考點(diǎn)16-高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)與冪函數(shù)(解析版)

考點(diǎn)16二次函數(shù)與幕函數(shù)

【命題解讀】

二次函數(shù)為基本考察對(duì)象，以絕對(duì)值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性

質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程(零點(diǎn))、不等式的解法等，考查數(shù)學(xué)式子變形的能力、運(yùn)算求

解能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中函數(shù)與方程考查頻率較高.涉及函數(shù)性質(zhì)的考查；

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

1.塞函數(shù)

(1)基函數(shù)的定義

一般地，形如y=x"的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中x是自變量，。為常數(shù).

(2)常見(jiàn)的五種募函數(shù)的圖象

⑶累函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)?！?時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)?！?時(shí)，哥函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：f(x)=af+6x+c(aW0).

頂點(diǎn)式：f(x)=a(x—4?+加口#。)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(卬,n).

零點(diǎn)式：f(x)=a(x—荀)(x—X?)(aWO),Xi,蒞為/'(x)的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=ax+bx-\-c(a>0)y=ax+bx+c(水0)

圖象

(拋物線)

定義域R

4ac-/(4ac~~廿

值域_4a，+8「8,4aJ

b

對(duì)稱軸x=二四

頂點(diǎn)

(二*4aJ

坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)6=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)后0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在(互在(瓦

、—8,一狗上是減函數(shù)；、—8,一技上是增函數(shù)；

單調(diào)性

-b)上是增函數(shù)一b)上是減函數(shù)

在「五，+8在［一萊+8

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

Ja>0,Ja<0,

2.若F(x)=ax2+6x+c(aW0),貝悄匕4時(shí)恒有f(x)>0；當(dāng)j/〈()時(shí)，恒有F(x)〈O.

3.(1)幕函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限；

(2)塞函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1),如果幕函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).

熱身訓(xùn)I練

.

1、募函數(shù)y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),則累函數(shù)y=/(x)的大致圖象是()

【答案】C

【解析】(1)設(shè)幕函數(shù)的解析式為尸

因?yàn)槟缓瘮?shù)尸f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),

1

所以2=4",解得a=］.

所以y=4x,其定義域?yàn)椋?,+8),且是增函數(shù)，當(dāng)0</1時(shí)，其圖象在直線y=x的上方，對(duì)照選項(xiàng)，C

正確.

2、已知〃，b,ceR,函數(shù)/(x)=Qx2+bx+c若/(O)=/(4)>^(D，則()

A.。>0,4。+匕=0B.Q<0,4〃+Z?=0

C.〃>0,2〃+/?=0D.”<0,24+6=0

【答案】A

b

【解析】由/(0)=/(4),得/(x)=〃N+/?x+c圖象的對(duì)稱軸為工=一五=2,.Ma+b：。,又/(0)y⑴,/(4)"

(1),?"(x)先減后增，于是〃>0,故選A

3、若二次函數(shù)>=近2—4x+2在區(qū)間［1,2］上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍為()

A.［2,+8)B.(2,+8)

C.(—8,0)D.(—8,2)

【答案】A

2

【解析】二次函數(shù)尸加一4x+2的對(duì)稱軸為x=%當(dāng)k>0時(shí)，要使函數(shù)y=kx—4x+2在區(qū)間［1,2］上

2

是增函數(shù)，只需又WL解得AN2.

2

當(dāng)K0時(shí)，7<0,此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間［1,2］的左側(cè)，該函數(shù)夕=4/-4入+2在區(qū)間［1,2］上是

減函數(shù)，不符合要求.綜上可得實(shí)數(shù)4的取值范圍是［2,+8).

-7-

4、若函數(shù)y=N—3x+4的定義域?yàn)椋?,m］,值域?yàn)?J,則根的取值范圍為()

-3一

A.(0,4］B.|J,4_

-3-3

C.|J,3jD.2,+°°

【答案】C

<3^2717一

【解析】尸/一3x+4=(x—2)+1的定義域?yàn)椋?,血，顯然，在x=0時(shí)，y=4,又值域?yàn)開(kāi)4，4_,根據(jù)

3

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性知5W/W3,故選C.

