高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：重積分

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、二重積分的定義二、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)二重積分的定義與性質(zhì)重積分1．曲頂柱體的體積一、二重積分的定義以xOy平面上的有界閉區(qū)域D為底，以D的邊界曲線L為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面，以D為定義域且取正值的連續(xù)函數(shù)

表示的是以連續(xù)曲面為頂所圍的幾何體，稱為曲頂柱體。下面考慮曲頂柱體的體積V的計(jì)算問(wèn)題。我們知道平頂柱體的底面上各處的高是相同的，所以其體積為高乘以底面積。曲頂柱體的頂是曲面，它在點(diǎn)

處得高度

隨點(diǎn)

的位置不同而變化，上面求平頂柱體的體積公式顯然不適用。于是我們可以借鑒求曲邊梯形面積的方法來(lái)計(jì)算曲頂柱體的體積。(1)分割

用一組曲線網(wǎng)將區(qū)域D分割成n個(gè)小閉區(qū)域

小區(qū)域

的面積記為

。以

的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于

軸的柱面，這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體

，其體積也記作(2)近似(3)求和由于

是連續(xù)的，當(dāng)分割相當(dāng)細(xì)時(shí)，曲頂柱體

的高度

變化很小，這時(shí)小曲頂柱體可以近似看作平頂柱體。我們?cè)诿總€(gè)小區(qū)域

上任取一點(diǎn)

，以

為高而底為

的平頂柱體近似地代替細(xì)曲頂柱體，則有把n個(gè)平頂柱體體積累加起來(lái)，所得之和作為曲頂柱體V的近似值(4)取極限

令n個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值

趨于零，取上述和式的極限，所得的極限即為所求曲頂柱體的體積2．平面薄片的質(zhì)量設(shè)一平面薄片所占

平面上的閉區(qū)域?yàn)镈，它在點(diǎn)

處的面密度

是D上連續(xù)的正值函數(shù)，現(xiàn)在計(jì)算該薄片的質(zhì)量M。由于密度

是連續(xù)變化的，若把薄片分成許多小塊后，則在每一小塊上的面密度可以近似地看作常數(shù)。這樣，我們又可用上述方法計(jì)算此薄片的質(zhì)量。用網(wǎng)線將平面區(qū)域D劃分成n個(gè)子閉區(qū)域

其面積記作

，在每一子閉區(qū)域上任取一點(diǎn)

，以

代替

上各點(diǎn)處的密度，則

這塊薄片的質(zhì)量近似為

，薄片D的質(zhì)量近似為上面兩個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，雖然它們的實(shí)際背景不同，但是解決問(wèn)題的方法卻是完全一致的，所求的量都?xì)w納為同一形式的和式極限。這樣，就抽象出二重積分的定義。3．二重積分的定義定義

設(shè)函數(shù)

是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域任意分成n個(gè)小閉區(qū)域其中

表示第i個(gè)小區(qū)域及其面積。在每個(gè)小區(qū)域

上任取一點(diǎn)

，求和

。如果各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

趨于零時(shí)，該和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)

在閉區(qū)域D上的二重積分。記作

，即其中

稱為被積函數(shù)，

稱為被積表達(dá)式，

稱為面積元素，

稱為積分變量（二重積分的值與積分變量用什么字母無(wú)關(guān)），D稱為積分區(qū)域，

稱為積分和。二重積分的定義中對(duì)區(qū)域D的劃分方式是任意的。在直角坐標(biāo)系中，用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)劃分D，那么除了包含邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小區(qū)域外，其余的都是小矩形閉區(qū)域

，邊長(zhǎng)分別記為

及

，則

。因此，在直角坐標(biāo)系中有時(shí)把面積元素

記作

，故把二重積分

寫為

。其中

稱作直角

坐標(biāo)中的面積元素。一般地，若

，則該積分在幾何意義就是以區(qū)域D為底，以曲面

為頂?shù)那斨w體積。如果

在D的若干部分區(qū)域上是正的，我們可以把在

面上方的柱體體積取成正，在

面下方的柱體體積取成負(fù)。當(dāng)

時(shí)，柱體在

面的下方，二重積分的值是負(fù)的，它的絕對(duì)值仍等于柱體的體積。于是，

在D上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和。下面的定理給出二重積分存在的一個(gè)充分條件。定理

設(shè)函數(shù)

