大學(xué)微積分課件

大學(xué)微積分課件目錄contents微積分基本概念微分學(xué)基本原理積分學(xué)基本原理多元函數(shù)微積分學(xué)無窮級(jí)數(shù)與微分方程初步微積分在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例01微積分基本概念函數(shù)定義與性質(zhì)闡述函數(shù)的基本概念，包括定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系等，并介紹函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。極限概念與性質(zhì)引入極限的概念，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，探討極限的性質(zhì)，如唯一性、保號(hào)性、夾逼性等，并介紹極限的運(yùn)算法則。無窮小量與無窮大量闡述無窮小量和無窮大量的定義及性質(zhì)，探討它們之間的關(guān)系，并介紹無窮小量的比較與等價(jià)無窮小量的概念。函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)概念與性質(zhì)引入導(dǎo)數(shù)的概念，包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及物理意義，探討導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，如可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則等。微分概念與性質(zhì)闡述微分的概念，包括微分的定義、幾何意義及物理意義，探討微分的性質(zhì)，如微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、微分的運(yùn)算法則等。微分中值定理及其應(yīng)用介紹微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探討它們?cè)谧C明不等式、求極限等方面的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)與微分積分概念及性質(zhì)引入定積分的概念，包括定積分的定義、幾何意義及物理意義，探討定積分的性質(zhì)，如可積性、積分區(qū)間可加性等。不定積分概念與性質(zhì)闡述不定積分的概念，包括不定積分的定義、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系等，探討不定積分的性質(zhì)，如不定積分的線性性質(zhì)、換元積分法等。積分中值定理及其應(yīng)用介紹積分中值定理，包括積分第一中值定理和積分第二中值定理，并探討它們?cè)谧C明等式、求極限等方面的應(yīng)用。定積分概念與性質(zhì)02微分學(xué)基本原理導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義通過極限概念引入導(dǎo)數(shù)，闡述導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即切線斜率。導(dǎo)數(shù)的基本公式列舉常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，如多項(xiàng)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則介紹導(dǎo)數(shù)的加減、乘除運(yùn)算法則，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。高階導(dǎo)數(shù)闡述高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算方法，包括萊布尼茲公式等。導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則介紹高階導(dǎo)數(shù)的定義，探討高階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系。高階導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)通過實(shí)例演示高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，包括多次求導(dǎo)、歸納法等。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算闡述高階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性態(tài)研究、極值問題、拐點(diǎn)問題等方面的應(yīng)用。高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用微分中值定理的內(nèi)容介紹微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。微分中值定理的證明詳細(xì)闡述微分中值定理的證明過程，加深對(duì)定理的理解。微分中值定理的應(yīng)用通過實(shí)例演示微分中值定理在證明不等式、求解方程等方面的應(yīng)用。微分中值定理03積分學(xué)基本原理03分部積分法將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，然后利用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。01直接積分法對(duì)于基本初等函數(shù)，可以直接應(yīng)用積分公式進(jìn)行計(jì)算。02換元法通過變量代換簡化被積函數(shù)，使之變?yōu)槿菀追e分的函數(shù)。常見的換元法有三角代換、根式代換等。不定積分計(jì)算方法定積分是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分，表示函數(shù)圖像與x軸圍成的面積。定積分的定義包括可加性、保號(hào)性、估值定理等，這些性質(zhì)在解決定積分問題時(shí)非常有用。定積分的性質(zhì)建立了不定積分與定積分之間的聯(lián)系，使得定積分的計(jì)算變得相對(duì)簡單。微積分基本定理定積分概念及性質(zhì)面積計(jì)算利用定積分可以計(jì)算平面圖形或立體圖形的面積，如曲線圍成的面積、旋轉(zhuǎn)體體積等。物理應(yīng)用在物理學(xué)中，定積分可以用來計(jì)算物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等物理量。