2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章統(tǒng)計案例2成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE§2成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么叫樣本的線性相關(guān)系數(shù)？2．相關(guān)系數(shù)的大小與線性相關(guān)之間有怎樣的聯(lián)系？相關(guān)系數(shù)一般地，設(shè)隨機(jī)變量X，Y的n組觀測值分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，記r＝，稱r為隨機(jī)變量X和Y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù)．為了計算便利，我們再給出如下式子：r＝．相關(guān)系數(shù)有哪些性質(zhì)？提示：1.樣本(線性)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1].2．|r|值越接近1，隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|值越接近0，隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越弱．3．當(dāng)r>0時，兩個隨機(jī)變量的值總體上改變趨勢相同，此時兩個隨機(jī)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，兩個隨機(jī)變量的值總體上改變趨勢相反，此時兩個隨機(jī)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時，此時稱兩個隨機(jī)變量線性不相關(guān)．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)求線性回來方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗．()(2)相關(guān)系數(shù)為0時，兩個變量的相關(guān)性最強(qiáng)．()(3)相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[0，1].()提示：(1)×.因為假如兩個變量之間不具有線性相關(guān)關(guān)系，就不用求線性回來方程了，求出的回來直線方程當(dāng)然也不能很好地反映兩變量之間的關(guān)系．(2)×.當(dāng)相關(guān)系數(shù)r＝0時，兩個隨機(jī)變量不線性相關(guān)．(3)×.相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1].2．為了比較甲、乙、丙三組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱，小鄭分別計算了甲、乙、丙三組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)，其數(shù)值分別為0.939，0.937，0.948，則()A．甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱B．乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱C．丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱D．丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱【解析】選D.因為線性相關(guān)系數(shù)的肯定值越大，則線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱．3．已知數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)在一條直線上，則相關(guān)系數(shù)r＝________．【解析】由題意知，相關(guān)系數(shù)r＝±1.答案：±1

關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一相關(guān)關(guān)系的推斷(邏輯推理)1.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若全部樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1B．0C．eq\f(1,2)D．12．(2024·西安高二檢測)變量y與x的回來模型中，它們對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r的值如下，其中擬合效果最好的模型是()模型1234r0.480.150.960.30A.模型1 B．模型2C．模型3 D．模型43．變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1【解析】1.選D.全部點均在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上且斜率大于0，則樣本相關(guān)系數(shù)為1.2．選C.線性回來分析中，相關(guān)系數(shù)為r，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于1，相關(guān)程度越大；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越小，相關(guān)程度越小，因為模型3的|r|最大，所以模擬效果最好．3．選C.對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X呈正相關(guān)，即r1＞0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U呈負(fù)相關(guān)，即r2＜0.判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時，正相關(guān)；當(dāng)r<0時，負(fù)相關(guān)．(3)線性回來方程中：當(dāng)>0時，正相關(guān)；當(dāng)<0時，負(fù)相關(guān)．類型二相關(guān)系數(shù)的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(2024·南昌高二檢測)隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的寵愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費(fèi)用也不斷增加，如表是某購物網(wǎng)站2024年1－8月促銷費(fèi)用(萬元)和產(chǎn)品銷量(萬件)的詳細(xì)數(shù)據(jù)：月份12345678促銷費(fèi)用x2361013211518產(chǎn)品銷量y11233.5544.5(1)依據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點圖能夠看出可用線性回來模型y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)r加以說明(系數(shù)精確到0.001)；(2)建立y關(guān)于x的線性回來方程＝x＋(系數(shù)精確到0.001)；假如該公司安排在9月份實現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)料至少須要投入促銷費(fèi)用多少萬元(結(jié)果精確到0.01).參考數(shù)據(jù)：QUOTE=74.5，QUOTE=340，QUOTE=16.5，QUOTE≈18.44，QUOTE≈4.06，其中xi，yi分別為第i個月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量，i=1，2，3，…，8.