傅里葉級數(shù)和傅里葉變換課件

內(nèi)容傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的傅里葉展開奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)傅里葉積分實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分傅里葉變換式的物理意義—頻譜傅里葉變換傅里葉變換的定義多維傅氏變換廣義傅里葉變換(不要求)積分變換(不要求)第1頁/共68頁一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象第2頁/共68頁矩形波可看成如下各不同頻率正弦波的逐個(gè)疊加第3頁/共68頁第4頁/共68頁第5頁/共68頁第6頁/共68頁第7頁/共68頁第8頁/共68頁物理意義：把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成是許多不同頻率的簡諧振動(dòng)的疊加。第9頁/共68頁一點(diǎn)歷史1807年法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)，但遭到拉格朗日(Lagrange)的強(qiáng)烈反對,論文從未公開露面過。1822年，他在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了《熱的分析理論》，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。第10頁/共68頁傅里葉、傅利葉、傅立葉

Fourier第11頁/共68頁傅里葉變換

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡單的運(yùn)算，人們常采用變換的方法來達(dá)到目的．例如在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較簡單的加法和減法運(yùn)算．在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\(yùn)算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，正是積分變換的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之一．積分變換的理論方法不僅在數(shù)學(xué)的諸多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無線電技術(shù)以及信號處理等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用．第12頁/共68頁7.1傅里葉級數(shù)7.1.1周期函數(shù)的傅里葉展開定義7.1.1傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)展開式傅里葉系數(shù)

若函數(shù)以為周期，即為第13頁/共68頁的光滑或分段光滑函數(shù)，且定義域?yàn)椋瑒t可取三角函數(shù)族(7.1.2)作為基本函數(shù)族，將展開為傅里葉級數(shù)（即下式右端級數(shù)）(7.1.3)第14頁/共68頁式（7.1.3）稱為周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式（簡稱傅氏級數(shù)展開），其中的展開系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)（簡稱傅氏系數(shù)）．

函數(shù)族(7.1.2)是正交的．即為：其中任意兩個(gè)函數(shù)的乘積在一個(gè)周期上的積分等于零，即第15頁/共68頁利用三角函數(shù)族的正交性，可以求得(7.1.3)的展開系數(shù)為積化和差公式積分第16頁/共68頁

（7.1.4）關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題，有如下定理：狄利克雷（Dirichlet）定理7.1.1

若函數(shù)滿足條件：

第17頁/共68頁(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則級數(shù)（7.1.3）收斂，則在收斂點(diǎn)有：在間斷點(diǎn)有：第18頁/共68頁7.1.2奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開定義7.1.2傅里葉正弦級數(shù)傅里葉余弦級數(shù)若周期函數(shù)

是奇函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式(7.1.4)可見，所有均等于零，展開式(7.1.3)成為

(7.1.5)這叫作傅里葉正弦級數(shù)．容易檢驗(yàn)（7.1.5）中的正弦級數(shù)在處為零．第19頁/共68頁由于對稱性，其展開系數(shù)為若周期函數(shù)

是偶函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)計(jì)算公式可見，所有均等于零，展開式(7.1.3)成為

(7.1.6)這叫作傅里葉余弦級數(shù)．第20頁/共68頁同樣由于對稱性，其展開系數(shù)為

(7.1.7)由于余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級數(shù)，所以余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處為零．而對于定義在有限區(qū)間上的非周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，需要采用類似于高等數(shù)學(xué)中的延拓法，使其延拓為周期函數(shù)．第21頁/共68頁7.1.3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)定義7.1.3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

取一系列復(fù)指數(shù)函數(shù)

(7.1.8)作為基本函數(shù)族，可以將周期函數(shù)展開為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

(7.1.9)第22頁/共68頁利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的正交性，可以求出復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)(7.1.10)式中“*”代表復(fù)數(shù)的共軛上式(7.1.9)的物理意義為一個(gè)周期為2l

的函數(shù)可以分解為頻率為，復(fù)振幅為的復(fù)簡諧波的疊加．稱為譜點(diǎn)，所有譜點(diǎn)的集合稱為譜．對于周期函數(shù)而言，譜是離散的．第23頁/共68頁盡管是實(shí)函數(shù)，但其傅里葉系數(shù)卻可能是復(fù)數(shù)，且滿足：或

(7.1.11)7.2實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分

上一節(jié)我們討論了周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，下面討論非周期函數(shù)的級數(shù)展開．7.2.1實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分第24頁/共68頁定義7.2.1實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換式傅里葉積分傅里葉積分表示式設(shè)非周期函數(shù)為一個(gè)周期函數(shù)當(dāng)周期時(shí)的極限情形．這樣，的傅里葉級數(shù)展開式

(7.2.1)在時(shí)的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)的傅里葉展開．下面我們研究這一極限過程：第25頁/共68頁

