【河北卷】河北省石家莊市2025屆高中畢業(yè)學校高三年級11月教學質(zhì)量摸底檢測（11.3-11.5）數(shù)學試卷（解析版）

第1頁/共1頁石家莊市2025屆普通高中學校畢業(yè)年級教學質(zhì)量摸底檢測數(shù)學（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求出B，根據(jù)集合的交集運算，即可得答案.【詳解】集合，,故，故選；C2.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用復數(shù)除法法則得到，得到虛部.【詳解】，故虛部為.故選：A3.已知平面向量滿足，且，，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算及夾角公式得解.【詳解】因為，，所以，即，所以，所以，故選：B4.已知正四棱錐底面邊長為2，且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知得出斜高，從而可得正四棱錐的高，由體積公式可得正四棱錐的體積.【詳解】如圖，正四棱錐，，為底面正方形中心，為中點，由已知可得，所以，又，所以，所以正四棱錐的體積為.故選：.5.已知，，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件可得，結(jié)合及差角余弦公式，即可求目標式的值.【詳解】由，所以，而，所以，即，所以.故選：D6.若數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)由可得，即可求出數(shù)列前6項均為負值，可得結(jié)論.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可得；又，所以；因此可得數(shù)列的公差，且前6項均為負值，所以的最小值為前6項和，即為.故選：B7.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若，則（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性及定義，求出、長度，由直角三角形求解可得解.【詳解】如圖，因為雙曲線，所以，由雙曲線的對稱性知，所以，由雙曲線定義可得，所以，又，所以，即，所以,故，故選：A8.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用單調(diào)性解不等式結(jié)合對數(shù)運算即可求解【詳解】函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上是減函數(shù)，，即，所以，所以，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實數(shù)a，b，c滿足，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用作差法可判斷AC；根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷B；利用基本不等式判斷D.【詳解】對于A，實數(shù)a，b，c滿足，則，即，A錯誤；對于B，由于，故，則，B正確；對于C，因為，故，則，即，C正確；對于D，由于，故，則，而，當且僅當時等號成立，故，D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，在上單調(diào)遞增B.若，且，則函數(shù)的最小正周期為C.若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于y軸對稱，則的最小值為3D.若在上恰有4個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由復合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對于B，直接可得，由此即可判斷；對于C，由題意得結(jié)合的范圍即可判斷；對于D，先得到，進一步列出不等式組即可求解.【詳解】對于A，當時，若，則，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增；對于B，若，且，則當且僅當，故B正確；對于C，若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象所對應的函數(shù)表達式為：，若的圖象關于y軸對稱，則，注意到，所以當且僅當時，的最小值為4，故C錯誤；對于D，，若在上恰有4個零點，則當且僅當，即的取值范圍為.故選：ABD.11.如圖，曲線C過坐標原點O，且C上的動點滿足到兩個定點，的距離之積為9，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若直線與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為C.周長的最小值為12D.