高考定積分練習題

高考定積分練習題高考定積分練習題/高考定積分練習題高考定積分應用常見題型大全一．選擇題（共21小題）1．（2012?福建）如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為（）A．B．C．D．2．（2010?山東）由曲線2，3圍成的封閉圖形面積為（）A．B．C．D．3．設f（x）=，函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為（）A．B．C．D．4．定積分的值為（）A．B．32C．3﹣2D．625．如圖所示，曲線2和曲線圍成一個葉形圖（陰影部分），其面積是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣2，4]，且f（4）（﹣2）=1，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，函數(shù)′（x）的圖象如圖所示，則平面區(qū)域f（2）＜1（a≥0，b≥0）所圍成的面積是（）A．2B．4C．5D．88．∫01與∫01相比有關系式（）A．∫01＜∫01B．∫01＞∫01C．（∫01）2=∫01D．∫01∫019．若，，則a與b的關系是（）A．a(chǎn)＜bB．a(chǎn)＞bC．D．010．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（）A．2﹣eB．C．﹣e2D．﹣2﹣e12．已知f（x）=2﹣，則（）A．3B．4C．3.5D．4.513．設f（x）=3﹣﹣1|，則∫﹣22f（x）（）A．7B．8C．7.5D．6.514．積分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（）A．1/2B．1C．2D．3/216．由函數(shù)（0≤x≤2π）的圖象與直線及1所圍成的一個封閉圖形的面積是（）A．4B．C．D．2π17．曲線3在點（1，1）處的切線與x軸及直線1所圍成的三角形的面積為（）A．B．C．D．18．圖中，陰影部分的面積是（）A．16B．18C．20D．2219．如圖中陰影部分的面積是（）A．B．C．D．20．曲線與坐標軸圍成的面積是（）A．B．C．D．21．如圖，點P（3a，a）是反比例函（k＞0）與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為10π，則反比例函數(shù)的解析式為（）A．B．C．D．

高考定積分應用常見題型大全（含答案）參考答案與試題解析一．選擇題（共21小題）1．（2012?福建）如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為（）A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應用；幾何概型．專題：計算題．分析：根據(jù)題意，易得正方形的面積，觀察圖形可得，陰影部分由函數(shù)與圍成，由定積分公式，計算可得陰影部分的面積，進而由幾何概型公式計算可得答案．解答：解：根據(jù)題意，正方形的面積為1×1=1，而陰影部分由函數(shù)與圍成，其面積為∫01（﹣x）（﹣）|01=，則正方形中任取一點P，點P取自陰影部分的概率為=；故選C．點評：本題考查幾何概型的計算，涉及定積分在求面積中的應用，關鍵是正確計算出陰影部分的面積．2．（2010?山東）由曲線2，3圍成的封閉圖形面積為（）A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應用．專題：計算題．分析：要求曲線2，3圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求∫01（x2﹣x3）即可．解答：解：由題意得，兩曲線的交點坐標是（1，1），（0，0）故積分區(qū)間是[0，1]所求封閉圖形的面積為∫01（x2﹣x3）═，故選A．點評：本題考查定積分的基礎知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積．3．設f（x）=，函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為（）A．B．C．D．考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的圖象；定積分在求面積中的應用．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合．分析：利用坐標系中作出函數(shù)圖象的形狀，通過定積分的公式，分別對兩部分用定積分求出其面積，再把它們相加，即可求出圍成的封閉區(qū)域曲邊圖形的面積．解答：解：根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：根據(jù)定積分，得所圍成的封閉區(qū)域的面積故選C點評：本題考查分段函數(shù)的圖象和定積分的運用，考查積分與曲邊圖形面積的關系，屬于中檔題．解題關鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，注意運算的準確性．4．定積分的值為（）A．B．32C．3﹣2D．62考點：定積分；微積分基本定理；定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：由題設條件，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求出定積分的值即可．解答：解：=（x2）|12=（222）﹣（121）=32故選B．點評：本題考查求定積分，求解的關鍵是掌握住定積分的定義及相關函數(shù)的導數(shù)的求法，屬于基礎題．5．