新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第十章概率教案

頻率與概率

教學(xué)重難點教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)

在具體情境中，了解隨機事件發(fā)

生的不確定性和頻率的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運

頻率與概率

穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻算

率與概率的區(qū)別

概率的意義解釋會用概率的意義解釋生活中的實直觀想象、數(shù)學(xué)建

實例例模

隨機模擬會用隨機模擬的方法估計概率數(shù)學(xué)建模

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.什么是頻率的穩(wěn)定性？

2.頻率與概率之間有什么關(guān)系？

3.隨機模擬的步驟是什么？

二、基礎(chǔ)知識

頻率的穩(wěn)定性

一般地，隨著試驗次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)

生的頻率%(A)會逐漸穩(wěn)定王事件A發(fā)生的概率尸(A).我們稱頻率的這個性

質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率力(A)估計概率尸(A).

名師點撥

頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系

名稱區(qū)別聯(lián)系

本身是隨機的，在試驗之前

(1)頻率是概率的近似值，

無法確定，大多會隨著試驗

隨著試驗次數(shù)的增加，頻率

頻率次數(shù)的改變而改變.做同樣

會越來越接近概率

次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的頻

(2)在實際問題中，事件的

率值也可能會不同

概率通常情況下是未知的，

是一個［0,1］中的確定值，不

概率常用頻率估計概率

隨試驗結(jié)具的改變而改變

三、合作探究

探究點口X

由頻率估計隨機事件的概率

例1：(1)有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:

［11.5,15.5)2；［15.5,19.5)4；［19.5,23.5)9；

[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)II；[31.5,35.5)12；

[35.5,39.5)7；[39.5,43.5J3.

根據(jù)樣本的頻率分布，估計數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5]內(nèi)的概率約是()

A6B-3

-12

C，2D.§

(2)某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈

管的使用壽命(單位：小時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

[500,[900,[1100,[1300,[1500,[1700,[1900,

分組

900)1100)1300)1500)1700)1900)+oo)

頻數(shù)4812120822319316542

頻率

①將各組的頻率填入表中；

②根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估計燈管使用壽命不足1500小時的概率.

【解】(1)選區(qū)由已知，樣木容量為66,而落在［31.5,43.5］內(nèi)的樣木數(shù)為

221

12+7+3=22,故所求概率約為*=5

(2)①頻率依次是0.048,0.121,0.208,0,223,0.193,0.165,0.042.

②樣本中壽命不足1500小時的頻數(shù)是48+121+208+223=600,

所以樣本中壽命不足1500小時的頻率是福=0.6.

即燈管使用壽命不足1500小時的概率約為().6.

［規(guī)律方法］

隨機事件概率的理解及求法

(1)理解：概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機事件

發(fā)生的可能性的大小.當(dāng)試驗的次數(shù)越來越多時，頻率越來越趨近于概率.當(dāng)次

數(shù)足夠多時，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率.

(2)求法：通過公式(A)=拳=彳計算出頻率，再由頻率估算概率.

探究點團__________________________

概率的含義

例2：某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,那么，前9個病人都沒有治愈，

第10個病人就一定能治愈嗎？

【解】如果把治療一個病人作為一次試驗，治愈率是10%指隨著試驗次數(shù)的

增加，有10%的病人能夠治愈.對于一次試驗來說，其結(jié)果是隨機的，但治愈的

可能性是10%,前9個病人是這樣，第10個病人仍是這樣，可能治愈，也可能

不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.

［規(guī)律方法］

對概率的正確理解

(1)概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗次數(shù)的變化而變化，概率反映了事

件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗總次數(shù)中某

一事件一定發(fā)生的比例.

(2)任何事件的概率都是區(qū)間［0,1］上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的

可能性，概率越接近于1,表明事件發(fā)生的可能性就越大；反過來，概率越接近

于0,表明事件發(fā)生的可能性就越小.