在有界閉區(qū)域上有定義，且連續(xù)，則

在該區(qū)域上的二重積分一定存在。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1

（線性性）設(shè)

為常數(shù)，則性質(zhì)2

（區(qū)域可加性）如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各個(gè)部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域

和

，則性質(zhì)3

如果在D上，

，

為D的面積，則這就是說(shuō)，高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。性質(zhì)4

如果在D上，

，則有特殊地，由于

，則有性質(zhì)5（估值不等式）

設(shè)M，m分別是

在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，

是D的面積，則有性質(zhì)6

（二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)域D上連續(xù)，

是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)

，使得一、直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算二、極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算第二節(jié)二重積分的計(jì)算法重積分1．垂直型區(qū)域一、直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算設(shè)區(qū)域D為由介于上下兩條自變量為

的單值連續(xù)曲線

與

和兩條豎直線

與

之間所構(gòu)成的，即可表示為且穿過(guò)區(qū)域D內(nèi)部平行于

軸的直線與D的邊界至多交于兩點(diǎn)。2．水平型區(qū)域且穿過(guò)區(qū)域D內(nèi)部平行于

軸的直線與D的邊界至多交于兩點(diǎn)。設(shè)區(qū)域D為由介于上下兩條自變量為

的單值連續(xù)曲線

與

和兩條豎直線

與

之間所構(gòu)成的，即可表示為這種垂直型區(qū)域與水平型區(qū)域統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單區(qū)域。按照二重積分的幾何意義，

等于以區(qū)域D為底，以D上曲面

為頂?shù)那斨w的體積V。先假設(shè)D為垂直型區(qū)域。設(shè)平行于

坐標(biāo)面且在

軸上的截距為()的平面與曲頂柱體相截而成截面的面積為

。由“平行截面面積已知的立體體積”計(jì)算方法，可知

其中

為曲邊梯形的面積。該曲邊梯區(qū)間

為底，以曲線

為頂，所以于是，曲頂柱體體積為把上式右端積分寫成在上述討論中，我們始終假定

，但上述計(jì)算公式的成立并不受此條件限制。其中積分區(qū)域

為垂直型區(qū)域，

為

上的連續(xù)函數(shù)。最后，得到二重積分化為先對(duì)

、后對(duì)

的二次積分的公式：類似地，如果積分區(qū)域D為水平型區(qū)域，

為

D上的連續(xù)函數(shù)，可以寫出體積V的另一種二次積分的表達(dá)式如果積分區(qū)域D是非簡(jiǎn)單區(qū)域，即D的邊界與穿過(guò)D的內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)多于兩個(gè)，則可把D分成若干部分，使每個(gè)部分都是簡(jiǎn)單區(qū)域。再在每個(gè)區(qū)域上用前面兩個(gè)公式來(lái)計(jì)算。定理(富比尼定理)設(shè)

在平面閉區(qū)域

上連續(xù)，（1）若閉區(qū)域

可表示為：

，其中

和

在

上連續(xù)，則（2）若閉區(qū)域

可表示為：

，其中

和

在

上連續(xù)，則例1

計(jì)算

，其中D是有拋物線

和直線

所圍成的閉區(qū)域。解：方法1先畫出積分區(qū)域D。把區(qū)域D看作二個(gè)垂直型區(qū)域的并集。這時(shí)，區(qū)域邊界的下部是由兩條不同的曲線組成的，兩條曲線交點(diǎn)為

，

；因此用直線

將D分為和方法2：

將區(qū)域D是水平型區(qū)域，D可表示為

所以

解

由于

這個(gè)積分的原函數(shù)不能表示為一個(gè)初等函數(shù)，因此無(wú)法直接計(jì)算，為此我們需要交換積分次序。首先確定積分限例2

計(jì)算累次積分把

變換為

故積分例3

計(jì)算

，其中D是由

及

所圍

成的區(qū)域解：

方法1：如圖，若把D看作垂直型區(qū)域，則

可應(yīng)用區(qū)域?qū)ΨQ性及函數(shù)奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。因?yàn)閰^(qū)域

是關(guān)于

軸對(duì)稱，設(shè)

是

在第一象限的部分，

是關(guān)于

的奇函數(shù)，故方法2：所以而

是關(guān)于

的偶函數(shù)，故例4

求兩個(gè)底圓半徑都為

的直交圓柱面所圍的立體的體積。解

設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積,可得立體體積為及所求立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的底為如圖所示。它的頂是柱面