面積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】求解曲線方程后，利用過原點求得，可判斷A；聯(lián)立方程組，結(jié)合其解唯一求出k的范圍，可判斷B；利用基本不等式求解的范圍，即可求解周長范圍，判斷C；根據(jù)面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】由定義，即，即，該曲線過原點，所以，又，所以，故選項A正確；故方程為，所以曲線C的方程為，直線與曲線：必有公共點，因此若直線與曲線只有一個交點，則只有一個解，即只有一個解為，即時，無解，故，即實數(shù)的取值范圍為，故B錯誤；由，僅當時等號成立，此時點P在的垂直平分線上，故點P與原點O重合，不能形成三角形，所以，所以周長，等號取不到，故C錯誤；，當且僅當，等號成立，此時點P縱坐標為，方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，故面積能取到最大值，故D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：已知直線與曲線交點個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意變形過程中的等價處理.如復合方程通過整體換元轉(zhuǎn)化為簡單方程來研究時，不能忽視求解新元的范圍；高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來研究時，要注意幾個低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方程研究時，分母是否為0的分類討論；無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時，被開方數(shù)的限制條件等.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.在等比數(shù)列中，，，則____________．【答案】16【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，及可得：，即，又，所以16.故答案為：1613.已知函數(shù)，若與的圖象相切于A、B兩點，則直線的方程為____________．【答案】【解析】【分析】解方程先求出的坐標即可求解.【詳解】，，不妨設，所以，所以直線的方程為：.故答案為：.14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個正四棱錐，則該正四棱錐的5個面所在的平面將空間分成____________部分（用數(shù)字作答）．【答案】23【解析】【分析】假想一個沒有上頂?shù)恼襟w，該正方體會把空間分割成塊，把四面進行極限傾斜相交分析求解.【詳解】假想一個沒有上頂?shù)恼襟w，該正方體會把空間分割成塊，把四面進行極限傾斜相交，如圖所示，在傾斜的過程中，在不管底面的情況下，個側(cè)面在頂點以下的“水平范圍”內(nèi)最多可以切割出個空間，與沒有傾斜極限的情況一樣，多出來的空間是交叉的切割出來的空間，在空間上是對稱的，四個傾斜的側(cè)面在空間中的延伸還是這樣的傾斜側(cè)面，如圖所示的對稱的錐面同樣會切割出個空間，即頂點之上的個延伸的傾斜的面同樣會切割出個空間，但是四個空間和下面的四個傾斜的側(cè)面切出的是同一個，即標記“×”的位置，所以在基礎上加減，即結(jié)果是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于把四面進行極限傾斜相交分析.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知拋物線的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為2且位于x軸上方的點，A到拋物線焦點的距離為．（1）求拋物線C的方程；（2）若過點F的直線l交拋物線C于B、D兩點（異于O點），連接、，若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由拋物線上焦半徑的計算公式求解出，然后得到拋物線的方程即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達定理得到兩根之和與兩根之積，由，得，即，計算的長即可.【小問1詳解】由題意得，解得，故拋物線方程為．【小問2詳解】由題意得直線l的斜率不為0，設直線，與聯(lián)立得，由韋達定理得，①設，，過O點作l垂線，垂足為G．由，得，即由得②由①②聯(lián)立上式得，，．16.如圖，在直四棱柱中，，，，，．（1）設過點G、B、D的平面交直線于點M，求線段的長；（2）若，當二面角為直二面角時，求直四棱柱的體積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直棱柱得且平面，利用線面平行的性質(zhì)得，進而求線段的長；（2）法一：設，連接，，利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理及二面角的定義有為二面角的平面角，令結(jié)合已知條件求，最后應用棱柱的體積公式求體積；法二：設，根據(jù)已知二面角大小，應用向量法列方程求，進而應用棱柱的體積公式求體積；【小問1詳解】連接，由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，知且平面，平面平面，平面，所以，由平行傳遞性知，所以M為靠近的三等分點，.【小問2詳解】方法一：幾何法，如上圖，設，連接，，由題意，，且都在面內(nèi)，故面，同理有面，由面，面，所以，，故為二面角的平面角，設，由二面角為直二面角，知，由題設有，等面積法得，故，，，在中，即，整理得，解得，由題設，知，則，所以；方法二：向量法，設直線與直線交于點O，以O為坐標原點，以為x軸，以為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系．在中，由射影定理得，，，設，則，，，，設平面的一個法向量為，則，即，所以，令，則，，設平面的一個法向量為，則，即，所以，令，則，，當二面角為直二面角時，，得，∴.17.在中，，，點D在邊上，且．