2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納之 一元二次方程

年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.備注：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．備注：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．知識(shí)點(diǎn)三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“△”來表示，即.（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.備注：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題．2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．知識(shí)點(diǎn)四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.3.解決應(yīng)用題的一般步驟：審：(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)：(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列：(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解：(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)：(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；答：(寫出答案，切忌答非所問).1．（2024?萬州區(qū)）下列方程中不一定是一元二次方程的是（）A．（a+3）x2+2x＝5（a≠﹣3） B．x2 C．（x﹣1）（x+4）＝2x2﹣5 D．a(chǎn)x2+bx+c＝02．（2024?寧夏）若2是方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則c的值是（）A．1 B． C． D．3．（2024?鹽城）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個(gè)根為1，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44．（2024?萬州區(qū)）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x2+2x﹣m2＝0的一個(gè)根，則m的值為（）A．0 B．0或﹣2 C．﹣2或6 D．65．（2024?臨沂）一元二次方程y2﹣y0配方后可化為（）A．（y）2＝1 B．（y）2＝1 C．（y）2 D．（y）26．（2024?萬州區(qū)）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0時(shí)可配方得（）A．（x﹣2）2＝7 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝1 D．（x+2）2＝27．（2024?安順）一個(gè)等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A．12 B．9 C．13 D．12或98．（2024?萬州區(qū)）若關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k且k≠﹣2 B．k C．k且k≠﹣2 D．k9．（2024?錦州）一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情況是（）A．兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判斷10．（2024?青海）關(guān)于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根11．（2024?桂林）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則k的值為（）A． B． C．2或3 D．12．（2024?山西）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣213．（2024?湘潭）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜114．（2024?婁底）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情況是（）A．有兩不相等實(shí)數(shù)根 B．有兩相等實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．不能確定15．（2024?瀘州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜016．（2024?貴港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣317．（2024?湘西州）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個(gè)解為x＝﹣1，則另一個(gè)解為（）A．1 B．﹣3 C．3 D．418．（2024?濰坊）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．若4m，則m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在19．（2024?眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的兩根，則的值是（）A． B． C． D．20．（2024?本溪）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k＝0的一個(gè)根為1，則k的值是___．21．（2024?揚(yáng)州）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)根，則6m2﹣9m+2015的值為______．22．（2024?資陽）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一個(gè)根為0，則m＝___．23．（2024?荊門）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一個(gè)根，則k的值為____．24．（2024?齊齊哈爾）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．25．（2024?柳州）一元二次方程x2﹣9＝0的解是____________．26．（2024?綿陽）已知a＞b＞0，且0，則_．27．（2024?十堰）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，則x的值為___．28．（2024?大連）如圖，有一張矩形紙片，長10cm，寬6cm，在它的四角各剪去一個(gè)同樣的小正方形，然后折疊成一個(gè)無蓋的長方體紙盒．若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長．設(shè)剪去的小正方形邊長是xcm，根據(jù)題意可列方程為（）A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝3229．（2024?寧夏）關(guān)于x的方程2x2﹣3x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是____．30．（2024?荊州）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22＝4，則x12﹣x1x2+x22的值是___．31．（2024?萊蕪）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根，則x12+x22＝_______．32．（2024?達(dá)州）已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，則的值為___．33．（2024?江西）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣4x1+2x1x2的值為___．34．（2024?烏魯木齊）賓館有50間房供游客居住，當(dāng)毎間房每天定價(jià)為180元時(shí)，賓館會(huì)住滿；當(dāng)毎間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)空閑一間房．如果有游客居住，賓館需對(duì)居住的毎間房每天支出20元的費(fèi)用．當(dāng)房價(jià)定為多少元時(shí)，賓館當(dāng)天的利潤為10890元？設(shè)房價(jià)定為x元．則有（）A．（180+x﹣20）（50）＝10890 B．（x﹣20）（50）＝10890 C．x（50）﹣50×20＝10890 D．（x+180）（50）﹣50×20＝1089035．（2024?德州）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2+x1x2＝____．36．（2024?紹興）（1）計(jì)算：2tan60°（2）0+（）﹣1．（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．37．（2024?泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，則實(shí)數(shù)a的值為_______．38．（2024?梧州）解方程：2x2﹣4x﹣30＝0．39．（2024?巴中）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．40．（2024?黃石）已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若x1﹣x2＝2，求實(shí)數(shù)m的值．41．（2024?北京）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）當(dāng)b＝a+2時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時(shí)方程的根．42．（2024?玉林）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）給k取一個(gè)負(fù)整數(shù)值，解這個(gè)方程．43．（2024?成都）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．44．（2024?遂寧）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范圍．45．（2024?湖北）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．46．（2024?呼和浩特）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，請(qǐng)用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件，并推導(dǎo)出求根公式，證明x1?x2．47．（2024?隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若1，求k的值．48．（2024?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．（1）試證明：無論p取何值此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若原方程的兩根x1，x2，滿足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值．49．（2024?上海）方程組的解是_________．50．（2024?赤峰）2017﹣2024賽季中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽，采用雙循環(huán)制（每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），比賽總場(chǎng)數(shù)為380場(chǎng)，若設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，則可列方程為（）A．x（x﹣1）＝380 B．x（x﹣1）＝380 C．x（x+1）＝380 D．x（x+1）＝38051．（2024?寧夏）某企業(yè)2024年初獲利潤300萬元，到2020年初計(jì)劃利潤達(dá)到507萬元．設(shè)這兩年的年利潤平均增長率為x．應(yīng)列方程是（）A．300（1+x）＝507 B．300（1+x）2＝507 C．300（1+x）+300（1+x）2＝507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝50752．（2024?眉山）我市某樓盤準(zhǔn)備以每平方6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過連續(xù)兩次下調(diào)后，決定以每平方4860元的均價(jià)開盤銷售，則平均每次下調(diào)的百分率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%53．（2024?綿陽）在一次酒會(huì)上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會(huì)的人數(shù)為（）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人54．（2024?遵義）在水果銷售旺季，某水果店購進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果，進(jìn)價(jià)為20元/千克，售價(jià)不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系．銷售量y（千克）…34.83229.628…售價(jià)x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克，求當(dāng)天該水果的銷售量．（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為多少元？55．（2024?沈陽）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本．56．（2024?重慶）在美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，某縣通過政府投入進(jìn)行村級(jí)道路硬化和道路拓寬改造．（1）原計(jì)劃今年1至5月，村級(jí)道路硬化和道路拓寬的里程數(shù)共50千米，其中道路硬化的里程數(shù)至少是道路拓寬的里程數(shù)的4倍，那么，原計(jì)劃今年1至5月，道路硬化的里