(3)小概率(概率接近于0)事件很少發(fā)生，但不代表一定不發(fā)生；大概率

(概率接近于1)事件經(jīng)常發(fā)生，但不代表一定發(fā)生.

(4)必然事件M的概率為1,即P(M)=1；不可能事件N的概率為0,

即P(N)=0.

探究點@__________________________

游戲的公平性

例3：某校高二年級(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉辦晚會，組織者欲使晚會氣氛熱

烈、有趣，策劃整場晚會以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進行，每個節(jié)目開始時，兩班各派一

人先進行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎品，負(fù)責(zé)表演一個節(jié)目.(1)班的文娛委員

利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計了一種

游戲方案：兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(1)

班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝.該方案對雙方是否公平？為什么？

由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6

種，為奇數(shù)的也有6種，所以（1）班代表獲勝的概率P尸色斗⑵班代表獲

勝的概率22=薯=/即P產(chǎn)尸2,機會是均等的，所以該方案對雙方是公平的.

［變條件］在本例中，若把游戲規(guī)則改為自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，兩

個指針指向的兩個數(shù)字相乘，如果積是偶數(shù)，那么（1）班代表獲勝，否則（2）

班代表獲勝.游戲規(guī)則公平嗎？為什么？

解：不公平.因為出現(xiàn)奇數(shù)的概率為而出現(xiàn)偶數(shù)的概率為得=￡.

［反思?xì)w納］

游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法

（1）游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是

否相同.若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的.

（2）具體判斷時，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進行比較.

探究點囪______________________________

隨機模擬法估計概率

例4：池州九華山是著名的旅游勝地.天氣預(yù)報8月1日后連續(xù)四天，每天

下雨的概率為0.6.現(xiàn)用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0?

9十個整數(shù)值中，假定0,1,2,3,4,5表示當(dāng)天下雨，6,7,8,9表示當(dāng)天

不下雨.在隨機數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下40組四位隨機數(shù)：

9533952200187472001838795869328178902692

8280842539908460798024365987388207538935

9635237918059890073546406298805497205695

1574800832166470508067721642792031890343

據(jù)此估計四天中恰有三天下雨的概率為（）

32

AA-4B5

1\「17

C.而D.而

【解析】在40組四位隨機數(shù)中，。?5的整數(shù)恰出現(xiàn)3次的四位數(shù)有16組，

故四天中恰有三天下雨的概率的估計值為需=|.

【答案】B

［規(guī)律方法］

應(yīng)用隨機數(shù)估計概率的步驟

（1）明確隨機數(shù)的范圍及數(shù)字與試驗結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系.

（2）產(chǎn)生隨機數(shù).

（3）統(tǒng)計試驗次數(shù)N及所求事件包含的次數(shù)幾

（4）計算？便可.

【課堂檢測】

1.拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，下列說法正確的是（）

A.正面向上的概率為0.48

B.反面向上的概率是0.48

C.正面向上的頻率為0.48

D.反面向上的頻率是0.48

解析：選C.因為拋擲一枚硬幣100次，即為100次試驗，正面向上這一事件

發(fā)生了48次，根據(jù)頻率的定義可知，正面向上的頻率為（）.48.

2.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如卜表：

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

頻數(shù)234542

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）上的頻率為（）

A.（）.35B.0.45

C.0.55D.0.65

9

解析：選B.在區(qū)間［10,40）的頻數(shù)為2+3+4=9,所以頻率為m=0.45.

3.某地氣象局預(yù)報說，明天本地降雨的概率為80%,則下列解釋正確的是

)

A.明天本地有80%的區(qū)域降雨，20%的區(qū)域不降雨

B.明天本地有80%的時間降雨，20%的時間不降雨

C.明天本地降雨的機會是80%

D.以上說法均不正確

解析：選C.選項A,B顯然不正確，因為80%是說降雨的概率，而不是說

80%的區(qū)域降雨，更不是說有80%的時間降雨，是指降雨的機會是80%,故選C.

