歷屆中考數(shù)學基礎知識題庫

歷屆中考數(shù)學基礎知識題庫

單選題（經典例題高頻考點-名師出品必屬精品）

1、若關于X的一元二次方程x?-ax=0的一個解是則a的值為（）

A.IB.-2C.-ID.2

答案：C

解析：

把x?1代入方程1?ar=0得1+々=0,然后解關于〃的方程即可.

解：把x二-1x2-ax=01+a=0,解得a=-1.

故選C.

小提示：

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

2、如圖，在方格紙上建立的平面直角坐標系中，將△48。繞點。按順時針方向旋轉90。，得到夕0,則點

力的坐標為（）.

A.(2,1)B.(1,2)

C.(2,-l)D.(2,0)

答案：A

解析：

根據(jù)網格結構作出旋轉后的圖形，然后根據(jù)平面直角坐標系寫出點8的坐標即可.

△月'"。如圖所示，點夕（2,1）

故選力.

小提示：

本題考查了坐標與圖形變化，熟練掌握網格結構，作出圖形是解題的關鍵.

3、怖是整數(shù)，正整數(shù)n的最小值是（）

A.OB.2C.3D.4

答案：B

解析：

由Ji石=4,可知n=2.

???倔I是整數(shù)，

V8n=V16=4,即n=2,選B.

小提示：

此題主要考察二次根式的應用.

4、下列圖形中，內角和等于360。的是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

2

答案：B

解析：

根據(jù)多邊形內角和公式，列式算出它是幾邊形.

解：由多邊形內角和公式，180。(九一2)=360。，解得71=4.

故選：B.

小提示：

本題考查多邊形內角和公式，解題的關鍵是掌握多邊形內角和公式.

5、在平面直角坐標系彳如中，對于點PQ,y),我們把點P(-、+1"+1)叫做點尸的伴隨點，已知點4的伴隨

點為點的伴隨點為點＜3的伴隨點為4，…，這樣依次得點44乙念…，An,若點兒的坐標為

(3,1),則點/曲的坐標為()

A.(0,-2)B.(0,4)C.(3,1)D.(-3,1)

答案：C

解析：

根據(jù)“伴隨點”的定義依次求出各點，得出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4,根據(jù)余數(shù)的情

況確定點兒⑼的坐標即可.

解：二?點公的坐標為(3,1),

???點4的伴隨點色的坐標為(T+13+1),即(0,4),

同理得：

人3(-3,1)，4(0,-2),45(3,1),…

」?每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

.?2021+4=505

3

A—的坐標與4的坐標相同,

即力納〃的坐標為（3,1）,

故選：C.

小提示：

本題主要考查平面直角坐標系中探索點的變化規(guī)律問題，解題關鍵是讀懂題目，理解“伴隨點”的定義，并能

夠得出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán).

6、下列倡導節(jié)約的圖案中，是軸對稱圖形的是（）

答案：C

解析：

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的

概念求解.

解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，故此選項正確；

D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選C.

小提示：

此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

7、已知￡=?=5,當匕+2d中0時，則鬻的值是（）

ba2d

4

A.5B.IOC.15D.20

答案：A

解析：

根據(jù)已知盛=：=5,得a=5b,c=5d,將其代入即可求得結果.

解：W=；=5

?"?a=5b,c=5d,

.a+2c_5b+2x5d_5(b+2d)_5

b+2d-b+2d-b+2d-

故選：A

小提示：

本題考查的是求代數(shù)式的值，應先觀察已知式，求值式的特征，采用適當?shù)淖冃?，作為解決問題的突破口.

8、2020年7月20日，寧津縣人民政府印發(fā)《津縣城市生活垃圾分類制度實施方案》的通知，全面推行生活

垃圾分類.下列垃圾分類標志分別是廚余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是軸對稱圖形又是中

心對稱圖形的是()

AXXc4X

答案：B

解析：

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念去判斷即可.

A、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故不滿足題意；

B、是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故滿足題意；

5

C、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故不滿足題意；

D、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故不滿足題意；

故選：B.

小提示：

本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，關鍵是緊扣軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念.

9、計算-1-3|+5結果正確的是（）

A.4B.2C.-2D.-4

答案：B

解析：

直接根據(jù)絕對值的代數(shù)意義及有理數(shù)的加法運算法則計算得出答案.

解：-1-31+5

=-3+5

=2.

