數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)及例題

三、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較

等差數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列性質(zhì)

an+「an=d(nNl)；a-a^=d(n>2)弧=q(n之1),乙=q(n>2)

1、定義n

ana、1

4=q+(〃-1Hn-1

2、通項(xiàng)a,=acq

公式n-m

=

an=4+(〃-%)d(〃,meN*)ClnClmq

(□+〃”)〃

q=l,S=na)；

S?=2n

3、前n項(xiàng)和q",Sn=^2=W

n(n-l)

S“=〃q+2d1-qH

a、A、b成等差數(shù)列QA二一；a、A、b成等比數(shù)列O一=2

2aA

an是其前k項(xiàng)an.k與后k項(xiàng)an+k的等差中現(xiàn)，（不等價(jià)于A?=ab,只能=）;

4、中項(xiàng)

即：aJn-k+a^k

an是其前k項(xiàng)an.k與后k項(xiàng)q的

n2

等比中項(xiàng)，即：a：=az-an+k

若m+n=p+q,則+&=a(t+4若m+n=p+q,則QJ=用%特別地,若

5、下標(biāo)和公式

+=2

特別地,若m+n=2p,則amanaPm+n=2p,則

等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首尾等比數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的積等于

兩項(xiàng)的和，即：首尾兩項(xiàng)的積，即:

6、首尾項(xiàng)性質(zhì)

勾+?！?%+Qi=…=4+J）Cl\dndidn-\Clkdn-｛k-\）

｛a｝為等差數(shù)列,若叫n,p成等差數(shù)列,則｛aJ為等比數(shù)夕IJ,若■m,n,p成等差數(shù)列，則

aa成等差數(shù)列，成等比數(shù)列

（兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列）（兩個(gè)等比數(shù)列的積仍是等比數(shù)列）

等差數(shù)列｛｝,｛匕“｝的公差分別為d,e，則數(shù)等比數(shù)列｛｝,｛4｝的公比分別為p,q,

7、結(jié)論

列用為等差數(shù)列，公差為"+e則數(shù)歹1」｛々;匕〃｝仍為等比數(shù)列，公差為

pq

取出等差數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的取出等比數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的新

新數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為2d2

數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為q-

無此性質(zhì)；

若am=n,an=m(m=n),則a^n=0

若S=n,S=m（m。n）,貝!IS=-（m+〃）

innai+n無此性質(zhì)；

無此性質(zhì)；

若S〃=S”（加工〃），則Si=°

Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等差數(shù)列，S〃，S2〃「￡”，S加一S2,“…?成等差數(shù)

公差為，n2d列，公比為g"

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，s偶一S奇二〃d當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，s偶=0%

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃-1時(shí)，

S-_Cln

S偶Cln+lS奇"偶

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃—1時(shí)，s奇—s偶=。中

1）。中，二]

①定義法：%=q

%

①定義法：紇-%=（y（z?>2）

②等差中項(xiàng)概念；44+2產(chǎn)0）

②等差中項(xiàng)概念；級(jí)=%+緣+i（〃>2）

③函數(shù)法：a〃=cq"（c,4均為不為。的

③函數(shù)法：4=o〃+q（p,泌常數(shù)）關(guān)于n的

8、等差（等比）

常數(shù)，〃￡N.）,則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

數(shù)列的判斷方一次函數(shù)。數(shù)列凡｝是首項(xiàng)為p+q,公差為

法

p（w0）的等差數(shù)列；④數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和形如

④數(shù)列但。｝的前項(xiàng)和形如$2

n=an+bnS“=A,”—g均為不等于0的常

（。，b為常數(shù)），那么數(shù)列但"是等差數(shù)列，數(shù)且q#l）,則數(shù)列｛4｝是公比不為1的

等比數(shù)列.