5、不等式x2+a|x|+4》0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)o的取值范圍為()

A.［0,+8)B.［-4,+8)C.［-4,4］D.(-8,-4］

【答案】B

【解析】/(x)=x2+o|x|+4為偶函數(shù)；

當(dāng)Q20,x>0時(shí)，函數(shù)化為/(x)=x2+ax+4,對(duì)稱軸xVO,f(0)=4>0,不等式恒成立；

當(dāng)。<0時(shí)，x>0時(shí)，函數(shù)化為/(x)=x2+ax+4,可得△=/-16W0顯然成立

解得-4Wa＜0,

綜上aC[-4,+8).

故選：B..

6、(2017徐州、連云港、宿遷三檢)已知對(duì)于任意的XG(-8,1)宿(5,+?),都有6一2(。-2)x+a＞。,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是▲.

【答案】(1,5]

【解析】當(dāng)A=4(a—2)2—4。＜0,即54+4＜0，1＜。＜4時(shí)，滿足題意;

當(dāng)A=4(a—2)2—4。20,即々2—50+420，或時(shí),

[1<一一如-2)<5

23＜。＜7

則</一2(?！?)+a20解之得,所以3VQ＜5,又因?yàn)榛颉Ｖ?,所以44〃＜5,

52-10(tz-2)+?>0a＜5

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1,5]。

?典例.剖析

考向一幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.幕函數(shù)〉=/(%)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,2),則基函數(shù)y=/(x)的解析式為.

1

2.圖中曲線是幕函數(shù)在第一象限的圖像.已知a取±2,±5四個(gè)值，則相應(yīng)于曲

線C1,。2,C3,C4的。值依次為.

3.已知函數(shù)兀0=(小一加一1)/5叱3,根為何值時(shí)，?x)是幕函數(shù)，且在(0,+oo)±是

增函數(shù)？

【答案】(1)/(%)=戶.

11

(2)2,2，—2,-2(3)m=-l.

11

【解析】(1)令/(%)=格則4a=2,???a=2，J/(%)=戶.

11

(2)：2,2，—2,-2

(3),函數(shù)危)=(源一加一1)%―5以-3是募函數(shù),

Am2—m—1=1,解得m=2或m——\.

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，-5加一3=—13,函數(shù)y=/*在（0,+oo）上是減函數(shù)；

當(dāng)m=一1時(shí)，一5M一3=2,函數(shù)y=N在（0,+s）上是增函數(shù).—1.

變式1、已知幕函數(shù)黃x）=（"2+2〃—2）^2—3〃（〃ez）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在（0,+8）上是減函數(shù)，則〃

的值為（）

A.13B.1

C.2D.1或2

【答案】B

【解析】???塞函數(shù)f（x）=5+2〃-2）/2—3%（0,+8）上是減函數(shù)，

[n~\~2n—2=1,

?%-3水0,

又77=1時(shí)，F(xiàn)（X）=/之的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故77=1.故選B.

變式2、若人=（5）,c=（2）,則〃，C的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】因?yàn)樵诘谝幌笙迌?nèi)是增函數(shù)，所以a=D〉6=（1，，因?yàn)閥=G）是減函數(shù)，所以a

mtrn所以ZXa<c.故選D.

方法總結(jié)：（1）塞函數(shù)的形式是尸/（。GR）,其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.

⑵在區(qū)間（0,1）上，累函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸（簡(jiǎn)記為“指大圖低”），在區(qū)間（1,+8）上，

塞函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

（3）在比較暴值的大小時(shí)，必須結(jié)合募值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)

幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考向二一元二次函數(shù)的解析式

例2、（2）設(shè)"c>0,二次函數(shù)式尤）="2+法十。的圖象可能是（填序號(hào)）.