4.通過模擬試驗，產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：

6830301370557430774044227884

2604334609526807970657745725

657659299768607191386754

如果恰有三個數(shù)在1,2,3,4,5,6中，則表示恰有三次擊中目標(biāo)，則四

次射擊中恰有三次擊中目標(biāo)的概率約為（）

A.25%B.30%

C.35%D.40%

解析：選A.表示三次擊中目標(biāo)分別是3013,2604,5725,6576,6754,共

5組數(shù)，而隨機數(shù)總共20組，所以所求的概率近似為磊=25%.

5.玲玲和倩倩下跳棋，為了確定誰先走第一步，玲玲決定拿一個飛鏢射向

如圖所示的靶中.若射中區(qū)域所標(biāo)的數(shù)字大于3,則玲玲先走第一步，否則倩倩

先走第一步.這個游戲規(guī)則（填“公平”或“不公平”）.

解析：由已知得，所標(biāo)的數(shù)字大于3的區(qū)域有5個，而小于或等于3的區(qū)域

53

只有3個，所以玲玲先走的概率是、倩倩先走的概率是三所以不公平.

OO

答案：不公平

事件的相互獨立性

【教學(xué)重難點】【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

相互獨立事件的概念理解相互獨立事件的數(shù)學(xué)抽象

概念及意義

能記住相互獨立事件

概率的乘法公式；

相互獨立事件同時發(fā)能綜合運用互斥事件數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)

生的概念的概率加法公式建模

及獨立事件的乘法公

式解題

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.事件的相互獨立性的定義是什么？

2.相互獨立事件有哪些性質(zhì)？

3.相互獨立事件與互斥事件有什么區(qū)別？

二、基礎(chǔ)知識

1.相互獨立的概念

設(shè)4,。為兩個事件，若P（AB）=P（A）P（B）,則稱事件4與事件8相互

獨立.

2.相互獨立的性質(zhì)

若事件A與8相互獨立，那么A與耳，了與旦，不與否也都相互獨立.

■名師點撥（1）必然事件Q,不可能事件。都與任意事件相互獨立.

（2）事件A,b相互獨立的充要條件是0（45）=尸（A）P（B）.

三、合作探究

1.相互獨立事件的判斷

瞰口?個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)=｛—

個家庭中既有男孩又有女孩｝,8=｛一個家庭中最多有一個女孩｝.對下述兩種情

形，討論A與8的獨立性：

（1）家庭中有兩個小孩；

（2）家庭中有三個小孩.

【解】（1）有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為。=｛（男，男），（男，

女），（女，男），（女，女）｝,

它有4個基本事件，由等可能性知概率都為今

這時A={(男，女)，(女，男)},

B={(男，男)，(男，女)，(女，男)},

一={(男,女)，(女，男)},

131

于是尸(A)=2，P(B)=『尸(A8)=,

由此可知尸(AB/P(A)P(B),

所以事件A,8不相互獨立.

(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為0={(男，

男，男)，(男，男，女)，(男，女,男)，(男，女,女)，(女，男，男)，(女，男，

女)，(女，女，男)，(女，女，女)}.

由等可能性知這8個基木事件的概率均為：，這時A中含有6個基木事件,

O

3中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件.

于是尸(A)=Z=T,P(B)=:=；,P(AB)=],

OOZO

3

顯然有P(48)=\=尸(A)P(B)成立.

o

從而事件A與B是相互獨立的.

犯倒園囹

判斷兩個事件是否相互獨立的兩種方法

(1)根據(jù)問題的實質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概

率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件；

(2)定義法：通過式子尸(43)=尸(A)P(B)來判斷兩個事件是否獨立,

若上式成立，則事件48相互獨立，這是定量判斷.

2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率

哂王敏某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車

正點到達的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點到達互不影

響.求：

(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；

(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率.

【解】用4,B,。分別表示這三列火車正點到達的事件.