故選

小提示：

此題主要考查了絕對值的代數(shù)意義及有理數(shù)的加法運算法則，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

10、下列運算結果正確的是（）

A.ci+a=a'B.=aC.（-a）3=a6D.a^a-a

答案：D

解析：

6

根據(jù)整式的運算直接進行排除選項即可.

解：4/+，無法合并，故此選項錯誤；

B、a*a=故此選項錯誤；

G（-，）=-，，故此選項錯誤；

〃、/+/=/,正確;

故選

小提示：

本題主要考查整式的運算，熟練掌握整式的運算是解題的關鍵.

填空題（經典例題高頻考點-名師出品必屬精品）

11、當_____時，分式器的值為0.

答案：％=2且y工一：

解析：

根據(jù)分式的值為零，分子等于0,分母不等于。即可求解.

由題意得：工一2=。且2y+1*0

解得：x=2且yH

故填：x=2且yH

小提示：

主要考查分式的值為零的條件，注意：分式的值為零，分子等于0,分母不等于0.

12、如圖，在△力比中，力4=8,10,點〃為應'邊的中點，點少是力。邊上一點，連接被夠XEDB沿DE

翻折，得到△〃Q，連接用PB,PA,若如經過"的中點片且尸。=2,則△力外的面積是一.

7

A

答案：誓#境巡

解析：

過點〃作〃以/出于點此設即與即交于點。，可得四邊形夕〃處為平行四邊形，而BD=DP,故平行四邊形

BDPE為菱形,即得EP=BD=BE=CD=5,BPLED,又四邊形加9為平行四邊形，推出即二尸C二2,證明四邊

形被％是平行四邊形，可得班是中位線，從而建=76=1,在Rt△腕中，仇?二2傷，即知以應心

三DE?B0=2瓜=^BE?DM,推出〃0竽，根據(jù)與△應均等高，即可得答案.

解：過點〃作〃以仍于點M設ED與8尸交于點0,

???點〃是比邊的中點，點廠是力。的中點,

：.DP//BEy

UBD=乙PDC、

又,//.EPD-乙EBD、

...乙EPD=乙PDC,

:.EP//BD、

8

???四邊形陽為平行四邊形,

又,：BD=DP、

???平行四邊形以力%'為菱形，

:.EP=BD=BE=DP=CD=5、BPLED,

四邊形"四為平行四邊形，

：.ED=PC=2,ED//CP,

?:DP"BE、gpDP//EG,

???四邊形被%是平行四邊形，

:.EG=DP=\、PG=ED=2、

:.PG=CP、

.?.勿是△“'G中位線，

?:AE=AB?BE=8-5=3,

：.AG=EG-AE=5-3=2t

:.PF=^AG=lt

在Rt4BOE中、

BE=BD=5、E0=^DE=1,

.-.^68=V52-l2=2V6,

/.SABDE=-DE^BO=2V6=-BE-D^

22

.?.除華,

;平行線間的距離相等，△力加以所為底，高即為小,

9

.?.S"小‘欣華="”華=*

所以答案是：弋.

小提示：

本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形中位線定理

等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題.

13、已知』+加什16能用完全平方公式因式分解，則勿的值為

答案：±8

解析：

利用完全平方公式的結構特征判斷，確定出勿的值即可得到答案.

解要使得/+mx+16能用完全平方公式分解因式，

???應滿足/4-mx+16=(%±4)2,

?.?(%±4)2=x2±8%+16,

*771=±8,

所以答案是：±8.

小提示：

此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本題的關鍵.

14、如圖，的是。。的直徑，〃、是O。的切線，切點為4回交。。于點〃直線應是的切線，切點為〃,

交〃?于瓦若。。半徑為LBC=4,則圖中陰影部分的面積為一.

10

答案：百一廣

解析：

連接0D、0艮AD,AD交0E于F,如圖，根據(jù)切線的性質得到乙物。=90°,利用余弦的定義可計算出乙8=60°,

則根據(jù)圓周角定理得到乙月的二90°,乙板=120°,于是可計算出劭=1,AD=V3,接著證明朦為等邊三角

形，求出冰/根據(jù)扇形的面積公式，利摘S陰匏部分=S腿影OAED-S運形AOD:SRADE+SRAOD-S鬲膨AOD選

行計算.