(2)已知函數(shù)y(x)=N+?nx—1,若對(duì)于任意xG[機(jī),冽+1],都有/(x)<。成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

(3).已知二次函數(shù)八x)滿足式2)=—1,式-1)=-1,且/U)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式.

【解析】(1)由①③④知，y(o)=c<o.

b

Vabc>Ofab<Of;?對(duì)稱軸x=——2〃>0，

知①，③錯(cuò)誤，④符合要求.

b

由②知y(0)=c>0,.\^>0,：.x=-2a<0,②錯(cuò)誤.

(2)作出二次函數(shù)負(fù)x)的草圖，對(duì)于任意m+1],都有｛x)<0,

(/(m)<0,

則有<0,

Jm2H-An2—1<0,近

即j(m+1)2+m(m+1)-l<0,解得—2<小<()?

(3)法一(利用一般式)：

設(shè)危)—aR+bx+c(〃#0).

"4a+2b+c=-l,

Ja-b-\-c=—\,

由題意得]4ai

、―4a—=8,

。=一4,

解得,"=%

<=7.

所求二次函數(shù)為八x)=-4N+4x+7.

法二(利用頂點(diǎn)式)：

設(shè)兀。="(X—機(jī))2+〃.

???式2)=式-1)，

2d-1j_

拋物線的對(duì)稱軸為x=-2—=2.

1

：.m=2-又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,，“=8.

.,.y=fix)=—2J2+8.

??7(2)=-1,.?.flG-2)2+8=-l,解得。=一4,

.\/(x)=—4(%—爹｝+8=—4/+4尤+7.

法三(利用零點(diǎn)式):

由已知?x)+1=0兩根為xi=2,%2=-1,

故可設(shè)fix)+1=〃(x—2)(x+1)，

即《/(%)=oN—ax_2a一1.

4q—2a—1—

又函數(shù)有最大值ymax=8,即4a=8.

解得a=—4或a=0(舍).

，所求函數(shù)的解析式為段)=-4N+4%+7.

變式1變式、已知二次函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任

意xGR,都有汽2—力=火2+力，則於)=.

【答案】X?—4x+3

【解析】因?yàn)?'(2—x)=f(2+x)對(duì)xGR恒成立，

所以y=f(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱.

又y=F(x)的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,

22

所以/'(x)=0的兩根為2—5=1或2+5=3.

所以二次函數(shù)f(x)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)和(3,0).

因此設(shè)f(x)=a(x—1)(x—3).

又點(diǎn)(4,3)在y=F(x)的圖象上，

所以3a=3,則a=l.

故f(x)=(A■—1)(x—3)=*—4X+3

方法總結(jié)：求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函

數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：

考向三根的分布問(wèn)題

例3、(2019蘇州期末)、已知函數(shù)/(x)=4無(wú)2-4ov+a+2(aeR).

(1)若/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)均小于2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)方程/(方=0在(1,2)上有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)由題意，等價(jià)于<△>(),解得aW—1或2Wa〈亍.

/(2)^0

1O

(2)①當(dāng)/⑴/(2)<。時(shí)，此時(shí)/'(尤)=。在(1,2)上有且只有一個(gè)實(shí)根，得2<a肯;

②當(dāng)/⑴=0時(shí)，即。=2時(shí)，此時(shí)/(尤)=0有》=1,舍去；

③當(dāng)/(2)=0時(shí)，即〃=1?8時(shí)，止匕時(shí)/(x)=0有x=2或x4舍去，

77

綜上：2<a<一,

7

變式1、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知函數(shù)/(尤)=4/-4辦+a+2(aeR),若/(無(wú))有一個(gè)小于1與一個(gè)大于2

的兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍_____一

【答案】?>y

f/(l)<018

解析由題意，等價(jià)于￡<0，解得口>三

變式2、已知函數(shù)/(無(wú))=4尤2-4辦+a+2(aeR),方程/(處=0在(1,2)上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析1①當(dāng)"1)/(2)<。時(shí)，此時(shí)了(沙=。在(1,2)上有且只有一個(gè)實(shí)根，得2<a<?；

②當(dāng)/⑴=0時(shí)，即。=2時(shí)，此時(shí)/■(尤)=0有x=l,舍去；

③當(dāng)〃2)=0時(shí)，即〃="時(shí)，此時(shí)/(x)=o有》=2或尤=2,舍去，

77

1<-<2

2

④當(dāng)卜22時(shí)，此時(shí)〃x)=0在(1,2)上有兩個(gè)實(shí)根，無(wú)解；

/(1)>0

J⑵>0

綜上：2<a<—.