則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,

所以P(A)=0.2,P(B尸0.3,P(C)=0.1.

(1)由題意得A,8,。之間互相獨立，所以恰好有兩列正點到達的概率為

Pi=P(A8C)+P(ABC)+P(ABC)=

P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.2x0.7x0.9+0.8x0.3x0.9+0.8x0.7x0.1=0.398.

(2)三列火車至少有一列正點到達的概率為

P2=1-P(ABO=1-P(A)P(B)P(C)

=1-0.2x0,3x0.1=0.994.

1.［變問法］在本例條件下，求恰有一列火車正點到達的概率.

解：恰有一列火車正點到達的概率為

P3=P(ABC)+P(ABC)+P(A8O=P(A)P(8)P(C)+P(A)P(B)P(C)

+P(A)P(8)P(C)=0.8x0.3x0.1+0.2x0.7x0.1+0.2x0.3x0.9=0.092.

2.［變條件］若一列火車正點到達記10分，用d表示三列火車的總得分，求

P(長20).

解：事件“長20”表示“至多兩列火車正點到達”，其對立事件為“三列火車都正

點到達“，所以「(公20)=1一尸(480=1一尸(A)P(B)P(C)

=1-0.8x0.7x0.9=0.496.

E3四H3

與相互獨立事件有關(guān)的概率問題的求解策略

明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都

發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.

一般地，已知兩個事件4B,它們的概率分別為P(A),P(B),那么：

(1)A,B中至少有一個發(fā)生為事件A+&

(2)A,B都發(fā)生為事件A8.

(3)A,B都不發(fā)生為事件AB.

(4)A,8恰有一個發(fā)生為事件AB+4B.

(5)A,B中至多有一個發(fā)生為事件AB+AB+AB.

它們之間的概率關(guān)系列表所示:

A,B互斥A,B相互獨立

P(A+B)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)

P(AB)0P(A)P(B)

P(AB)1-[P(A)+P(B)]P(A)P(B)

3.相互獨立事件的綜合應(yīng)用

偏百本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租

車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租用時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小

時收費2元（不足一小時的部分按一小時計算）.有甲、乙兩人獨立來該租車點租

車騎游（各租一車一次）.設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為今超過兩

小時但不超過三小時還車的概率分別為看;兩人租車時間都不會超過四小時.

（1）求甲、乙兩人所付用車費用相同的概率；

（2）設(shè)4為甲、乙兩人所付的租車費用之和，求P4=4）和尸（^=6）的值.

【解】（1）由題意可得甲、乙兩人超過三小時但不超過四小時還車的概率分

別為京

記甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件A,則尸（A）=卜打京；+3

卜得所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為得.

（2）P（f=4）=1x|+|x|+1x1=^,

P（『）=曷+別$

網(wǎng)陶團囹

概率問題中的數(shù)學(xué)思想

（1）正難則反.靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系（尸（人）+「（1）=1）簡化問題，

是求解概率問題最常用的方法.

（2）化繁為簡.將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事

件與已知事件之間的關(guān)系.“所求事件”分幾類（考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件）還

是分幾步組成（考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨立事件）.

（3）方程思想.利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程（組），

通過解方程(組)使問題獲解.

四、課堂檢測

1.如圖，在兩個圓盤中，指針落在圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么

兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()

-21

C.gD.’

42

解析：選A.左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為右邊圓盤指針落在

奇數(shù)區(qū)域的概率也為多所以兩個指針同時落在奇數(shù)區(qū)域的概率為"，楙

1?一

2.己知A,8是相互獨立事件，且P(A)=2，P(B)=y則P(AB)=

;P(AB)=.

1?

解析：因為P(A)=2，P(B)=y

-1-I

所以P(A)=2，P(B)=y

——111————111

所以P(AB)=P(A)P(B)=^X-=-,P(A8)=P(4)尸(B)=5X]=K

4xz4JKz

11

答--

m:66

3.某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?，假設(shè)撥過了

的號碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：

(1)第3次撥號才接通電話；

(2)撥號不超過3次而接通電話.