解:連接OD、OE、AD,A。交位于F,如圖，

■「力。是。。的切線，切點為4

：.ABLACy

乙BAC=90°,

在欣△力回中，cosB=胎

“B=60°,

二.乙4勿=248=120°,

,??46為直徑,

LADB^90°,

/.LBAD=90°-2.^=900-600=300,

在RtdADB中,BD=^AB=1,

11

:.AD-=痘BD=V3,

???直線〃歐必都是O0的切線,

/.EA=ED,ADAE=90°-^BAD=90o-30°=60°,

??.△川必為等邊三角形,

而如=放

必垂直平分AD,

/.乙力用=90°,

在Rt&AOF中,ZOAF=30°,

二S陰影滯分-S掰助彩OAED-S敏形AOD、

S?ADE'SLAOD-S扇形AOD、

120X7TX12

Yx（6）2+1XV3X1-

360

故答案為6-：江.

小提示：

本題考查圓的切線,圓周角定理，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)求角，30。角直角三角形的性質，掌握和運用

12

圓的切線，圓周角定理，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)求角，30。角直角三角形的性質是解題關鍵.

15、如果方程組的解與方程組［匕］：的解相同，貝|ja+b的值為.

答案：1

解析：

根據(jù)題意，把［1:代入方程組二聯(lián)得到一個關于a,b的方程組，將方程組的兩個方程左右兩邊

分別相加，整理即可得出a+b的值.

解：根據(jù)題意把仁Z3代入方程組窗l(fā)av-2'得

(y-O\UXTCLy—L

伊+4Q=5①

14b+3Q=2②’

①+②，得：7(a+b)=7,

則a+b=l,

所以答案是：1.

小提示：

此題主要考查了二元一次方程組的解的定義以及加減消元法解方程組.一般地，二元一次方程組的兩個方程的

公共解，叫做二元一次方程組的解.注意兩個方程組有相同的解時，往往需要將兩個方程組進行重組解題.

16、如圖，若△ABC/2XADE,且乙1=35°,貝IJ乙2=.

EA

13

答案：35°.

解析：

根據(jù)全等的性質可得：zCEAD=rCAB,再根據(jù)等式的基本性質可得乙1=乙2=35。.

解:vAABC^AADE,

ZEAD=4CAB,

ZEAD-乙CAD=4CAB—4CAD,

乙2=乙1=35°.

故答案為35。.

小提示：

此題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應角相等是解決此題的關鍵.

17、小明的身高為1.6m,他在陽光下的影長為2m,此時他旁邊的旗桿的影長為15m,則旗桿的高度為

_____m.

答案：12

解析：

設這根旗桿的高度為xm,利用某一時刻物體的高度與它的影長的比相等得到卷=竽然后利用比例性質求x

即可.

設這根旗桿的高度為xm.

根據(jù)題意得卷=y

解得x=12(m),

即這根旗桿的高度為12m.

故答案為12.

14

小提示:

本題考查了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度(測量距離)；借助標桿或

直尺測量物體的高度.

18、在函數(shù)y=(%—l)2中，當*>1時」隨x的增大而(填"增大"或“減小”)

答案：增大

解析：

根據(jù)其頂點式函數(shù)y=(X-I)?可知，拋物線開口向上，對稱軸為％=1，在對稱軸右側v隨x的增大而增大，可得到

答案.

由題意可知:函數(shù)y=(%-1產開口向上,在對稱軸右側y隨x的增大而增大，又；對稱軸為％=1,

,當%>1時,y隨的增大而增大，

故答案為:增大.

小提示：

本題主要考查了二次函數(shù)的對稱軸及增減性掌握當二次函數(shù)開口向上時，在對稱軸的右側p隨/的增大而增大，

在對稱軸的左側y隨x的增大而減小是解題的關鍵.

19、二次函數(shù)y=-2尸+3的最大值是.

答案：3

解析：

二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a(%-九尸+b在％=h時有最值，a>0時有最小值為b,aV0時有最大值為瓦即可得出

答案.

.Q=-1<0,

二.y有最大值,

15

當％=2時，y有最大值為3.

所以答案是：3.

小提示：

本題考查了二次函數(shù)頂點式求最值，熟練掌握二次函數(shù)的表達式及最值的確定方法是解題的關鍵.

20、計算:V3xV5=.

答案：V15

解析：

根據(jù)二次根式乘法運算法則進行運算即可得出答案.

解：V3xV5=VTX5=A/15,

所以答案是：V15.