9、共性非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

等差數(shù)列

一、填空題

1.在等差數(shù)列中已知ai=12,a6=27,則d=

2.在等差數(shù)列中已知4=一！，a7=8,則a尸_____________

3

3.（。+份2與（〃一與2的等差中項(xiàng)是

4.正整數(shù)前n個(gè)數(shù)的和是

2

5.數(shù)歹!]｛〃〃｝的前n項(xiàng)和Slt=3n-n,WUan=

二、選擇題

1.在等差數(shù)列｛4｝中4+4]=40,則。4一々5+。6+/+4-為+40的值為（）

A.84R.72C.60D.4R

2.在等差數(shù)列｛《,｝中，前15項(xiàng)的和55=90,4為（）

A.6B.3C.12D.4

3.等差數(shù)列｛&〃｝中，4+%+%=—24,48+49+W0=78,則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于（）

A.160B.180C.200D.220

4.在等差數(shù)列｛4｝中，若4+q+G+4+%=450,則的值等于（）

A.45B.75C.180D.300

三、計(jì)算題

1.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛%｝的有關(guān)未知數(shù)：

（1）4=二,4=一，,5“二-5,求n及4；（2）J=2,n=15,an=-10,

66

2.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和公式是S〃=5〃2+3〃，求它的前3項(xiàng)，并求它的通項(xiàng)公式

3.如果等差數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)的和是2,前9項(xiàng)的和是-6,求其前n項(xiàng)和的公式。

等比數(shù)列

一、填空題

1.若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4,公比為2,則其第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的等比中項(xiàng)是一

2.在等比數(shù)列｛aj中，

（1）若q=\S6=3^|,則a$=;

N10------------

(2)若Ss-7a3?則Q=

⑶若ai+a2+a3=—3,a[a2a3=8,貝US.尸.

3.在等比數(shù)列｛aj中，

(1)若a??au=5,則a8-a9?a)0-an=___；

⑵若'+@2=324,a3+a4=36,則比+@6=；

4.一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=8“一3,則它的通項(xiàng)公式an=

二、選擇題

3、已知（an）是等比數(shù)列，且an>o,a2a4+2a3a5+a.1^25,那么@3+45的值等于[]

A.5B.10C.15D.20

4、.等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)ai=L公差dwo,如果a1，a2,as成等比數(shù)列，那么d等于[]

A.3B.2C.-2D.2或-2

5、.等比數(shù)列｛an｝中，a5+a6=a7-a5=48,那么這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)和等于[]

A.1511B.512C.1023D.1024

6、.等比數(shù)列｛am中，a2=6,且a5-2a「a3=-i2,則④等于

A.6B.6?(-l)n2C.6?2n2D.6或6?(一1)"2或6?2n-2

數(shù)列求通項(xiàng)與求和常用方法歸納

一、知能要點(diǎn)

1、求通項(xiàng)公式的方法：

⑴觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式4；

Sin=,

⑵利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an=\cc

Sn-in:

⑶公式法：利用等差（比）數(shù)列求通項(xiàng)公式；

⑷累加法：如％卜1-累積法，如誓=/（川；

⑸轉(zhuǎn)化法：4+1=44+8（加0,且比1）.

2、求和常用的方法：

⑴公式法:

22

〃q(q=l)

②s“=，q(i-夕")

(#1)

i-q

。)裂項(xiàng)求和:將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差，即，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng).應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng):

①

〃(〃+1)nw+1

(3)-7V-5=—(----------)；--------=-------<-r<-------=--------

k2k2T2k-1A+lkk+1(A+1)Ak2(k-l)kk-1k

④-----------5]

“5+1)(〃+2)2w(n+l)(714-1)(714-2)

⑤2(J〃+1—J-n)=—j=2/<1<-23=/=2(\!~n—J/〃-1)

+1vwVw4-Vw-l

⑶錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法

(這也是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法).

⑷倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和

(這是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法).

⑸分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將"和式"中"同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

二、知能運(yùn)用典型例題

考點(diǎn)1:求數(shù)列的通項(xiàng)

[題型1]an+i=an+f(ri)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為《中-氏=/(〃)，利用累加法(逐差相加法)求解。

【例1】已知數(shù)列｛4｝滿足％=g,/川=%+生^，求%。

[題型2]an+[=f(n)an

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為也=/(〃)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

【例2】已知數(shù)列｛凡｝滿足q=3，求?！?。

3〃+1

［題型3］%+［=〃%+q(其中p,q均為常數(shù)，且〃儀〃一1)工0)。

【例3】已知數(shù)列｛4｝中，q=l,。，用=〃〃+3,求％。

n

［題型4］an+i=pa?+q

【例4】已知數(shù)列｛%｝中，《=。，勺討=!〃〃+4)⑹，求為。

［題型5］遞推公式為S〃與%的關(guān)系式.(或，=/(4))

S……?(〃=1)

解法：這種類型一般利用%=

S“—S“_1(n>2)

【例5】已知數(shù)列｛4｝前n項(xiàng)和S“=4一%-/.