7

4r2+9

解析2方程即為a(4x-l)=4f+2,因?yàn)閘<x<2時(shí)4x—1/0,于是"，

4元-1

令f=4x-le(3,7),設(shè)丫=生二/+2r+9,即40+2+2),/=1(1-1)>0,

-4x-lAt4t4L

所以了="1+巳Q+2)在fe(3,7)上單調(diào)遞增，ye(2,1Q?),所以2〈”言1Q.

4t77

變式3、(2019常州期末)若方程依z+2x+1=0至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【答案】a<0

解析1記/(x)=ax2+2尤+1,

①當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=2x+l,f(x)=O解得x=」，不符合條件；

2

②當(dāng)aw0時(shí)，

A=0

(i)當(dāng)/(%)=。只有一個(gè)正根，且0不是它的根，則有。?/(Sv?；?八，解得。<0;

——>0

、a

A>0

(ii)當(dāng)/(x)=0有兩個(gè)不等正根，貝IJ-工>。，此時(shí)。無(wú)解，

a

?-/(0)>0

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是avo.

解析2因?yàn)閤=O顯然不適合方程6i?+2x+l=(),于是問(wèn)題等價(jià)于“至少有一個(gè)正根，

X

］

記g(x)=-三?Y3+(x>0),g'(x)=2Y±+91>0(_r>0),所以g(無(wú))在(。,田)上遞增，且g(尤)e(0,y),

XX

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是aV。

方法總結(jié)：對(duì)于一元二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，主要就是根據(jù)條件正確列出等價(jià)條件。可以從一元二次函數(shù)

的開(kāi)口、對(duì)稱軸和關(guān)鍵的點(diǎn)等入手。

考向四一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題

例4、已知函數(shù)y=4N—12尤+3.當(dāng)xdR時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)尤G［2,3］時(shí)，值域?yàn)椋?/p>

當(dāng)xd［—1,5］時(shí)，值域?yàn)?

2.若函數(shù)y=N—2x+3在區(qū)間［0,加上有最大值3,最小值2,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3.求函數(shù)/(x)=N—2以在區(qū)間［0,1］上的最小值.

【解析】：L因?yàn)閥=4x2—12X+3=4(J—￡—6,所以

當(dāng)x￡R時(shí)，值域?yàn)椋邸?,+oo)；

3

當(dāng)工￡［2,3］時(shí)，分［2,3］,根據(jù)函數(shù)圖象知函數(shù)在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值一5,

當(dāng)x=3時(shí)，y取得最大值3,則值域?yàn)椋邸?,3］.

33

當(dāng)工￡［—1,5］時(shí)，—1,5］,則當(dāng)x=5時(shí)，y取得最小值-6,當(dāng)x=5時(shí)，y取得最大值43,故值域?yàn)椋垡?/p>

6,43］.

2,作出函數(shù)y=N—2x+3的圖象如圖.

由圖象可知，要使函數(shù)在［0,加］上取得最小值2,則1￡［0,m］,從而加21,

當(dāng)％=0時(shí)，y=3；當(dāng)％=2時(shí)，y=3,

所以要使函數(shù)取得最大值為3,則加32,

故所求相的取值范圍為［1,2］.

3.fix)=x2—2ax=(x—a)2—cfi,對(duì)稱軸為x=a.

(1)當(dāng)aVO時(shí)，/U)在［0,1］上是增函數(shù),

?\Xx)min=/(O)=O.