小提示：

本次考查二次根式乘法運算，熟練二次根式乘法運算法則即可.

解答題(經典例題高頻考點-名師出品必屬精品)

21、某化工材料經售公司購進了一種化工原料，進貨價格為每千克30元.物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于

每千克70元，也不得低于30元.市場調查發(fā)現(xiàn)：單價每千克70元時日均銷售60kg；單價每千克降低一元，

日均多售2kg.在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元(天數(shù)不足一天時，按一天計算).

(1)如果日均獲利1950元，求銷售單價；

(2)銷售單價為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少.

答案：(1)65；(2)當單價為65時，日獲利最大，最大利潤為1950元.

解析：

(1)若銷售單價為x元，則每千克降低(70-x)元，日均多銷售出2(70-x)千克，日均銷售量為［60+2

16

(70-x)]千克，每千克獲利(x-30)元，根據(jù)題意可得等量關系：每千克利潤x銷售量-500元二總利潤，根據(jù)

等量關系列出方程即可；

(2)運用配方法配成頂點式，得頂點坐標，結合X的取值范圍即可求得結論.

解：(1)設銷售單價為x元，由題意得：

(x-30)[60+2(70-x)]-500=1950,

解得:XI=X2=65,

?「銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，

??二65符合題意，

答：銷售單價為65元時，日均獲利為1950元；

(2)設銷售單價為x元，可獲得利潤為y,由題意得：

y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6500(30這xW70).

...y=?2x2+260x?6500可化為y=-2(x-65),1950的形式，

二頂點坐標為(65,1950),

v30<65<70,

當單價定為65元時，日均獲利最大，最大利潤為1950元.

小提示：

此題主要考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)題意表示出日均銷售量，以及每千克的利

潤.

22、已知關于X的二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1.

⑴求證：不論m為何實數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與“軸總有兩個公共點；

(2)若N(m+2/2)兩點在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出與及的大小關系；

17

⑶若將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線，當1WXW3時，新拋物線對應的函數(shù)有最小值3,求m的值.

答案：⑴見解析

(2)%<y2

⑶m的值為1或-5

解析：

(1)計算判別式的值，得到A=4>0,即可判定；

(2)計算二次函數(shù)的對稱軸為：直線x=m,利用當拋物線開口向上時，誰離對稱軸遠誰大判斷即可；

(3)先得到拋物線沿y軸翻折后的函數(shù)關系式，再利用對稱軸與取值范圍的位置分類討論即可.

⑴

證明:令y=0,則-2mx+m2-1=0

A=b2-4ac=(-2m)2—4(m2-1)=4>0

?.不論m為何實數(shù)，方程/-+n?-i=。有兩個不相等的實數(shù)根

「?無論m為何實數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與不軸總有兩個公共點

⑵

解:二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1的對稱軸為：直線％=m

va=1>0,拋物線開口向上

」?拋物線上的點離對稱軸越遠對應的函數(shù)值越大

/M(m-1,%)N(m+2,y2)

???M點到對稱軸的距離為：1

N點到對稱軸的距離為：2

18

?<yz

⑶

解：:拋物線y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1

二沿y軸翻折后的函數(shù)解析式為y=(x+m)2-1

???該拋物線的對稱軸為直線％=-m

①若一m<l,即/n>-l,則當x=l時，y有最小值

(1+m)2-1=3

解得

mi=1,m2=-3

:m>-1

.'.m=1

②若1工一小43,即一34加工一1,則當％=-m時，y有最小值-1

不合題意，舍去

③若一m>3,m<-3,則當％=3時，y有最小值

(3+m)2-1=3

解得】

Tn=-1,m2=-5

<-3

'-m=-5

綜上，m的值為1或-5

小提示：

本題考查了拋物線與才軸的交點以及二次函數(shù)的最值問題，利用一元二次方程根的判別式判斷拋物線與A■軸的

交點情況；熟練掌握二次函數(shù)的最值情況、根據(jù)對稱軸與取值范圍的位置關系來確定二次函數(shù)的最值是解本題

19

的關鍵.

23、如圖，力〃是△力比的角平分線，龍、分別是△加9和勿的高.

(1)求證：/〃垂直平分)；

(2)gAB+AC=10,SAABC=15,求應的長.