如圖所示，曲線2和曲線圍成一個葉形圖（陰影部分），其面積是（）A．1B．C．D．考點：定積分；定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：聯(lián)立由曲線2和曲線兩個解析式求出交點坐標，然后在x∈（0，1）區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可．解答：解：聯(lián)立得，解得或，設曲線與直線圍成的面積為S，則∫01（﹣x2）故選：C點評：考查學生求函數(shù)交點求法的能力，利用定積分求圖形面積的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考點：微積分基本定理；定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：由于F（x）2為f（x）的一個原函數(shù)即F′（x）（x），根據(jù)∫（x）（x）公式即可求出值．解答：解：∵（x2）′，∴（）=（x2）=2．故答案為：2．點評：此題考查學生掌握函數(shù)的求導法則，會求函數(shù)的定積分運算，是一道基礎題．7．已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣2，4]，且f（4）（﹣2）=1，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，函數(shù)′（x）的圖象如圖所示，則平面區(qū)域f（2）＜1（a≥0，b≥0）所圍成的面積是（）A．2B．4C．5D．8考點：定積分的簡單應用．分析：根據(jù)導函數(shù)的圖象，分析原函數(shù)的性質(zhì)或作出原函數(shù)的草圖，找出a、b滿足的條件，畫出平面區(qū)域，即可求解．解答：解：由圖可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[﹣2，0）上單調(diào)遞減，（0，4]上f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，4]上單調(diào)遞增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值為f（4）（﹣2）=1，∴f（2）＜1（a≥0，b≥0）?表示的平面區(qū)域如圖所示：故選B．點評：本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，以及線性規(guī)劃問題的綜合應用，屬于高檔題．解決時要注意數(shù)形結(jié)合思想應用．8．∫01與∫01相比有關系式（）A．∫01＜∫01B．∫01＞∫01C．（∫01）2=∫01D．∫01∫01考點：定積分的簡單應用；定積分．專題：計算題．分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以直線0，1及函數(shù)或在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標軸圍成的面積，只需畫出函數(shù)圖象觀察面積大小即可．解答：解：∫01表示的幾何意義是以直線0，1及函數(shù)在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標軸圍成的面積，∫01表示的幾何意義是以直線0，1及函數(shù)在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標軸圍成的面積，如圖∵當0＜x＜1時，＞，故有：∫01＞∫01故選B．點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，解題的關鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進行求解，屬于基礎題．9．若，，則a與b的關系是（）A．a(chǎn)＜bB．a(chǎn)＞bC．D．0考點：定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：（﹣）=（﹣2）﹣（﹣）=﹣2≈24.6°，1﹣01≈57.3°．解答：解：∵（﹣）=（﹣2）﹣（﹣）=﹣2≈﹣114.6°24.6°，1﹣01≈57.3°，∴b＞a．故選A．點評：本題考查定積分的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．10．的值是（）A．B．C．D．考點：定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)圓弧與拋物線2在第一象限的部分坐標軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的部分與x軸和直線1圍成的圖形的面積即可．解答：解；積分所表示的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)圓弧與拋物線2在第一象限的部分坐標軸圍成的面積，故只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的部分與x軸和直線1圍成的圖形的面積之差．即=﹣=﹣=故答案選A點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，解題的關鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進行求解，屬于基礎題11．若f（x）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（）A．2﹣eB．C．﹣e2D．