解：設(shè)4=｛第i次撥號接通電話｝,，=1,2,3.

(1)第3次才接通電話可表示為工元A3,

-----9811

于是所求概率為P(AIA2A3)=7QXTXT=-7^.

(2)撥號不超過3次而接通電話可表示為4+4A2+A1A2A3，

于是所求概率為P(A\+A1A2+A1A2A3)

=P(4)+P(AM2)+P(AIA2A3)

=±1=J_

一10十109十1098-10，

隨機事件與概率

【第一課時】

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解隨機試驗的概念及特點

2.理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間

3.理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，并會判斷某一事件的性

質(zhì)

4.理解事件5種關(guān)系并會判斷

【教學(xué)重難點】

1.隨機試驗

2.樣本空間

3.隨機事件

4.事件的關(guān)系和運算

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.隨機試驗的概念是什么？它有哪些特點？

2.樣本點和樣本空間的概念是什么？

3.事件的分類有哪些？

4.事件的關(guān)系有哪些？

二、基礎(chǔ)知識

1.隨機試驗

(1)定義：把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.

(2)特點：①試驗可以在相同條件下重復(fù)進行;

②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個;

③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一

個結(jié)果.

2.樣本點和樣本空間

（1）定義：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點,全體樣

本點的集合稱為試驗E的樣本空間.

（2）表示：一般地，我們用。表示樣本空間，用口表示樣本點.如果一個

隨機試驗有〃個可能結(jié)果包,①2，…，5,則稱樣本空間。={①1，①2，…，（On]

為有限樣本空間.

3.事件的分類

（1）隨機事件：①我們將樣本空間。的壬集稱為隨機事件，簡稱事件，并

把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.

②隨機事件一般用大寫字母4B,C,…表示.

③在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)4中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.

（2）必然事件：。作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中

總有一個樣本點發(fā)生，所以。總會發(fā)生，我們稱金為必然事件.

（3）不可能事件：空集。不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我

們稱。為不可能事件.

名師點撥

必然事件和不可能事件不具有隨機性，它是隨機事件的兩個極端情況.

4.事件的關(guān)系或運算的含義及符號表示

事件的關(guān)系或運

含義符號表示

算

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AQB

并事件（和事

A與3至少一個發(fā)生AU8或A+3

件）

交事件（積事

A與B同時發(fā)生AC1B或AB

件）

互斥（互不相

A與3不能同時發(fā)生

容）

4與8有且僅有一個發(fā)

互為對立ACI8=0,AUB=Q

生

名師點撥

（1）如果事件。包含事件人，事件人也包含事件8,即人且人2B,則

稱事件A與事件8相等，記作A=8.

（2）類似地，可以定義多個事件的和事件以及積事件.例如，對于三個事

件A,B,C,4UBUC（或4+3+C）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)4,B,C中至少一個發(fā)生，

418（1。（或A8C）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)4,B,。同時發(fā)生.

三、合作探究

探究點②____________________________

事件類型的判斷

例1：指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件.

（1）中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍.

（2）出租車司機小李駕車通過兒個十字路口都將遇到綠燈.

（3）若x￡R,則/+整1.

（4）拋一枚骰子兩次，朝上面的數(shù)字之和小于2.

【解】由題意知（1）（2）中事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事

件；（3）中事件一定會發(fā)生，是必然事件；由于骰子朝上面的數(shù)字最小是1,兩

次朝上面的數(shù)字之和最小是2,不可能小于2,所以（4）中事件不可能發(fā)生，是

不可能事件.

［規(guī)律方法］

判斷事件類型的思路

要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條

件而言的，第二步再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生，一定

發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機事件，一定不發(fā)生的是不可能事件.

