全為0的實數(shù)，b1,b2,…∈R，則（）·（）≥()2，等號當且僅當存在R，使a,1,2,…,n時成立?！咀C明】

令f(x)=（）x2-2(),因為>0，且對任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4()-4（）()≤0.展開得（）()≥()2。等號成立等價于f(x)=0有實根，即存在，使a,1,2,…,n。例3

設x,y∈,,c為常數(shù)且c∈(0,2]，求的最小值?！窘狻俊?·2.令，則0<≤,設f(t),0<t≤因為0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上單調(diào)遞減。所以f(t)()，所以u≥2.當時，等號成立.所以u的最小值為2.2．指數(shù)和對數(shù)的運算技巧。例4

設p,q∈且滿足91216()，求的值?！窘狻?/p>

令91216()，則9t,12t,16t，所以9t+12t=16t，即1+記，則12，解得又>0，所以=例5

對于正整數(shù)a,b,c(a≤b≤c)和實數(shù)x,y,z,w，若70w，且，求證：.【證明】

由70w取常用對數(shù)得70.所以70,70,70，相加得()70，由題設，所以70，所以70.所以70=2×5×7.若1，則因為70，所以0與題設矛盾，所以a>1.又a≤b≤c，且a,b,c為70的正約數(shù)，所以只有2,5,7.所以.例6

已知x1,1,a1,c1.且2，求證c2=().【證明】

由題設2，化為以a為底的對數(shù)，得，因為>0,1，所以2，所以c2=().注：指數(shù)與對數(shù)式互化，取對數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3．指數(shù)與對數(shù)方程的解法。解此類方程的主要思想是通過指對數(shù)的運算和換元等進行化簡求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應用和未知數(shù)范圍的討論。例7

解方程：34x+5x=6x.【解】

方程可化為=1。設f(x)=,則f(x)在(-∞∞)上是減函數(shù)，因為f(3)=1，所以方程只有一個解3.例8

解方程組：（其中x,y∈）.【解】

兩邊取對數(shù)，則原方程組可化為

①②把①代入②得()236，所以[()2-36]0.由0得1，由()2-36=0(x,y∈)得6，代入①得2，即2，所以y26=0.又y>0，所以2,4.所以方程組的解為.例9

已知a>0,a1，試求使方程()2(x22)有解的k的取值范圍。【解】由對數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應滿足.①②③若①、②同時成立，則③必成立，故只需解.由①可得2(12)，

④當0時，④無解；當k0時，④的解是，代入②得>k.若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k>0，則k2<1，所以0<k<1.綜上，當k∈(-∞1)∪(0,1)時，原方程有解。

三、基礎訓練題1．命題p:“(23)(53)x≥(23)(53)”是命題q:“≥0”的條件。2．如果x1是方程27的根，x2是方程1027的根，則x12.3．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，點A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，1(x)是它的反函數(shù)，則不等式1(2x)|<1的解集為。4．若2a<0，則a取值范圍是。5．命題p:函數(shù)2在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q:函數(shù)2(2-41)的值域為R，則p是q的條件。6．若0<b<1,a>0且a1，比較大?。?1)(1).7．已知f(x)=23x,x∈[1,3]，則函數(shù)[f(x)]2(x2)的值域為。8．若，則與x最接近的整數(shù)是。9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。10．函數(shù)f(x)=的值域為。11．設f(x)[1+23x+…+(1)xx·a]，其中n為給定正整數(shù),n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍。12．當a為何值時，方程=2有一解，二解，無解？四、高考水平訓練題1．函數(shù)f(x)(x2-1)的定義域是.2．已知不等式x2<0在x∈時恒成立，則m的取值范圍是.3．若x∈{22}，則x2,x,1從大到小排列是.4.若f(x)，則使f(a)(b).