設(shè)不連續(xù)的參量故（7.2.1）為（7.2.2）傅里葉系數(shù)為(7.2.3)第26頁/共68頁代入到(7.2.2)，然后取的極限．

對于系數(shù)，若有限，則而余弦部分為當(dāng)，不連續(xù)參變量變?yōu)檫B續(xù)參量，以符號代替．對的求和變?yōu)閷B續(xù)參量第27頁/共68頁的積分，上式變?yōu)橥砜傻谜也糠秩袅睿?.2.4）第28頁/共68頁式（7.2.4）稱為的（實(shí)數(shù)形式）傅里葉變換式．故（7.2.2）在時(shí)的極限形式變?yōu)椋ㄗ⒁獾剑?7.2.5)上式(7.2.5)右邊的積分稱為（實(shí)數(shù)形式）傅里葉積分．(7.2.5)式稱為非周期函數(shù)

的（實(shí)數(shù)形式）傅里葉積分表示式．第29頁/共68頁事實(shí)上，上式（7.2.5）還可以進(jìn)一步改寫為（7.2.6）上式(7.2.6)的物理意義為：

稱為的振幅譜，稱為的相位譜．可以對應(yīng)于物理現(xiàn)象中波動(dòng)（或振動(dòng)）第30頁/共68頁我們把上述推導(dǎo)歸納為下述嚴(yán)格定理：1．傅里葉積分定理定理7.2.1

傅里葉積分定理若函數(shù)在區(qū)間上滿足條件（1）在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；（2）在上絕對可積，則里葉積分形式（7.2.5)，可表為傅且在的連續(xù)點(diǎn)處傅里葉積分值＝第31頁/共68頁；在間斷點(diǎn)處傅里葉積分值＝2．奇函數(shù)的傅里葉積分定義7.2.2實(shí)數(shù)形式的傅里葉正弦積分傅里葉正弦變換

若為奇函數(shù)，我們可推得奇函數(shù)分為傅里葉正弦積分：的傅里葉積(7.2.7)式（7.2.7）滿足條件其中是的傅里葉正弦變換：

第32頁/共68頁（7.2.8）3.偶函數(shù)的傅里葉積分定義7.2.3實(shí)數(shù)形式的傅里葉余弦積分傅里葉余弦變換若為偶函數(shù)，的傅里葉積分為傅里葉余弦積分：(7.2.9)第33頁/共68頁式（7.2.9）滿足條件．其中是的傅里葉余弦變換：（7.2.10）上述公式可以寫成另一種對稱的形式

（7.2.11）第34頁/共68頁(7.2.12)7.2.2復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分定義7.2.4復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換式

對于上述實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換，我們覺得還不夠緊湊．下面我們討論復(fù)數(shù)形式的傅氏積分與變換，而且很多情形下，復(fù)數(shù)第35頁/共68頁形式（也稱為指數(shù)形式）的傅氏積分變換使用起來更加方便．

利用歐拉公式則有代入式（7.2.5）得到第36頁/共68頁將右端的第二個(gè)積分中的換為，則上述積分能合并為

(7.2.13)其中第37頁/共68頁將（7.2.4）代入上式可以證明無論對于，還是均可以合并為（7.2.14）證明：（1）時(shí)（2）時(shí)第38頁/共68頁

證畢．（7.2.13）是的復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分表示式,（7.2.14）則是的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換式．上述變換可以寫成另一種對稱的傅氏變換（對）形式第39頁/共68頁（7.2.15）7.2.3傅里葉變換式的物理意義——頻譜

傅氏變換和頻譜概念有著非常密切的聯(lián)系．頻譜這個(gè)術(shù)語來自于光學(xué).通過對頻譜的分析，可以了解周期函數(shù)和非周期函數(shù)的一些基本性質(zhì).第40頁/共68頁若已知是以為周期的周期函數(shù)，且滿足狄利克雷條件，則可展成傅里葉級數(shù)

(7.2.16)其中,我們將稱為的第次諧波，稱為第次諧波的頻率．第41頁/共68頁由于其中稱為初相，

稱為第次諧波的振幅，記為，即（7.2.17）第42頁/共68頁若將傅里葉級數(shù)表示為復(fù)數(shù)形式，即(7.2.18)其中恰好是次諧波的振幅的一半.我們稱為復(fù)振幅.顯然次諧波的振幅與復(fù)振幅有下列關(guān)系：第43頁/共68頁