探究點團____________________________

樣本點與樣本空間

例2：同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為右轉(zhuǎn)盤②得到

的數(shù)為y,結(jié)果為（/y）.

（1）寫出這個試驗的樣本空間;

(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；

(3)"％+y=5”這一事件包含哪幾個樣本點？““3且呢？

(4)“孫=4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x=y”呢？

【解】⑴。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,

3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,

4)}.

(2)樣本點的總數(shù)為16.

(3)“x+)，=5”包含以下4個樣本點：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；

“x<3且k>1"包含以下6個樣本點：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,

3),(2,4).

(4)“孫=4”包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1)；“x=)，”

包含以下4個樣本點：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

［規(guī)律方法］

確定樣本空間的方法

(1)必須明確事件發(fā)生的條件；

(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機

會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏.

探究亶__________________________

事件的運算

例3：盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事件4={3個

球中有1個紅球2個白球},事件8={3個球中有2個紅球1個白球},事件C=

{3個球中至少有1個紅球},事件。={3個球中既有紅球又有白球}.

求：(1)事件。與4、8是什么樣的運算關(guān)系？

(2)事件。與A的交事件是什么事件？

【解】(1)對于事件。，可能的結(jié)果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1

個白球，故O=AU8.

(2)對于事件C,可能的結(jié)果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球

或3個均為紅球，故CfU=A

互動探究

［變條件、變問法］在本例中，設(shè)事件￡={3個紅球},事件/={3個球中至

少有一個白球},那么事件。與A、B、E是什么運算關(guān)系？C與F的交事件是什

么？

解；由事件。包括的可能結(jié)果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3

個紅球三種情況，故AUC,BGC,FCC,所以C=AUBUC,而事件尸包括的可

能結(jié)果有1個白球2個紅球，2個白球1個紅球，3個白球，所以cn/={i個紅

球2個白球，2個紅球1個白球}=D

［規(guī)律方法］

（1）利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，

分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.

（2）利用Venn圖.借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可

能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算.

探究^^包______________

互斥事件與對立事件的判定

例4：某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判

斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件.

（1）恰有1名男生與恰有2名男生；

（2）至少有1名男生與全是男生；

（3）至少有1名男生與全是女生；

（4）至少有1名男生與至少有1名女生.

【解】判別兩個事件是否互斥，就要考察它們是否能同時發(fā)生；判別兩個互

斥事件是否對立，就要考察它們是否必有一個發(fā)生.

（1）因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以它

們是互斥事件；當(dāng)恰有2名女生時它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件.

（2）因為恰有2名男生時“至少有1名男生”與“全是男生”同時發(fā)生，

所以它們不是互斥事件.

（3）因為“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，所以它們

互斥；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事件.

（4）由于選出的是1名男生1名女生時“至少有1名另生”與“至少有1

名女生“同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

［規(guī)律方法］

（1）包含關(guān)系、相等關(guān)系的判定

①事件的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相似；

②兩事件相等的實質(zhì)為相同事件，即同時發(fā)生或同時不發(fā)生.

（2）判斷事件是否互斥的兩個步驟

第一步，確定每個事件包含的結(jié)果；

第二步，確定是否有一個結(jié)果發(fā)生會意味著兩個事件都發(fā)生，若是，則兩個

事件不互斥，否則就是互斥的.

（3）判斷事件是否對立的兩個步驟

第一步，判斷是互斥事件；

第二步，確定兩個事件必然有一個發(fā)生，否則只有互斥，但不對立.

【課堂檢測】

1.下列事件：

①如果a>b,那么Z?>0；

②任取一實數(shù)a（a>0且aRl）,函數(shù)y=lo的r是增函數(shù)；

③某人射擊一次，命中靶心；

④從盛有一紅、二白共三個球的袋子中，摸出一球觀察結(jié)果是黃球.

其中是隨機事件的為（）

A.①②B.③?