﹣2﹣e考點：定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：由于函數(shù)為分段函數(shù)，故將積分區(qū)間分為兩部分，進而分別求出相應的積分，即可得到結(jié)論．解答：解：故選C．點評：本題重點考查定積分，解題的關鍵是將積分區(qū)間分為兩部分，再分別求出相應的積分．12．已知f（x）=2﹣，則（）A．3B．4C．3.5D．4.5考點：定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：由題意，，由此可求定積分的值．解答：解：由題意，2﹣+4﹣2=3.5故選C．點評：本題考查定積分的計算，解題的關鍵是利用定積分的性質(zhì)化為兩個定積分的和．13．設f（x）=3﹣﹣1|，則∫﹣22f（x）（）A．7B．8C．7.5D．6.5考點：定積分的簡單應用．專題：計算題．分析：∫﹣22f（x）∫﹣22（3﹣﹣1|），將∫﹣22（3﹣﹣1|）轉(zhuǎn)化成∫﹣21（2）∫12（4﹣x），然后根據(jù)定積分的定義先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）∫﹣22（3﹣﹣1|）∫﹣21（2）∫12（4﹣x）（22）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7故選A．點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于基礎題．14．積分=（）A．B．C．πa2D．2πa2考點：定積分的簡單應用；定積分．專題：計算題．分析：本題利用定積分的幾何意義計算定積分，即求被積函數(shù)與x軸所圍成的圖形的面積，圍成的圖象是半個圓．解答：解：根據(jù)定積分的幾何意義，則表示圓心在原點，半徑為3的圓的上半圓的面積，故．故選B．點評：本小題主要考查定積分、定積分的幾何意義、圓的面積等基礎知識，考查考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎題．15．已知函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（）A．1/2B．1C．2D．3/2考點：定積分在求面積中的應用．專題：計算題．分析：根據(jù)幾何圖形用定積分表示出所圍成的封閉圖形的面積，求出函數(shù)f（x）的積分，求出所求即可．解答：解：由題意圖象與x軸所圍成圖形的面積為=（﹣）|011=故選D．點評：本題考查定積分在求面積中的應用，求解的關鍵是正確利用定積分的運算規(guī)則求出定積分的值，本題易因為對兩個知識點不熟悉公式用錯而導致錯誤，牢固掌握好基礎知識很重要．16．由函數(shù)（0≤x≤2π）的圖象與直線及1所圍成的一個封閉圖形的面積是（）A．4B．C．D．2π考點：定積分在求面積中的應用．專題：計算題．分析：由題意可知函數(shù)（0≤x≤2π）的圖象與直線及1所圍成的一個封閉圖形可利用定積分進行計算，只要求∫0（1﹣）即可．然后根據(jù)積分的運算公式進行求解即可．解答：解：由函數(shù)（0≤x≤2π）的圖象與直線及1所圍成的一個封閉圖形的面積，就是：∫0（1﹣）（x﹣）|0=．故選B．點評：本題考查余弦函數(shù)的圖象，定積分，考查計算能力，解題的關鍵是兩塊封閉圖形的面積之和就是上部直接積分減去下部積分．17．曲線3在點（1，1）處的切線與x軸及直線1所圍成的三角形的面積為（）A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應用．專題：計算題．分析：欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導數(shù)求出在1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．解答：解：∵3，∴y'=3x2，當1時，y'=3得切線的斜率為3，所以3；所以曲線在點（1，1）處的切線方程為：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令得：，∴切線與x軸、直線1所圍成的三角形的面積為：×（1﹣）×1=故選B．點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，屬于基礎題．18．圖中，陰影部分的面積是（）A．16B．18C．20D．22考點：定積分在求面積中的應用．專題：計算題．分析：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標分別為（2，﹣2），（8，4）．過（2，﹣2）作x軸的垂線把陰影部分分為S1，S2兩部分，利用定積分的方法分別求出它們的面積并相加即可得到陰影部分的面積．解答：解：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標分別為（2，﹣2），（8，4）．過（2，﹣2）作x軸的垂線把陰影部分分為S1，S2兩部分，分別求出它們的面積A1，A2：A1=∫02[]2，A2=∫28[]所以陰影部分的面積1218故選B．點評：本題考查定積分在求面積中的應用，解題是要注意分割，關鍵是要注意在x軸下方的部分積分為負（積分的幾何意義強調(diào)代數(shù)和），屬于基礎題．考查學生利用定積分求陰影面積的方法的能力．19．如圖中陰影部分的面積是（）A．B．C．D．考點：定積分在求面積中的應用．專題：計算題．分析：求陰影部分的面積，先要對陰影部分進行分割到三個象限內(nèi)，分別對三部分進行積分求和即可．解答：解：直線2x與拋物線3﹣x2解得交點為（﹣3，﹣6）和（1，2）拋物線3﹣x2與x軸負半軸交點（﹣，0）設陰影部分面積為s，則==所以陰影部分的面積為，故選C．點評：本題考查定積分在求面積中的應用，解題是要注意分割，關鍵是要注意在x