（7.2.19）當(dāng)取這些數(shù)值時(shí)，相應(yīng)有不同的頻率和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次諧波的振幅隨頻率變化的分布情況．頻譜圖通常是指頻率和振幅的關(guān)系圖.稱為函數(shù)的振幅頻譜（簡稱頻譜）.若用橫坐標(biāo)表示頻率，縱坐標(biāo)表示振幅，把點(diǎn)第44頁/共68頁用圖形表示出來，這樣的圖形就是頻譜圖.由于,所以頻譜不連續(xù)的，稱之為離散頻譜．的圖形是7.3傅里葉變換的定義7.3.1傅里葉變換的定義第45頁/共68頁化學(xué)中的頻譜–光譜1991年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)RichardR.Ernst主要貢獻(xiàn)之一：傅里葉變換核磁共振譜傅里葉變換紅外光譜(FourierTransformInfrared,FT-IR)第46頁/共68頁

由上一節(jié)對實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分的討論，最后我們以簡潔的復(fù)數(shù)形式（即指數(shù)形式）作為傅里葉變換的定義定義7.3.1傅里葉變換

若滿足傅氏積分定理?xiàng)l件，稱表達(dá)式（7.3.1）為的傅里葉變換式,記作．我們稱函數(shù)為的傅里葉變換，簡稱傅氏變換第47頁/共68頁（或稱為像函數(shù)）．定義7.3.2傅里葉逆變換如果(7.3.2)則上式為的傅里葉逆變換式，記為我們稱為（或稱為像原函數(shù)或原函數(shù)）．的傅里葉逆變換，簡稱傅氏逆變換第48頁/共68頁

由（7.3.1）和（7.3.2）知傅里葉變換和傅里葉逆變換是互逆變換，即有(7.3.3)或者簡寫為

7.3.2多維傅氏變換在多維（維）情況下，完全可以類似地定義函數(shù)第49頁/共68頁的傅氏變換如下：它的逆變換公式為：7.3.3傅里葉變換的三種定義式第50頁/共68頁

在實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換常常采用如下三種形式，由于它們采用不同的定義式，往往給出不同的結(jié)果，為了便于相互轉(zhuǎn)換，特給出如下關(guān)系式：第一種定義式2.第二種定義式第51頁/共68頁3.第三種定義式三者之間的關(guān)系為三種定義可統(tǒng)一用下述變換對形式描述第52頁/共68頁

特別說明：不同書籍可能采用了不同的傅氏變換對定義，所以在傅氏變換的運(yùn)算和推導(dǎo)中可能會(huì)相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)比如

，讀者應(yīng)能理解．本書采用的傅氏變換(對)是大量書籍中常采用的統(tǒng)一定義,若未特殊申明，均使用的是第二種定義式．第53頁/共68頁傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)第54頁/共68頁7.3.4廣義傅里葉變換(不要求)

前面我們定義的傅氏變換要求滿足狄利克雷條件，那么對一些很簡單、很常用的函數(shù)，例如單位階躍函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都無法確定其傅氏變換．這無疑限制了傅氏變換的應(yīng)用．所以我們引入廣義傅氏變換概念系指函數(shù)及其相關(guān)函數(shù)的傅氏變換．在后面我們將看到，函數(shù)的傅氏變換在求解數(shù)理方程中有著特殊的作用．這里先介紹其有關(guān)基本定義和性質(zhì)．第55頁/共68頁1.

函數(shù)定義

定義7.3.3

函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)滿足下列條件，則稱之為函數(shù)，并記為(7.3.4)

且(7.3.5)第56頁/共68頁我們不加證明地指出與定義7.3.3等價(jià)的函數(shù)的另一定義定義7.3.4

函數(shù)

如果對于任意一個(gè)在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)恒有則稱滿足上式中的函數(shù)為函數(shù)，

對于任意的連續(xù)可微函數(shù),定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為第57頁/共68頁

（7.3.6）根據(jù)上式顯然有（7.3.7）由函數(shù)定義7.3.4有(7.3.8)第58頁/共68頁2.函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1

對于的實(shí)常數(shù)，有(7.3.9)性質(zhì)2

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，即對應(yīng)為，故為偶函數(shù)．第59頁/共68頁所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的任意一個(gè)函數(shù)，經(jīng)過某種可逆的積分方法（即為通過含參變量的積分）變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類B中的函數(shù)這里是一個(gè)確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核．稱為的像函數(shù)或簡稱為像，稱為的原函數(shù)．第60頁/共68頁

在這樣的積分變換下，微分運(yùn)算可變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算，原來的偏微分方程可以減少自變量的個(gè)數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；原來的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易在像函數(shù)類B中找到解的像；再經(jīng)過逆變換，便可以得到原來要在A中所求的解，而且是顯式解．

另外需要說明的是，當(dāng)選取不同的積分區(qū)域和核函數(shù)時(shí)，就得到不同名稱的積分變換:第61頁/共68頁（1）特別當(dāng)核函數(shù)（注意已將積分參變量改寫為變量），當(dāng)，則稱函數(shù)為函數(shù)的傅里葉（Fourier）變換，簡稱為函數(shù)的傅氏變換．同時(shí)我們稱為的傅里葉逆變換．第62頁/共68頁