(2)當(dāng)OgaWl時(shí)，X^)min=fia)=—a2.

(3)當(dāng)〃>1時(shí)，段)在［0,1］上是減函數(shù),

."./(X)min=fi1)=1—2?,

0,。<0,

綜上所述,於)min=OK」

1—2a,〃>1.

3

變式1>(2019年泰州中學(xué)期末試題)求二次函數(shù)/(、)=辦2+(2。-1)工-3(。W0)在區(qū)間-5,2上的最大值.

【解析】/(x)=flfx+—-(2a~ir-3,對(duì)稱軸為x=-『

Vla)4a2a

①當(dāng)a>0時(shí)

(i)當(dāng)一網(wǎng)二時(shí)，2

即時(shí)，/(尤)=/(2)=8a-5；

2a41mx

(五)當(dāng)一生二1>J"時(shí)，2

即0<。<弓時(shí)，/(x)

2a4111ax

②當(dāng)avO時(shí)，~~也―-<0

2a

(i)當(dāng)一片w—］時(shí)，即—lWa<0時(shí)，

2a2242

(ii)當(dāng)時(shí)，即。<一1時(shí)，/Wmax=/(-^)=_3,

22a2a4a

---------------3,a<-1

4a

332

綜上所述，/(初曄=4—〃—,——^.ciw0

425

2

8。-5,〃三不

變式2、函數(shù)f(x)=—x2+4x—1在區(qū)間［3t+l］(t￡R)上的最大值為g⑺.

⑴求g⑺的解析式；

(2)求g⑺的最大值.

【解】⑴f(x)——x+4JT—1=—(x—2)?+3.

當(dāng)t+l<2,即伙1時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間［［,2+1］上為增函數(shù)，，式+=F(t+1)=——+21+2；

當(dāng)方W2WZ+L即1WHW2時(shí),g(方)=f⑵=3；

當(dāng)力2時(shí)，f(x)在區(qū)間［［，力+1］上為減函數(shù)，

g(方)=f(1)=—/+41—1.

—d+21+2,伙1,

綜上所述，g(t)=3,W2,

、一一+42—1,t>2.

⑵當(dāng)《1時(shí)，t}———+2大+2=—(t—1)2+3<3；

當(dāng)1W?W2時(shí)，g(t)=/(2)=3；當(dāng)力〉2時(shí)，g(t)=—?+4f—1=—(t—2)2+3<3.

的最大值為3.

方法總結(jié)：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端

點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的圖像和單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊(包括端

點(diǎn))、內(nèi)部和右邊(包括端點(diǎn))三種情況分類(lèi)討論即可獲解.

考向五一元二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題

例5、已知函數(shù)段)=N—%+1,在區(qū)間［-1,1］上,不等式段)>2%+m恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】(-8,—1)

【解析】fix)>2x+m等價(jià)于x2—x+l>2x+m,

即X2—3x+1—m>0,

2

令)g(x)=x—3x+l—m,

要使g(x)=x2—3x+1—m>0在［—1,1］上恒成立，

只需使函數(shù)g(x)=X2—3x+l一加在［-1,1］上的最小值大于0即可.

V^(x)=x2—3x+1-m在［―1,1］上單調(diào)遞減，

g(%)min=^(1)="m—1.

由一機(jī)一1>0,得根<—1.

因此滿足條件的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一8,-1).

1

變式1、若*2—kt—1W0在t￡［—1,1］上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

1

【解析】求二次函數(shù)f(t)=/2—kt—1在給定區(qū)間上的最大值M,二次函數(shù)f(t)的圖像的對(duì)稱軸為直

線t=2k.