5.命題p:函數(shù)2在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)2(2-41)的值域為R，則p是q的條件.6．若0<b<1,a>0且a1，比較大?。?a(1)|a(1)|.7．已知f(x)=23x,x∈[1,3]，則函數(shù)[f(x)]2(x2)的值域為.8．若，則與x最接近的整數(shù)是.9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.10．函數(shù)f(x)=的值域為.11．設f(x)[1+23x+…+(1)xx·a]，其中n為給定正整數(shù)，n≥2∈R。若f(x)在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍。12．當a為何值時，方程=2有一解，二解，無解？四、高考水平訓練題1．函數(shù)f(x)(x2-1)的定義域是.2．已知不等式x2<0在x∈時恒成立，則m的取值范圍是.3．若x∈{22}，則x2,x,1從大到小排列是.4．若f(x)，則使f(a)(b)=成立的a,b的取值范圍是.5．已知(1)，設，其中p,q為整數(shù)，且(p)=1，則p·q的值為.6．已知x>10,y>10,1000，則()·()的取值范圍是.7．若方程()=2(1)只有一個實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是.8．函數(shù)f(x)=的定義域為R，若關于x的方程f?2(x)(x)0有7個不同的實數(shù)解，則b,c應滿足的充要條件是.（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且0；（4）b≥0且0。9．已知f(x),F(x)()()(t0)，則F(x)是函數(shù)（填奇偶性）.10．已知f(x)，若=1，=2，其中<1,<1，則f(a)(b).11．設a∈R，試討論關于x的方程(1)(3)()的實數(shù)解的個數(shù)。12．設f(x)，實數(shù)a,b滿足0<a<b,f(a)(b)=2f，求證：（1）a4+2a2-41=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4.13．設a>0且a1,f(x)()(x≥1)，（1）求f(x)的反函數(shù)1(x)；（2）若1(n)<(n∈)，求a的取值范圍。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1．如果2[(2x)]=3[(3x)]=5[(5z)]=0，那么將x,y,z從小到大排列為.2．設對任意實數(shù)x0>x1>x2>x3>0，都有1993+1993+1993>1993恒成立，則k的最大值為.3．實數(shù)x,y滿足4x2-54y2=5，設22，則的值為.4．已知0<b<1,00<α<450，則以下三個數(shù)：(α),(α),(α)從小到大排列為.5．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則方程2[]-2=0的實根個數(shù)是.6．設[x()-1+1],1[1],[()-1+1]，記a,b,c中的最大數(shù)為M，則M的最小值為.7．若f(x)(x∈R)是周期為2的偶函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)=，則，由小到大排列為.8．不等式+2>0的解集為.9．已知a>1,b>1，且()，求(1)(1).10．（1）試畫出由方程所確定的函數(shù)(x)圖象。（2）若函數(shù)與(x)的圖象恰有一個公共點，求a的取值范圍。11．對于任意n∈(n>1)，試證明：[]+[]+…+[]=[2n]+[3n]+…+[]。六、聯(lián)賽二試水平訓練題1．設x,y,z∈且1，求的最小值。2．當a為何值時，不等式·5(x26)3≥0有且只有一個解（a>1且a1）。3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數(shù)，滿足條件；對于任何x,y>1及u,v>0,f()≤[f(x)][f(y)]①都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x).4.求所有函數(shù)f：R→R，使得(x)(x)=()f()①成立。5．設m≥14是一個整數(shù)，函數(shù)f：N→N定義如下：f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.6．求定義在有理數(shù)集上且滿足下列條件的所有函數(shù)f:f()(x)(y)(x)·f(y),x,y∈Q.7．是否存在函數(shù)f(n)，將自然數(shù)集N映為自身，且對每個n>1,f(n)(f(1))(f(1))都成立。8．設p,q是任意自然數(shù)，求證：存在這樣的f(x)∈Z(x)（表示整系數(shù)多項式集合），使對x軸上的某個長為的開區(qū)間中的每一個數(shù)x,有9．設α，β為實數(shù)，求所有f:→R，使得對任意的∈,f(x)f(y)2·f成立。高中數(shù)學競賽講義（五）──數(shù)列一、基礎知識定義1

數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列{}的一般形式通常記作a1,a2,a3,…，或a1,a2,a3,…，…。其中a1叫做數(shù)列的首項，是關于n的具體表達式，稱為數(shù)列的通項。定理1