（1）若，求的長；（2）若，點在邊上，且，與交于點，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，在和中分別得出，即可求解；（2）根據(jù)數(shù)量積的定義可得，根據(jù)向量的線性運算可得，由向量的夾角運算公式即可求解.【小問1詳解】設，在中，，中，由余弦定理可得，所以，，解得，所以；【小問2詳解】，，，，.18.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）設方程的所有根之和為T，且，求整數(shù)n的值；（3）若關于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題可得，判斷導函數(shù)符號，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最小值；（2），由單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理可得零點范圍，即可得T的范圍，即可得答案；（3）令，求導得，然后分，兩種情況討論可得答案；【小問1詳解】，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，；【小問2詳解】方程可化簡為方程的根就是函數(shù)的零點，注意到，則在，上單調(diào)遞增.因為，，所以函數(shù)在有唯一零點，且.因為，，所以函數(shù)在有唯一零點，且則，因此，．【小問3詳解】設，則當時恒成立，①由（1）得，當時，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，.∴②當時，，這與矛盾，綜上，．【點睛】關鍵點睛：對于零點范圍問題，常利用零點存在性定理確定具體范圍；對于函數(shù)不等式恒成立問題，可利用分離參數(shù)解決，也可直接分類討論處理.19.母函數(shù)（又稱生成函數(shù)）就是一列用來展示一串數(shù)字的掛衣架．這是數(shù)學家赫伯特·維爾夫?qū)δ负瘮?shù)的一個形象且精妙的比喻．對于任意數(shù)列，即用如下方法與一個函數(shù)聯(lián)系起來：，則稱是數(shù)列的生成函數(shù)．例如：求方程的非負整數(shù)解的個數(shù)．設此方程的生成函數(shù)為，其中x的指數(shù)代表的值．，則非負整數(shù)解的個數(shù)為．若，則，可得，于是可得函數(shù)的收縮表達式為：．故（廣義的二項式定理：兩個數(shù)之和的任意實數(shù)次冪可以展開為類似項之和的恒等式）則根據(jù)以上材料，解決下述問題：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中m項為0，m項為1，且對任意，，不同的“規(guī)范01數(shù)列”個數(shù)記為．（1）判斷以下數(shù)列是否為“規(guī)范01數(shù)列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）規(guī)定，計算，，，的值，歸納數(shù)列的遞推公式；（3）設數(shù)列對應的生成函數(shù)為①結(jié)合與之間的關系，推導的收縮表達式；②求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）①，③是“規(guī)范01數(shù)列”，②不是“規(guī)范01數(shù)列”,理由見解析；（2），，，；數(shù)列的遞推公式為或；（3）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)“規(guī)范01數(shù)列”的定義進行驗證，①③正確，其中②中，故②錯誤；（2）列舉法得到，，，，方法一：“規(guī)范01數(shù)列”滿足：①當時，；②當時，，從而可將an劃分為兩部分，即和，得到的遞推公式；方法二：利用正難則反的方法進行求解，得到，推出；（3）①推出，求出，由極限思想舍去，得到；②在①的基礎上，推出，得到答案.小問1詳解】①，③是“規(guī)范01數(shù)列”，②不是“規(guī)范01數(shù)列”,理由如下：①0，1，0，1，0，1；，，，，，，故①為“規(guī)范01數(shù)列”，②0，0，1，1，1，0，0，1，，不滿足要求；③0，1，0，0，0，1，1，1，滿足，，③為“規(guī)范01數(shù)列”；【小問2詳解】時，“規(guī)范01數(shù)列”只有0，1，故，時，“規(guī)范01數(shù)列”有0，0，1，1和0，1，0，1，故，時，“規(guī)范01數(shù)列”有0，0，0，1，1，1和0，1，0，1，0，1和0，0，1，0，1，1和0，1，0，0，1，1和0，0，1，1，0，1，故，時，“規(guī)范01數(shù)列”有0，0，0，0，1，1，1，1和0，1，0，1，0，1，0，1和0，0，1，0，1，1，0，1和0，1，0，0，1，1，0，1和0，0，1，1，0，1，0，1和0，0，1，1，0，0，1，1和0，1，0，0，1，1，0，1和0，0，0，1，0，1，1，1和0，0，1，0，0，1，1，1和0，1，0，0，0，1，1，1和0，0，1，0，1，0，1，1和0，1，0，1，0，0，1，1和0，0，0，1，1，0，1，1和0，0，0，1，1，1，0，1；故，方法一：“規(guī)范01數(shù)列”an中，首項，若an當時，；②當時，，此時可將an劃分為兩部分，即和，由于且，則可構(gòu)成一個“規(guī)范01數(shù)列”，所以數(shù)列的遞推公式為：；方法二：要想滿足“規(guī)范01數(shù)列”，即從左向右掃描，出現(xiàn)0的