參考公式：①樣本QUOTE(i=1，2，…，n)相關(guān)系數(shù)r=QUOTE；②對于一組數(shù)據(jù)QUOTE，QUOTE，…，QUOTE，其回來方程=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為=QUOTE，=QUOTE-QUOTE.【思路導(dǎo)引】(1)依據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，從散點圖看出這些點是否大致分布在一條直線旁邊即可；計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，求出相關(guān)系數(shù)，推斷兩變量線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；(2)計算求出回來方程，利用方程求出對應(yīng)x的取值范圍即可．【解析】(1)依據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖如圖，從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線旁邊，并且在逐步上升，所以可用線性回來模型擬合y與x的關(guān)系；計算eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×(2＋3＋6＋10＋13＋21＋15＋18)＝11，eq\x\to(y)＝eq\f(1,8)×(1＋1＋2＋3＋3.5＋5＋4＋4.5)＝3，所以相關(guān)系數(shù)r＝＝eq\f(74.5,\r(340)×\r(16.5))＝eq\f(74.5,18.44×4.06)≈0.995，因為相關(guān)系數(shù)的值接近于1，所以變量y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)；(2)計算＝＝eq\f(74.5,340)≈0.219，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝3－0.219×11＝0.591，所以y關(guān)于x的回來方程為＝0.219x＋0.591.令＝0.219x＋0.591≥6，解得x≥24.70，即實現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)料至少須要投入促銷費(fèi)用24.70萬元．線性回來分析的關(guān)注點(1)回來直線＝x＋必過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).(2)正確運(yùn)用計算，的公式和精確地計算，是求線性回來方程的關(guān)鍵．(3)分析兩變量的相關(guān)關(guān)系，可由散點圖或相關(guān)系數(shù)公式作出推斷，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回來方程估計和預(yù)料變量的值．(2024·成都高二檢測)某中學(xué)高三學(xué)生摸底考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取44名，獲得他們本次考試的數(shù)學(xué)成果(x)和物理成果(y)，繪制成如圖散點圖：依據(jù)散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異樣點A，B.經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，B考生因故未能參與物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)精確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計的值：QUOTExi=4620，QUOTEyi=3108，QUOTExiyi=350350，QUOTE=16940，QUOTE=5250，其中xi，yi分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果、物理成果，i＝1，2，3，…，42，y與x的相關(guān)系數(shù)r＝0.82.(1)若不剔除A，B兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回來分析，設(shè)此時y與x的相關(guān)系數(shù)為r0.試推斷r0與r的大小關(guān)系(不必說理由)；(2)求y關(guān)于x的線性回來方程，并估計假如B考生參與了這次物理考試(已知B考生的數(shù)學(xué)成果為125分)，物理成果是多少？附：回來方程=+x中=QUOTE=QUOTE，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x).【解析】(1)由題意y與x成正相關(guān)關(guān)系，異樣點A，B會降低變量之間的線性相關(guān)程度，所以r0<r；(2)由題中數(shù)據(jù)可得QUOTE=QUOTExi=110，QUOTE=QUOTEyi=74，所以QUOTE=QUOTExiyi-42eq\x\to(x)·eq\x\to(y)＝350350－42×110×74＝8470.又因為＝16940，所以＝＝eq\f(8470,16940)＝0.5，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝74－0.5×110＝19，所以＝0.5x＋19，將x＝125代入，得y＝81.5，所以估計B同學(xué)的物理成果為81.5分．課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．在一組數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，則全部的樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)滿意的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2【解析】選A.若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，則樣本數(shù)據(jù)為線性相關(guān)，解除D，又相關(guān)系數(shù)為－1，所以樣本數(shù)據(jù)為負(fù)相關(guān)，解除B，C(B，C為正相關(guān)).2．對于相關(guān)系數(shù)r，下列描述正確的是()A．r>0表明兩個變量線性相關(guān)性很強(qiáng)B．r<0表明兩個變量無關(guān)C．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近1，表明兩個變量線性相關(guān)性越強(qiáng)D．r越小，表明兩個變量線性相關(guān)性越弱【解析】選C.相關(guān)系數(shù)r為正，兩個變量呈正相關(guān)，r為負(fù)，兩個變量呈負(fù)相關(guān)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近1，表明兩個變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近0，表明兩個變量線性相關(guān)性越弱，所以只有C正確．3．變量x，y的散點圖如圖所示，那么x，y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為()A.1B．－0.5C．0D．0.5【解析】選C.依據(jù)變量x，y的散點圖，得x，y之間的樣本相關(guān)關(guān)系特別不明顯，所以相關(guān)系數(shù)r最接近的值應(yīng)為0.4．第一組樣本點為(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，(－3，－4.8)，(－2，－3.3)，(－1，－0.9)，其次組樣本點為(1，8.9)，(2，7.2)，(3，4.8)，(4，3.3)，(5，0.9)，第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為r1，其次組變量的線性相關(guān)系數(shù)為r2，則()A．r1＞0＞r2 B．r2＞0＞r1C．r1＜r2＜0 D．r2＞r1＞0【解析】選A.依據(jù)題意，第一組樣本點為(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，(－3，－4.8