。于是從而所求立體的體積為二、極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算有些二重積分，其積分區(qū)域

的邊界用極坐標(biāo)表示比較方便，例如圓弧或過(guò)原點(diǎn)的射線，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)

、

表示比較簡(jiǎn)單，諸如

、

、

等。此時(shí)可以考慮用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算這些二重積分。如圖所示的區(qū)域可以分別表示為：假定閉區(qū)域

的邊界與從極點(diǎn)

出發(fā)穿過(guò)

的內(nèi)部的射線的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，或者邊界的一部分是射線的一段。在極坐標(biāo)系中，我們采用兩族曲線：

常數(shù)及

常數(shù)，即以一族過(guò)極點(diǎn)的射線與一族以極點(diǎn)為圓心的同心圓來(lái)細(xì)分區(qū)域

。除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積

可計(jì)算如下：其中

為相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小閉區(qū)域內(nèi)取圓周

上的點(diǎn)

設(shè)該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

則由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系有于是

這樣，直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分的變換公式為要把直角坐標(biāo)系中的二重積分變換為極坐標(biāo)系中的二重積分，只要把被積函數(shù)中的

、

分別換成

、

，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素

換成極坐標(biāo)系中的面積元素

就可以了。極坐標(biāo)系中的二重積分，利用富比尼定理同樣可以化為累次積分來(lái)計(jì)算。(1)假設(shè)極點(diǎn)

在積分區(qū)域

外，即

夾于兩條射線

之間，而對(duì)

內(nèi)任一點(diǎn)

，其極徑

始終介于

與

之間。則區(qū)域

在極坐標(biāo)系中可表示為其中函數(shù)

和

在

上連續(xù)。對(duì)于在

上任意取定的一個(gè)

值，對(duì)應(yīng)此

值在

點(diǎn)的極徑為從

變到

，因此可得在此區(qū)域D上的極坐標(biāo)系中的二重積分化為二次積分的公式為(2)極點(diǎn)

在積分區(qū)域

的邊界上，即由如圖所示的曲邊扇形，則可以把它看作當(dāng)

時(shí)的特例，這時(shí)區(qū)域可表示為(3)極點(diǎn)

在積分區(qū)域

的內(nèi)部，如圖所示，這時(shí)區(qū)域

可表示為由二重積分的性質(zhì)3可知，閉區(qū)域

的面積

可表示為所以，在極坐標(biāo)系中，面積元素

于是區(qū)域D的面積例5

計(jì)算

其中

是由中心在原點(diǎn)、半徑為

的圓周所圍成的閉區(qū)域。解

在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域

可表示為由于積分

不能用初等函數(shù)表示，本題如果用直角坐標(biāo)計(jì)算，則無(wú)法算出結(jié)果。下面我們用上面的結(jié)果來(lái)計(jì)算概率論中常用的反常積分設(shè)顯然

。由于

，所以有不等式故應(yīng)用上面已得的結(jié)果有于是不等式可寫為因?yàn)榱?/p>

上式兩端趨于同一極限

從而

例6

求拋物面

下方,坐標(biāo)面上方,圓柱面

內(nèi)部的立體體積。解

立體關(guān)于

面對(duì)稱,設(shè)

在第一卦限部分的體積為

，則

立體在

坐標(biāo)面上的投影區(qū)域是由圓周

所圍成。其在第一象限中的半?yún)^(qū)域

可用極坐標(biāo)表示為該立體的頂為拋物面

故其體積為一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算第三節(jié)三重積分重積分一、三重積分的概念定義

設(shè)

是定義在空間有界閉區(qū)域

上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域

作任意分割，分割成n個(gè)小閉區(qū)域

，其中

既表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積。在

上任取一點(diǎn)

，作乘積

，并作和

。如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中最大值

趨向于零時(shí)，該和式的極限總存在，則稱此極限值為函數(shù)

在閉區(qū)域

上的三重積分。記作

，即其中

稱作體積元素。在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面劃分

，那么除了包含

的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域

是長(zhǎng)方體，其邊長(zhǎng)分別為

及

，則

，因此在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把體積元素

記作

，而把三重積分記作其中

稱作直角坐標(biāo)系中體積元素。連續(xù)函數(shù)

在閉區(qū)域

上的三重積分必存在。以后我們總假定函數(shù)