答案：(1)見解析；(2)DE=3

解析：

(1)由角平分線的性質得應'二分:再根據(jù)M證明戊△力以匕仇△加囚得四二小從而證明結論；

(2)根據(jù)?！?坐得SM8D+S”cD="B?ED+/c-Dr=：OEG4B+AC)=15,代入計算即可.

(1)證明：?.?助是△力比的角平分線，DE、ZF分別是△力劭和△力切的高，

:.DE;DF、

在RSAED與RSAFD中.

(AD=AD

(DE=DF'

Rt^AED^Rt^AFD(//L),

:"E=AF,

\'DE=DFl

力〃垂直平分〃；

⑵解：:龍二4

20

111

??SMBD+SAACD=豺8?ED+\AC-DF=\DE{AB+AQ=15,

-：Aff+AC=10,

二.DE=3.

小提示：

本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，解題的關鍵是掌握這些知識點.

24、解方程：

('1)'x—-l=x2-l('2)'y—-3=2——3—-y

答案：(1)%=0；(2)無解

解析：

(1)先通分，把分母變?yōu)楹?1,再去分母，求出解，最后檢驗；

(2)先通分，把分母變?yōu)閥-3,再去分母，求出解，最后檢驗.

解：⑴W=W

x+11

x2-1=X2-1

X+1=1

x=0,

經檢驗％=0是原方程的解;

(2)—=2--

、'y-33-y

X-22(y-3),1

-----z-=----------I

y-3y—3------y-3

y—2=2y-6+l

y=3,

21

經檢驗y=3是增根，原方程無解.

小提示：

本題考查解分式方程，解題的關鍵是掌握解分式方程的方法，需要注意結果要檢驗.

25、如圖，一次函數(shù)y=ax+b(a、b為常數(shù),且a>0)與反比例函數(shù)/二^(女為常數(shù)，且*K0)的圖象相交

于點43,4),與>軸交于點C.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)點，在x軸上，且，的坐標為(7.0),△業(yè)乃的面積為20,求一次函數(shù)的解析式.

答案：⑴片?；⑵/22.

解析：

(1)利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；

(2)利用三角形面積求得C的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式.

解：(1)???反比例函數(shù)(在為常數(shù)，且4#0)的圖象過點力(3.4).

.-.4=-3'

?4=12,

.??反比例函數(shù)的解析式為y=7;

22

(2)???點2。在/軸上，的面積為20,

.??24=20,

:.PC=10,

-P(7.0),

???C(-3.0),

把力⑶4),r(-3,0)代入(a、b為常數(shù),且a>0)得］彳，

l—3Q+D=0

解得卜智，

kb=2

.二一次函數(shù)的解析式為片22.

小提示：

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式，三

角形面積，也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

26、如圖，△ABC為。。的內接三角形，40平分NB4C交于點〃連接。。交8C于點￡.

(1)如圖1,求證：0D18C；

(2)如圖2,延長。。交48于點￡連接CF,延長C尸交。。于點〃求證：45="尸；

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長DF交。。于點M連接HM,若tan乙4OM=aHM=10,OF=通、求

線段4c的長.

圖1圖2圖3

23

答案：(1)見解析；(2)見解析；(3)10

解析：

(1)通過弧，弦，圓心角定理即可得到結果.

(2)通過垂徑定理，得到弦BC被平分，然后由垂直平分線得性質，可得8尸=CF,再通過弧，弦，圓心角定

理證得結論.

(3)證明圖中心1=N2,然后通過圓周角定理可證ND=乙N.最后通過全等求得AC=10.

解：⑴證明：如圖1中，

???40平分484c

???Z.BAD=Z.CAD

FD=CD,

???001BC.

(2)證明：如圖2中，

圖2

???0D1BC,

24

BE=CE,

BF=CF,

???(FBC=乙FCB,

:.~BH=AC,

A§=CH,

AB=CH,

???HC-CF=AB-BF,

AF=HF.

(3)如圖3中，連接4M,作直徑4N,連接CN,AH,A"交。M于點G,^\AH1DM.

由對稱性的得M。垂直平分A”.

:.AM=HM=10,

DM是直徑，

LDMA=90°,

tanz.ADM=—=

AD2'

AD=20,DM=V102+202=10A/5,

AN=10V5,

25

VZ1+/.AMD=90°,ZD+Z-AMD=90°

Z1=ZD,

由tan乙4DM=空==,AM=10,可求得MG=2通，

AG2

?.?半徑R='=5后

FM=OM-OF=4V5,FG=FM-MG=275,

MG=FG,

又???/4H//BC,乙B=￡N、

z2=zfi=乙N,

???乙N=cD,

又???AN=DM,乙NCA=Z.DAM=90°,

ANAC=ADMA{AAS),

:.AC=MA=10.