C.①④D.②③

解析：選D.①是必然事件；②中々>1時，y=logai單調(diào)遞增，0<a<\時，y

=lo時單調(diào)遞減，故是隨機事件；③是隨機事件；④是不可能事件.

2.（2019?四川省攀枝花市教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）從含有10件正品、2件次品的12

件產(chǎn)品中，任意抽取3件，則必然事件是（）

A.3件都是正品B.3件都是次品

C.至少有1件次品D.至少有1件正品

解析：選D.從10件正品，2件次品，從中任意抽取3件，

A：3件都是正品是隨機事件，

B：3件都是次品不可能事件，

C：至少有1件次品是隨機事件，

D：因為只有2件次品，所以從中任意抽取3件必然會抽到正品，即至少有

1件是正品是必然事件.故選D.

3.（2019.廣西欽州市期末考試）抽查10件產(chǎn)品，設(shè)“至少抽到2件次品”

為事件A,則A的對立事件是（）

A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品

C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品

解析：選D.因為“至少拍到2件次品”就是說抽查10件產(chǎn)品中次品的數(shù)目

至少有2個，所以A的對立事件是抽查10件產(chǎn)品中次品的數(shù)目最多有1個.故

選D.

4.寫出下列試驗的樣本空間：

(1)甲、乙兩隊進行一場足球賽，觀察甲隊比賽結(jié)果(包括平局);

(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù).

解析：(1)對于甲隊來說，有勝、平、負(fù)三種結(jié)果；

(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，其次品的個數(shù)可能為0,L

2,3,4,不可能再有其他結(jié)果.

答案：(1)0=｛勝，平，負(fù)｝(2)。=｛0,1,2,3,4)

【第二課時】

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解基本事件的特點

2.理解古典概型的定義

3.會應(yīng)用古典概型的概率公式解決實際問題

【教學(xué)重難點】

1.基本事件

2.古典概型的定義

3,古典概型的概率公式

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.古典概型的定義是什么？

2.古典概型有哪些特征？

3.古典概型的計算公式是什么？

二、基礎(chǔ)知識

1.古典概型

具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡

稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有前蚯；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性祖箜.

名師點撥

古典概型的判斷

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有

限性和等可能性.并不是所有的試驗都是古典概型.

下列三類試驗都不是古典概型：

①樣本點個數(shù)有限，但非等可能.

②樣本點個數(shù)無限，但等可能.

③樣本點個數(shù)無限，也不等可能.

2.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點，事件A包含

其中的攵個樣本點，則定義事件A的概率

/、kn(A)

P(A)=-=-.

其中，〃(A)和〃(0)分別表示事件4和樣本空間。包含的樣本點個數(shù).

三、合作探究

探究點④__________________________

樣本點的列舉

例1：一只口袋內(nèi)裝有5個大小相同的球，白球3個，黑球2個，從中一次

摸出2個球.

(1)共有多少個樣本點？

(2)“2個都是白球”包含幾個樣本點？

【解】(1)法一：采用列舉法.

分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則樣本點如下：(1,2),(1,

3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10

個(其中(1,2)表示摸到1號，2號球).

法二：采用列表法.

設(shè)5個球的編號分別為由b,c,d,e，其中力，c為白球，d,e為黑球.列

表如下:

abcde

a(a,b)(mc)(a,d)(a,e)

b（。，a）(b,c)(b,d)(b,e)

C(c,a)b)(c,d)(c,e)

d(d,a)(d,b)(d,c)(d,e)

e(e,a)(e,b)(e,c)(e,d)

由于每次取2個球，每次所取2個球不相同，而摸到",a）與（mb）是

相同的事件，故共有10個樣本點.

（2）法一中“2個都是白球”包括（1,2）,（1,3）,（2,3）,共3個樣本

點,法二中“2個都是白球”包括（小b）,（b,c）,（a,c）,共3個樣本點.

［規(guī)律方法］

樣本點的三種列舉方法

（1）直接列舉法：把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來.此方法適合于較為簡

單的試驗問題.