■1r

①當(dāng)2k￡［—1,1］,即聞一5,可時(shí),M=f(—1)或f⑴，由MWO,得f(—1)WO且f(l)WO,解得

33「工廠|11

一，WkW］又kj—2，2_，故-5WkW］；

11

②當(dāng)2k<-1,即k<—5時(shí)，函數(shù)f(t)在［2k,1］上單調(diào)遞增，故M=f(l)=Z—k—1,由MWO,得kN

343工

一?又k<一萬(wàn)，故一5；

113

③當(dāng)2k>1,即k>］時(shí)，函數(shù)③t)在［—1,2k］上單調(diào)遞減,故M=f(-1)=W+k—1,由MWO,得

113

又k>5，故5<kW，.

33~

綜上知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為［一74_-

變式2、(蘇北四市、蘇中三市三調(diào))已知函數(shù)/(尤)=尤2-2尤+3”，g(x)=^~.若對(duì)任意％e［0,3］,總存

X—L

在/42,3］,使得|/a)|Wg(%)成立，則實(shí)數(shù)。的值為▲

【答案】/

【解析】因?yàn)間(x)=/y在⑵3］上單調(diào)遞減，所以g(%)111ax=2,

解法1由題意得，|/(占)卜2,即卜2一2工+3〃卜2在［0,3］上恒成立,

即-2-—2x+332，在［。，3］上恒成立,

3aw-f+2x+2,即］:"一:一(二在［0,3］上恒成立,

所以

—+2x—2,(3〃2一(x—1)+3

所以3。=_],"=

,,,,,,,,口/⑴w2,f|3a-l|s：2,

解法2|/（占）『2.因?yàn)閨AxjL=Maxf{|"l）|，Y（3）|},所以力（5，即福+3上2,解得

I

3'

方法總結(jié)：(1)、“任意-任意”型這類(lèi)問(wèn)題的表現(xiàn)形式為：Y\三D'NxiwD。，不等式成立.

V%GDpVA：2GD2,f（^）＜g（W）O%G〃,％G。2時(shí)，/（Xi）max&g（^2）min

(2)、“任意-存在”型

這類(lèi)問(wèn)題的表現(xiàn)形式有二：V%e，,玉2c2，等式成立.W&eA,*?eA，不等式成立.

這種“任意-存在”型問(wèn)題的常見(jiàn)題型及具體轉(zhuǎn)化策略為：

X

1、1G,出2G2，/(石)=S(2)。，(再)在A上值域Cg(%2)在。2上值域;

Vx；GD］,Jx2GZ)2，/(石)>g(%2)O/(不)在&上最小值>g(%2)在。2上最小值；

Vx；D,/(x)<g(x)oA<g(%2)4；

2、GDx,3^2G212/(石)在上最大值在上最大值

3、“存在-存在”型

這類(lèi)問(wèn)題的表現(xiàn)形式有二：er>,,3x2er>2,等式成立.e^,3^e￡>2,不等式成立.

總結(jié)：這種雙主元的“存在-存在”型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化策略為：

女］Ja)=g(%2)O/(石)在R上值域與g(X2)在。2上值域的交集非空

玉iGDX,X2eD2,/(x；)>g(x2)<^>/(芯)在D,上的最大值與g(X2)在2上的最大值

在優(yōu)化提升-實(shí)戰(zhàn)演練

2

1、(2020江蘇7)已知y=/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)XN0時(shí)，/(x)=x§，則/(一8)的值是.

【答案】-4

22

【解析】'=/(%)是奇函數(shù),當(dāng)％20時(shí),f(x)=9則/(一8)=_/(8)=.8、=一4.

421

2、(2016全國(guó)川)已知。=2§，0=4與，c=25§，則

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

412111

【解析】因?yàn)閍=2§=163'b=華=16與，c=25§，且塞函數(shù)'=戶在尺上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)>=16"

在H上單調(diào)遞增，所以Z?<a<c,故選A.

3、(2020浙江9)已知a,人eR且"wO,若(工一。)(]—〃)(％—2。—5)20在x20上恒成立，則

()

A.a<QB.a>QC.b<0D.b>0

【答案】c

【解析】當(dāng)a<0時(shí)，在xNO上，x—a?0恒成立，，只需滿足(x—?(龍—2a—恒成立，此