小提示：

本題屬于圓綜合題，主要考查弧，弦，圓心角關系定理，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形等知識，第三

個問題解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

27、已知：如圖，AD是4ABe的角平分線，DE1AB于點E,DF_LAC于點F,BE=CF,求證：4。是8C的中

垂線.

26

答案：見解析.

解析：

由AD是aABC的角平分線，DE-LAB,DFJ_AC,根據(jù)角平分線的性質，可得DE二DF,4BED二乙CFD=90°,繼

而證得RQBED妾RtaCFD,則可得4B=4C,證得AB=AC,然后由三線合一，證得AD是BC的中垂線.

解：?.?AD是/ABC的角平分線，OE1AB,DF1AC,

DE=DF,乙BFD=Z.CFD=90°,

在RtjBEO和RtdCFO中，

DE=DF

乙BED=/.CFD,

BE=CF

???RtABED=RtACFD{SAS),

:.乙B=zf,

：.AB=AC,

???AO是A48c的角平分線，

???4D是8c的中垂線.

小提示：

此題考查了等腰三角形的性質與判定以及全等三角形的判定與性質.注意掌握三線合一性質的應用.

28、圖①是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓

弧翼閘會收回到兩側閘機箱內，這時行人即可通過.圖②是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形ABC和DE尸是閘機

的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，和EF均垂直于地面，扇形的圓心角乙4BC=NOE5=28。，半徑84=

ED=60cm,點力與點。在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm.

27

圖①

(1)求閘機通道的寬度，即8c與EF之間的距離(參考數(shù)據(jù)：sin28。q0.47,cos28°?0.88,tan28°?0.53)

(2)經實踐調查，一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團隊通過一

個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù).

答案：(1)8C與E尸之間的距離為66.4cm；(2)一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

解析：

(1)連接4。，并向兩方延長，分別交EF于點M,N,則MNJ.3CMN_LEF,根據(jù)MN的長度就是BC與E尸

之間的距離，依據(jù)解直角三角形，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度；

(2)設一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為工人，根據(jù)“一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢

票口平均檢票速度的2倍，180人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘”列出分式方

程求解即可；還可以設一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為工人，根據(jù)題意列方程求解.

解：連接力。并向兩方延長，分別交BGEF于點M,N.

由點力與點。在同一水平線上，BC,E尸均垂直于地面可知，MNIBC,MN1EF,所以MN的長度就是BC與

￡產之間的距離.同時，由兩圓弧翼成軸對稱可得AM=DN.

在48M中，Z-AMB=90°,Z-ABM=28°,AB=60,

28

??,sinUBM吟,

AM=AB-sin乙ABM

=60xsin28°?60x0.47=28.2.

MN=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2x2+10=66.4.

:.BC與E/7之間的距離為66.4cm.

(1)解法一：設一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為工人.

根據(jù)題意，得?一3=罷

解，得％=30.

經檢驗％=30是原方程的解

當％=30時，2%=60

答：一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

解法二：設一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為工人.

根據(jù)題意，得詈+3=詈.

解.得％=60

經檢驗％=60是原方程的解.

答：一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

小提示：

本題考查了解直角三角形及列分式方程解應用題，關鍵是掌握含30度的直角直角三角形的性質.

29、如圖，已知48為半圓。的直徑，〃為半圓上的一個動點(不含端點)，以。尸、OB為一組鄰邊作團POBQ,

連接OQ、AP,設OQ、4P的中點分別為M、N,連接PM、ON.

29

（1）試判斷四邊形。MPN的形狀，并說明理由.

（2）若點?從點4出發(fā)，以每秒15。的速度，繞點0在半圓上逆時針方向運動，設運動時間為加.

①是否存在這樣的t,使得點。落在半圓。內？若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.

②試求：當￡為何值時，四邊形OMPN的面積取得最大值？并判斷此時直線PQ與半圓。的位置關系（需說明理

由）.

答案：（1）四邊形如印為矩形，理由見解析；（2）①當8<t<12時，點。落在半圓。內；②當L6s時，

四邊形〃例科的面積取得最大值，此時網與半圓。