（2）列表法：將樣本點用表格的方式表示出來，通過表格可以弄清樣本點

的總數(shù)，以及要求的事件所包含的樣本點數(shù).列表法適用于較簡單的試驗的題目,

樣本點較多的試驗不適合用列表法.

（3）樹狀圖法:樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法，

樹狀圖法便于分析樣本點間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對于較復(fù)雜的問題，可以作為一種分析

問題的主要手段，樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗的題目.

探究__________________________

古典概型的概率計算

例2：（1）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、

紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩

筆的概率為（）

A.1B.|

C.|D.|

（2）（2018.高考江蘇卷）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選

2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為.

【解析】（1）從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：

（紅，黃），（紅，藍(lán)），（紅，綠），（紅，紫），（黃，藍(lán)），（黃，綠），（黃，紫），

（藍(lán)，綠），（藍(lán)，紫），（綠，紫）.而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有

(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率。=是4背2

(2)記2名男生分別為A,B,3名女生分別為小b,c,則從中任選2名

學(xué)生有AB,AafAb,Ac,Ba、Bb,Be,ab,acfbe,共10種情況，其中恰好選

3

中2名女生有而，ac,be,共3種情況，故所求概率為宜.

3

【答案】⑴c⑵fg

［規(guī)律方法］

求古典概型概率的步驟

(1)判斷是否為古典概型.

(2)算出樣本點的總數(shù)幾

(3)算出事件A中包含的樣本點個數(shù)也

VY1

(4)算出事件A的概率，即P(A)=~

在運用公式計算時，關(guān)鍵在于求出加，幾在求〃時，應(yīng)注意這〃種結(jié)果必須

是等可能的，在這一點上比較容易出錯.

探究點@__________________________

數(shù)學(xué)建?！诺涓判偷膶嶋H應(yīng)用

例3：已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.

現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動.

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？

(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示，現(xiàn)從中隨機

抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.

(i)試用所給字母列舉巴所有可能的抽取結(jié)果；

(ii)設(shè)”為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概

率.

【解】(1)由已知，甲，乙，丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2,

由于采用分層隨機抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級

的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人.

(2)(i)從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為

(A,B),(A,C),(A,。),(A,E),(4,F),(A,G),(B,C),(B,

D),(8,E),(6,F),(3,G),(C,￡?,(C,E),(C,尸)，(C,G),(。，

E),(￡>,F),(D,G),(￡,F),QE,G),(F,G),共21種.

(ii)由(1)設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A,B,C,來自乙年級

的是E,來自丙年級的是凡G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)

來自同一年級的所有可能結(jié)果為(4,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),

共5種.所以事件M發(fā)生的概率尸(M)=焉.

［規(guī)律方法］

如何建立概率模型(古典概型)

(1)在建立概率模型(古典概型)時，把什么看作一個樣本點(即一個試

驗結(jié)果)是人為規(guī)定的.我們只要求每次試驗有且只有一個樣本點出現(xiàn).對于同

一個隨機試驗，可以根據(jù)需要(建立概率模型的主觀原因)建立滿足我們要求的

概率模型.

(2)注意驗證是否滿足古典概型的兩個特性，即①樣本點的有限性；②每

個樣本點發(fā)生的可能性相等.

(3)求解時將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.

【課堂檢測】

1.下列是古典概型的是()

①從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小.

②同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為7的概率.

③近三天中有一天降雨的概率.

④10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.

A.①?③④B.①?④

C.???D.①③④

解析：選B.①②④為古典概型，因為都適合古典概型的兩個特征：有限性和

等可能性，而③不適合等可能性，故不為古典概型.

2.甲、乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參加，若每人必須參加

并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組(兩人參加各個小組的可能性相同)，則兩人參加同

一個學(xué)習(xí)小組的概率為()

A-3B4C-5D6

解析：選A.甲乙兩人參加學(xué)習(xí)小