若表示{}的前n項和，則S11,當n>1時，1.定義2

等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)n，都有1（常數(shù)），則{}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d,則,.定理2

等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項公式1+(1)d；2）前n項和公式：；3）()d，其中n,m為正整數(shù)；4）若，則q；5）對任意正整數(shù)p,q，恒有()(a21)；6）若A，B至少有一個不為零，則{}是等差數(shù)列的充要條件是2.定義3

等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，都有，則{}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。定理3

等比數(shù)列的性質(zhì)：1）11；2）前n項和，當q1時，；當1時，1；3）如果a,b,c成等比數(shù)列，即b2(b0)，則b叫做a,c的等比中項；4）若，則。定義4

極限，給定數(shù)列{}和實數(shù)A，若對任意的>0，存在M，對任意的n>M(n∈N),都有<，則稱A為n→+∞時數(shù)列{}的極限，記作定義5

無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列{}的公比q滿足<1，則稱之為無窮遞增等比數(shù)列，其前n項和的極限（即其所有項的和）為（由極限的定義可得）。定理3

第一數(shù)學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時成立時能推出p(n)對1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。

競賽常用定理定理4

第二數(shù)學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)對一切n≤k的自然數(shù)n都成立時（k≥n0）可推出p(1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。定理5

對于齊次二階線性遞歸數(shù)列12，設它的特征方程x2的兩個根為α,β:(1)若αβ，則112β1，其中c1,c2由初始條件x1,x2的值確定；(2)若α=β，則(c12)α1，其中c1,c2的值由x1,x2的值確定。二、方法與例題1．不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學歸納法證明。例1

試給出以下幾個數(shù)列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…?！窘狻?）2-1；2）32n；3）2-2n.例2

已知數(shù)列{}滿足a112+…2,n≥1，求通項.【解】

因為a1=,又a12=22·a2,所以a2=，a3=,猜想(n≥1).證明；1）當1時，a1=，猜想正確。2）假設當n≤k時猜想成立。當1時，由歸納假設及題設，a1+a1+…1=[(1)2-1]1,，所以(2)1,即(2)1,所以(2)1,所以1=由數(shù)學歸納法可得猜想成立，所以例3

設0<a<1，數(shù)列{}滿足1,1，求證：對任意n∈,有>1.【證明】

證明更強的結(jié)論：1<≤1.1)當1時，1<a1=1，①式成立；2)假設時，①式成立，即1<≤1，則當1時，有由數(shù)學歸納法可得①式成立，所以原命題得證。2．迭代法。數(shù)列的通項或前n項和中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成1或1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例4

數(shù)列{}滿足12=0,n≥3，q0，求證：存在常數(shù)c，使得·【證明】·1+(12)2·()(1)]().若=0，則對任意n,0，取0即可.若0，則{+}是首項為，公式為q的等比數(shù)列。所以·.取·即可.綜上，結(jié)論成立。例5

已知a1=0,1=5，求證：都是整數(shù)，n∈.【證明】

因為a1=0,a2=1，所以由題設知當n≥1時1>.又由1=5移項、平方得

①當n≥2時，把①式中的n換成1得，即

②因為1<1，所以①式和②式說明1,1是方程x2-101=0的兩個不等根。由韋達定理得1+1=10(n≥2).再由a1=0,a2=1及③式可知，當n∈時，都是整數(shù)。3．數(shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。例6

已知(1,2,…)，求S9912+…99.【解】因為100，所以S99=例7

求和：+…+【解】

一般地，，所以

例8

已知數(shù)列{}滿足a12=1，21,為數(shù)列的前n項和，求證：<2?！咀C明】

由遞推公式可知，數(shù)列{}前幾項為1，1，2，3，5，8，13。因為，

①所以。

②由①-②得，所以。又因為2<且>0,所以,所以，所以<2，得證。4．特征方程法。例9

已知數(shù)列{}滿足a1=3,a2=6,2=41-4，求.【解】

由特征方程x2=44得x12=2.故設(α+βn)·21，其中，所以α=3，β=0，所以3·21.例10

已知數(shù)列{}滿足a1=3,a2=6,2=21+3，求通項.【解】

由特征方程x2=23得x1=3,x21,所以α·3β·(-1)n，其中，解得α=，β，所以·3]。5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。例11