⑴求an+與?！暗年P(guān)系；⑵求通項(xiàng)公式an.

數(shù)列求和

［題型1］公式法

【例7】已知｛%｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列也｝滿足4=1也=；，。?向十%?=必廣

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)求也,｝的前71項(xiàng)和.

［題型2］裂項(xiàng)求和

【例8】S”為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.己知4>0,4；+2?！?4"+3.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=—!—，求數(shù)歹U｛。｝的前〃項(xiàng)和.

［題型3］錯(cuò)位相減求和

【例9】已知數(shù)列｛4｝和也｝滿足,4=2,］=l,%=24(nwN"),

b\+；&+\4++-^,=^I-KneN").

23n

⑴求凡與女；

⑵記數(shù)列｛〃/”｝的前n項(xiàng)和為T”,求7；.

［題型4］分組求和

【例10］已知｛〃〃｝是等差數(shù)列，滿足囚=3,禽=12,數(shù)列｛九｝滿足力=4,84=20,且｛瓦一“〃｝為等比數(shù)歹ij.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛幾｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和.

例1,解：由條件知：/+［~an~------=--------=---------

1n2+nm+1）nn+\

分別令7?=1,2,3,……，代入上式得（〃一1）個(gè)等式累加之，即

（。2_〃1）+（〃3-4）+（々4_〃3）+........+（/一《1）

,+(--------)所以=1-----

n-1nn

11.131

va.=-,a=—+1——=—

12"2n2n

?717

【例2】解：由條件知*L=_L,分別令〃=1,2,3,……,（〃一1）,代入上式得5-1）個(gè)等式累乘之，即

an〃+1

Ix^xlx……衛(wèi)=2,又?k22

ci=—

〃3n

234naxn3

［例3］解:設(shè)遞推公式《川=2a”+3可以轉(zhuǎn)化為勺/一，=2（可一。即〃向=2勺一，=，=-3.故遞推公式為

〃向+3=2（q+3）,令a=。〃+3,則4=%+3=4,且如=幺1二=2.所以｛2｝是以4=4為首項(xiàng)，2為公

b“?！?3

比的等比數(shù)列，則勿=4X2"T=29,所以生=2n+,-3.

【例4】解：在a〃z=$〃+g嚴(yán)兩邊乘以2向得：2向”向=1（2"?4）+1

22

令2=2"?凡,則%=§仇+1,解之得:久=3-2（,”

所以凡等=3（9一25

【例5】解：⑴由臬=4一%-貴得：Sm=4—a向一擊

于是S,用一Sn=（an-）+（方-擊）

所以atl+l=an-an+i+捕才=>atl+l=-a?+—.

（2）應(yīng)用題型4（〃⑹=〃4+q〃，其中p,q溝為常數(shù)，且〃虱〃一1）①—1）工0）的方法，上式兩邊同乘以2川得：

2〃%=2〃q+2

由6=&=4-0「擊=%=1.于是數(shù)列｛2”4｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以

2〃q=2+2(〃-1)=2〃na”=備

【例6】已知數(shù)列｛2｝中，4=1，。用求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

a

解：由4"二L。；兩邊取對(duì)數(shù)得Iga“川=2lg%+lg1,

aa

2n

令d=lga〃，則勿+1=2"+lgL再利用待定系數(shù)法解得：an=a(-)-\

aa

【例7】解：(1)依題aib2+b2=bi，bi=l,b2=^?解得％=2...2分

通項(xiàng)公式為冊(cè)=2+3(/?-1)=3/?-1...6分

⑵由(I)知3出4產(chǎn)電,，b”產(chǎn)!6，所以也｝是公比為大的等比數(shù)列...9分

33

1-(?"31

所以電｝的前n項(xiàng)和50=—『=-----------7T...12分

11