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，定積分可以用來計(jì)算總收益、總成本等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，以及進(jìn)行邊際分析和彈性分析。定積分應(yīng)用舉例03020104多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)定義設(shè)D為一個(gè)非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對(duì)應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。多元函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。多元函數(shù)的極限與連續(xù)討論多元函數(shù)在某一點(diǎn)或某一區(qū)域內(nèi)的極限與連續(xù)性質(zhì)。多元函數(shù)概念及性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)與全微分全微分定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依賴于Δx,Δy而僅與x,y有關(guān)，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，此時(shí)稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系全微分是偏導(dǎo)數(shù)的線性組合，而偏導(dǎo)數(shù)則是全微分在某一方向上的特殊形式。二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質(zhì)是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進(jìn)行積分，稱為曲面積分。三重積分就是四維空間的體積。當(dāng)積分區(qū)域是規(guī)則的空間幾何體時(shí)，三重積分的計(jì)算可以化為三次單積分的計(jì)算。當(dāng)積分區(qū)域是不規(guī)則的空間幾何體時(shí)，三重積分的計(jì)算需要采用“化整為零”“積零為整”的方法，即采用先分割后求和的方法。多元函數(shù)積分在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等物理量，以及求解某些最優(yōu)化問題等。二重積分定義三重積分定義多元函數(shù)積分的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)05無窮級(jí)數(shù)與微分方程初步ABCD常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法比較判別法通過比較級(jí)數(shù)的通項(xiàng)與已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)通項(xiàng)，來判斷原級(jí)數(shù)的收斂性。根值判別法通過求級(jí)數(shù)通項(xiàng)的n次方根的極限值來判斷級(jí)數(shù)的收斂性。比值判別法利用級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比的極限值來判斷級(jí)數(shù)的收斂性。積分判別法將級(jí)數(shù)通項(xiàng)表達(dá)為某個(gè)函數(shù)的積分形式，通過判斷該函數(shù)的性質(zhì)來判斷級(jí)數(shù)的收斂性。冪級(jí)數(shù)展開通過泰勒公式或麥克勞林公式將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)形式。收斂域求解根據(jù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，通過比值判別法或根值判別法確定冪級(jí)數(shù)的收斂域。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算在收斂域內(nèi)，可以對(duì)冪級(jí)數(shù)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等運(yùn)算。冪級(jí)數(shù)展開與收斂域求解一階線性微分方程解法一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式形如y'+p(x)y=q(x)的方程稱為一階線性微分方程。常數(shù)變易法通過構(gòu)造一個(gè)與原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程，利用常數(shù)變易法求出原方程的通解。積分因子法通過引入一個(gè)積分因子，將原方程轉(zhuǎn)化為全微分形式，從而求出原方程的通解。分離變量法當(dāng)原方程可以化為dy/dx=f(x)g(y)的形式時(shí)，可以采用分離變量法求解。06微積分在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例計(jì)算空間圖形的體積利用二重積分或三重積分可以計(jì)算由曲面和平面所圍成的空間圖形的體積。求解曲線的弧長利用弧長公式和定積分可以求解平面曲線或空間曲線的弧長。計(jì)算平面圖形的面積通過定積分可以計(jì)算由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積。在幾何問題中應(yīng)用計(jì)算物體的運(yùn)動(dòng)路程通過速度函數(shù)和時(shí)間的關(guān)系，利用定積分可以計(jì)算物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)路程。計(jì)算物體的位移根據(jù)加速度函數(shù)和時(shí)間的關(guān)系，利用二次積分可以計(jì)算物體在一段時(shí)間內(nèi)的位移。求解功和能量在力學(xué)中，功是力和位移的乘積，利用定積分可以計(jì)算變力沿直線所做的功；能量則是功的積累，通過定積分可以求解物體的勢(shì)能或動(dòng)能。010203在物理問題中應(yīng)用計(jì)算總收益和總成本在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總收益和總成本都是價(jià)格或產(chǎn)量的函數(shù)，利用定積分可以計(jì)算在一定價(jià)格或產(chǎn)量范圍內(nèi)的總收益或總成本。求解消