正數(shù)列a01,…,…滿足=21(n≥2)且a01=1，求通項?！窘狻?/p>

由得=1，即令1，則{}是首項為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，所以1=2n，所以=（21）2，所以·…··a0=注：C1·C2·…·.例12

已知數(shù)列{}滿足x1=2,1∈,求通項?！窘狻?/p>

考慮函數(shù)f(x)=的不動點，由得因為x1=2,1=,可知{}的每項均為正數(shù)。又+2≥，所以1≥(n≥1)。又1,

①1,

②由①÷②得。

③又>0，由③可知對任意n∈，>0且,所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列。所以·，所以，解得·。注：本例解法是借助于不動點，具有普遍意義。三、基礎訓練題1．數(shù)列{}滿足x1=2,1(1)，其中為{}前n項和，當n≥2時，.2.數(shù)列{}滿足x1=，1=,則{}的通項.3.數(shù)列{}滿足x1=1，21(n≥2)，則{}的通項.4.等差數(shù)列{}滿足3a8=5a13，且a1>0,為前n項之和，則當最大時，.5.等比數(shù)列{}前n項之和記為,若S10=10，S30=70，則S40.6.數(shù)列{}滿足11(n≥2)，x1,x2,12+…+，則S100.7.數(shù)列{}中，12+…2-41則12…10.8.若，并且x12+…+8，則x1.9.等差數(shù)列{}，{}的前n項和分別為和，若，則.10.若(1)…2·1,則.11．若{}是無窮等比數(shù)列，為正整數(shù)，且滿足a56=48,2a2·2a3+2a2·2a5+2a2·2a6+2a5·2a6=36，求的通項。12．已知數(shù)列{}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）數(shù)列{}的前n項和。

四、高考水平訓練題1．已知函數(shù)f(x)=，若數(shù)列{}滿足a1=，1()(n∈)，則a2006.2．已知數(shù)列{}滿足a1=1,1+2a2+3a3+…+(1)1(n≥2)，則{}的通項.3.若2+,且{}是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.4.設正項等比數(shù)列{}的首項a1=,前n項和為,且210S30-（210+1）S2010=0，則.5.已知，則a的取值范圍是.6．數(shù)列{}滿足1=3(n∈)，存在個a1值，使{}成等差數(shù)列；存在個a1值，使{}成等比數(shù)列。7．已知(n∈)，則在數(shù)列{}的前50項中，最大項與最小項分別是.8．有4個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和中16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，則這四個數(shù)分別為.9.設{}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對于所有自然數(shù)n,與2的等差中項等于與2的等比中項，則.10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有項是在100與1000之間的整數(shù).11．已知數(shù)列{}中，0，求證：數(shù)列{}成等差數(shù)列的充要條件是（n≥2）①恒成立。12．已知數(shù)列{}和{}中有1,(n≥2),當a1,b1(p>0,q>0)且1時，（1）求證：>0,>0且1（n∈N）；（2）求證：1=；（3）求數(shù)列13．是否存在常數(shù)a,b,c，使題設等式1·22+2·32+…·(1)2=(2)對于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1．設等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項和為972，這樣的數(shù)列共有個。2．設數(shù)列{}滿足x1=1,，則通項.3.設數(shù)列{}滿足a1=3,>0，且，則通項.4.已知數(shù)列a0,a1,a2,…,,…滿足關系式(31)·(6)=18，且a0=3，則.5.等比數(shù)列23,43,83的公比為.6.各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有項.7.數(shù)列{}滿足a1=2,a2=6,且=2，則.8.數(shù)列{}稱為等差比數(shù)列，當且僅當此數(shù)列滿足a0=0,{1}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時，項數(shù)最多有項.9．設h∈，數(shù)列{}定義為：a0=1,1=。問：對于怎樣的h，存在大于0的整數(shù)n，使得1？10．設{}k≥1為一非負整數(shù)列，且對任意k≥1，滿足≥a221，（1）求證：對任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個連續(xù)項為0；（2）求出一個滿足以上條件，且其存在無限個非零項的數(shù)列。11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a12,…,使得a1=1,a2>1,1(1-1)=