在閉區(qū)域上是連續(xù)的。類似地,我們可以將三重積分推廣到n重積分。對(duì)于空間物體的質(zhì)量，如果它的密度函數(shù)為

，該物體所占空間為閉區(qū)域

，則物體的質(zhì)量可表示為二、三重積分的計(jì)算1．直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分(1)設(shè)區(qū)域

由許多小柱體組合而成。假定平行于z軸且穿過(guò)閉區(qū)域

內(nèi)部的直線與閉區(qū)域

的邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)(當(dāng)

不滿足這一條件時(shí),可將

分成若干個(gè)滿足條件的區(qū)域之和,利用區(qū)域可加性進(jìn)行處理)。把閉區(qū)域

投影到xOy平面上，得一平面閉區(qū)域

。過(guò)

內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)作平行于z軸的直線自上向下地穿透

。設(shè)穿入

內(nèi)時(shí)的豎坐標(biāo)為

，穿出

外時(shí)的豎坐標(biāo)為

，且

與

皆為連續(xù)函數(shù)。此時(shí)積分區(qū)域

可表示為如果投影區(qū)域

為垂直型，則于是空間閉區(qū)域

可表示為可得三重積分的計(jì)算公式為若把投影區(qū)域

為水平型區(qū)域，則三重積分可表示為解

作閉區(qū)域如圖所示,將

投影到xOy面上，得投影區(qū)域例1

計(jì)算,其中

由平面

及三坐標(biāo)面所圍區(qū)域。在

內(nèi)任取一點(diǎn)作平行于

軸的直線，該直線在平面

處穿入

內(nèi)，又在平面

處穿出

外。于是例2

計(jì)算,其中

由平面

及三坐標(biāo)面所圍區(qū)域。解

由于函數(shù)

及積分區(qū)域

關(guān)于自變量均為對(duì)稱，所以于是在

中任取一點(diǎn)作平行于

軸的直線，該直線由錐面

穿入

內(nèi)，又由平面

穿出

外。于是解

積分區(qū)域

如圖，

在xOy面上的投影可表示為例3

計(jì)算三重積分

其中

由錐面

及平面

所圍。這一在

上的二重積分可以考慮用極坐標(biāo)計(jì)算，由于故(2)設(shè)區(qū)域由平面薄片疊加而成。于是，三重積分化為如果區(qū)域

由垂直于

軸的平面閉區(qū)域

與高度為

的立體疊加而成,由

疊加至

，則例4

計(jì)算三重積分

其中

是由橢球面

所圍成的空間閉區(qū)域。解

空間閉區(qū)域

可表示為如圖所示，則可得其中

為垂直于

軸的平面截

所得的平面截面區(qū)域。它是橢圓盤

其面積為

因此2．柱面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分當(dāng)空間閉區(qū)域

在坐標(biāo)面上的投影為由圓弧與直線所圍成的區(qū)域，被積函數(shù)為

等形式時(shí)，常常用柱面坐標(biāo)計(jì)算。設(shè)

為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)

在

面上的投影

的極坐標(biāo)為

則這樣的三個(gè)數(shù)

、

、

就叫做點(diǎn)

的柱面坐標(biāo)，并規(guī)定

、

、

的變化范圍為：三組坐標(biāo)面分別為顯然，點(diǎn)

的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為

常數(shù),即以軸為中心軸的圓柱面；常數(shù),即過(guò)軸的半平面；常數(shù),即與面平行的平面?，F(xiàn)在要把三重積分

化為柱面坐標(biāo)下的三重積分.為此,我們用上述三組坐標(biāo)面將

分割成許多小區(qū)域,除了含

的邊界外,這種小閉區(qū)域都是柱體?，F(xiàn)在考慮

、

、

各取微小增量

、

、

時(shí)所成的柱體體積。在不計(jì)高階無(wú)窮小時(shí)，該體積可近似地看作邊長(zhǎng)分別為

、

、

的長(zhǎng)方體體積。故可得柱面坐標(biāo)中的體積元素為解

球面與拋物面的交線為

因此，閉區(qū)域

在

面上的投影為圓形閉區(qū)域例5

計(jì)算三重積分

，其中

為由球面

與拋物面

所圍成的閉區(qū)域。在

內(nèi)過(guò)任意點(diǎn)做平行于z軸的直線，此直線由

穿入

內(nèi)，然后由

穿出

外，因此

可表示為于是例6

計(jì)算累次積分

。解

這一累次積分可看作是由函數(shù)