六、聯(lián)賽二試水平訓練題1．設為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里1,2,….2．設a1,a2,…,表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②1|≤2,1,2,…1。試問f(2007)能否被3整除？3．設數(shù)列{}和{}滿足a0=10=0，且求證：(0,1,2,…)是完全平方數(shù)。4．無窮正實數(shù)數(shù)列{}具有以下性質(zhì)：x0=1，1<(0,1,2,…),（1）求證：對具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個n≥1，使≥3.999均成立；（2）尋求這樣的一個數(shù)列使不等式<4對任一n均成立。5．設x12,…是各項都不大于M的正整數(shù)序列且滿足12|(3,4,…)①.試問這樣的序列最多有多少項？6．設a12=，且當3,4,5,…時，,(ⅰ)求數(shù)列{}的通項公式；(ⅱ)求證：是整數(shù)的平方。7．整數(shù)列u0123,…滿足u0=1，且對每個正整數(shù)n,11，這里k是某個固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。8．求證：存在無窮有界數(shù)列{}，使得對任何不同的m,k，有≥9.已知n個正整數(shù)a01,…，和實數(shù)q，其中0<q<1，求證：n個實數(shù)b01,…，和滿足：（1）<(1,2,…)；（2）q<<(1,2,…)；（3）b12+…<(a01+…).高中數(shù)學競賽講義（六）──三角函數(shù)一、基礎知識定義1

角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2

角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值|α,其中r是圓的半徑。定義3

三角函數(shù)，在直角坐標平面內(nèi)，把角α的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設它的坐標為（），到原點的距離為r,則正弦函數(shù)α=,余弦函數(shù)α=,正切函數(shù)α=，余切函數(shù)α=，正割函數(shù)α=,余割函數(shù)α=定理1

同角三角函數(shù)的基本關系式，倒數(shù)關系：αα=，α=；商數(shù)關系：α=；乘積關系：α×ααα×αα；平方關系：2α2α=1,2α+12α,2α+12α.定理2

誘導公式（Ⅰ）(α+π)α,(π+α)α,(π+α)α,(π+α)α;（Ⅱ）(-α)α,(-α)α,(-α)α,(-α)α;（Ⅲ）(π-α)α,(π-α)α,(π-α)α,(π-α)α;（Ⅳ）α,α,α（奇變偶不變，符號看象限）。定理3

正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得（x∈R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2.奇偶數(shù).有界性：當且僅當2時，y取最大值1，當且僅當3時,y取最小值-1。對稱性：直線均為其對稱軸，點（k,0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這里k∈Z.定理4

余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2kπ,2kπ+π]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2kπ-π,2kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期為2π。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線π均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當且僅當2kπ時，y取最大值1；當且僅當2kπ-π時，y取最小值-1。值域為[-1，1]。這里k∈Z.定理5正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)(π+)在開區(qū)間(kπ-,kπ+)上為增函數(shù),最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（kπ，0），（kπ+，0）均為其對稱中心。定理6

兩角和與差的基本關系式：(αβ)αβαβ(αβ)αβαβ;(αβ)=定理7

和差化積與積化和差公式:αβ=2αβ=2,αβ=2,αβ2,αβ=[(α+β)(α-β)]αβ=[(α+β)(α-β)],αβ=[(α+β)(α-β)]αβ[(α+β)(α-β)].定理8

倍角公式2α=2αα,2α2α2α=22α-1=1-22α,

2α=定理9

半角公式,定理10

萬能公式:,,定理11

輔助角公式：如果a,b是實數(shù)且a220，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(a,b)的一個角為β，則ββ=，對任意的角α.αα(α+β).定理12

正弦定理：在任意△中有，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊，R為△外接圓半徑。定理13

余弦定理：在任意△中有a222-2，其中分別是角A，B，C的對邊。定理14

圖象之間的關系：的圖象經(jīng)上下平移得的圖象；經(jīng)左右平移得()的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得?)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到的圖象（振幅變換）；()(>0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到的圖象（振幅變換）；()(,>0)(叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到的圖象。定義4

函數(shù)的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作(x∈[-1,1])，函數(shù)(x∈[0,π])的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作(x∈[-1,1]).函數(shù)的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作(x∈[-∞,+∞]).(x∈[0,π])的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作(x∈[-∞,+∞]).定理15

三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程的解集是{π+(-1),n∈Z}。方程的解集是{2,k∈Z}.如果a∈R，方程的解集是{π,k∈Z}。恒等式：；.定理16

若，則<x<.二、方法與例題1．結(jié)合圖象解題。例1

求方程的解的個數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺讼祪?nèi)畫出函數(shù)與的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。2．三角函數(shù)性質(zhì)的應用。例2

設x∈(0,π),試比較()與()的大小?！窘狻?/p>

若，則≤1且>-1，所以，所以()≤0,又0<≤1,所以()>0，所以()>().若，則因為()()≤<，所以0<<<，所以()>()().綜上，當x∈(0,π)時，總有()<().例3

已知α，β為銳角，且x·（α+β-）>0，求證：【證明】

若α+β>，則x>0，由α>-β>0得α<(-β)β,所以0<<1，又α>(-β)β,所以0<<1，所以

若α+β<，則x<0，由0<α<-β<得α>(-β)β>0,所以>1。又0<α<(-β)β，所以>1，所以，得證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3．最小正周期的確定。例4

求函數(shù)(2)的最小正周期?！窘狻?/p>

首先，2π是函數(shù)的周期（事實上，因為()，所以）；其次，當且僅當π+時，0（因為|2≤2<π）,所以若最小正周期為T0，則T0π,m∈，又(20)2(2π)，所以T0=2π。4．三角最值問題。例5

已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值與最小值。【解法一】

令,則有因為，所以，所以≤1，所以當，即2kπ-(k∈Z)時，0，

當，即2kπ+(k∈Z)時，2.【解法二】

因為,=2（因為()2≤2(a22)），且≤1≤，所以0≤≤2，所以當，即2kπ+(k∈Z)時,2，當，即2kπ-(k∈Z)時,0。例6

設0<<π，求的最大值?！窘狻恳驗?<<π，所以，所以>0,>0.所以（1）=2·2=≤=

當且僅當222,即,=2時，(1)取得最大值。例7

若A，B，C為△三個內(nèi)角，試求的最大值?！窘狻?/p>

因為2,①,

②又因為，③由①，②，③得≤4,所以≤3,當時，（）.注：三角函數(shù)的有界性、≤1、≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5．換元法的使用。例8

求的值域?！窘狻?/p>

設因為所以又因為t2=1+2,所以，所以，所以因為1，所以，所以1.所以函數(shù)值域為

例9

已知a0=1,(n∈)，求證：>.【證明】由題設>0，令,∈，則因為，∈，所以，所以又因為a01=1，所以a0=，所以·。又因為當0<x<時，>x，所以注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當x∈時，有>x>，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學完導數(shù)后，證明是很容易的。6．圖象變換：(x∈R)與()(A,,>0).由的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得?)的圖象；也可以由的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模詈笙蜃笃揭苽€單位，得到()的圖象。例10

例10

已知f(x)()(>0,0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻坑蒮(x)是偶函數(shù)，所以f()(x)，所以(+)()，所以0，對任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因為f(x)圖象關于對稱，所以=0。取0，得=0，所以所以(k∈Z)，即=(21)(k∈Z).又>0，取0時，此時f(x)(2)在[0，]上是減函數(shù)；取1時，=2，此時f(x)(2)在[0，]上是減函數(shù)；取