第2課時(shí)-計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

第2課時(shí)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用第六章§6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.進(jìn)一步理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).學(xué)習(xí)目標(biāo)一、組數(shù)問(wèn)題例1用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解完成這件事可分為三類(lèi)：第一類(lèi)是個(gè)位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類(lèi)數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48.第二類(lèi)是個(gè)位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾2個(gè)數(shù)字之后，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類(lèi)數(shù)的個(gè)數(shù)為3×4×3＝36.第三類(lèi)是個(gè)位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類(lèi).對(duì)以上三類(lèi)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得所求無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120(個(gè)).跟蹤訓(xùn)練1

(1)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A.24B.18C.12D.6√解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開(kāi)始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種偶奇奇的情況：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況.故選B.(2)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A.243B.252C.261D.279√解析0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè)).反思感悟常見(jiàn)的組數(shù)問(wèn)題及解題原則(1)常見(jiàn)的組數(shù)問(wèn)題：奇數(shù)、偶數(shù)、整除數(shù)、各數(shù)位上的和或數(shù)字間滿(mǎn)足某種特殊關(guān)系等.(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對(duì)數(shù)字的要求，針對(duì)這一要求通過(guò)分類(lèi)、分步進(jìn)行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對(duì)各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)、兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0、被3整除的數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和能被3整除等；最后先分類(lèi)再分步從特殊數(shù)字或特殊位置進(jìn)行組數(shù).二、抽取與分配問(wèn)題例2

(1)高三年級(jí)的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠(chǎng)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠(chǎng)甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠(chǎng)可自由選擇，則不同的分配方案有A.360種

B.420種

C.369種

D.396種√解析方法一(直接法)以甲工廠(chǎng)分配班級(jí)情況進(jìn)行分類(lèi)，共分為四類(lèi)：第一類(lèi)，四個(gè)班級(jí)都去甲工廠(chǎng)，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類(lèi)，有三個(gè)班級(jí)去甲工廠(chǎng)，剩下的一個(gè)班級(jí)去另外四個(gè)工廠(chǎng)，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類(lèi)，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠(chǎng)，另外兩個(gè)班級(jí)去其他四個(gè)工廠(chǎng)，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類(lèi)，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠(chǎng)，其他三個(gè)班級(jí)去另外四個(gè)工廠(chǎng)，其分配方案有4×4×4×4＝256(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).方法二(間接法)先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠(chǎng)的總數(shù)，再扣除甲工廠(chǎng)無(wú)人去的情況，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案.(2)甲、乙、丙三人各寫(xiě)一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)為_(kāi)____.解析不妨由甲先來(lái)取，共2種取法，而甲取到誰(shuí)的將由誰(shuí)在甲取后第二個(gè)來(lái)取，余下來(lái)的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有2×1×1＝2(種).2延伸探究若將“甲、乙、丙三人”改為“甲、乙、丙、丁四人”，其它條件不變，則有多少種不同的取法？解不妨由甲先來(lái)取，共3種取法，而甲取到誰(shuí)的將由誰(shuí)在甲取后第二個(gè)來(lái)取，共3種取法，余下來(lái)的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種).跟蹤訓(xùn)練2

(1)有4位老師在同一年級(jí)的4個(gè)班級(jí)中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是A.11B.10C.9D.8√解析方法一設(shè)四個(gè)班級(jí)分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時(shí)，剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)也各有3種不同的方法.這樣，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法.方法二讓a先選，可從B，C，D中選一個(gè)，即有3種選法.若選的是B，則b從剩下的3個(gè)班級(jí)中任選一個(gè)，也有3種選法，剩下的兩個(gè)老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同的安排方法.(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有A.280種

B.240種

C.180種 D.96種解析由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法.后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案.√反思感悟

選(抽)取與分配問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及其解法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹(shù)狀圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取的，則按分類(lèi)進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.三、涂色與種植問(wèn)題例3

(1)如圖所示，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個(gè)相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有____種不同的涂法.18解析①若A，C涂色相同，則按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3,2,1,2，則有3×2×1×2＝12(種)不同的涂法.②若A，C涂色不相同，則按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3,2,1,1，則有3×2×1×1＝6(種)不同的涂法.所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有12＋6＝18(種)不同的涂法.(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有____種不同的種植方法.解析方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二

(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有24－6＝18(種)不同的種植方法.18跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為_(kāi)_____.解析按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類(lèi)：第一類(lèi)，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法.第二類(lèi)，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法.420(2)如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有______種(以數(shù)字作答).72解析①當(dāng)使用4種顏色時(shí)，先著色第1區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個(gè)區(qū)域，即有1種顏色涂相對(duì)的2塊區(qū)域，有3×2×2＝12(種)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有4×12＝48(種).②當(dāng)使用3種顏色時(shí)，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色第1區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂4個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2,4區(qū)域，另一種顏色涂第3,5區(qū)域，有2種著色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得有4×3×2＝24(種).綜上，共有48＋24＝72(種).反思感悟

涂色與種植問(wèn)題的四個(gè)解答策略(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，并用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(2)以顏色(種植作物)為主分類(lèi)討論法，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線(xiàn)段”問(wèn)題，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(3)將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題.(4)對(duì)于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類(lèi)，這是常用的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).隨堂演練1.某乒乓球隊(duì)里有6名男隊(duì)員，5名女隊(duì)員，從中選取男、女隊(duì)員各1名組成混合雙打隊(duì)，則不同的組隊(duì)方法的種數(shù)為A.11B.30C.56D.651234√解析先選1名男隊(duì)員，有6種方法，再選1名女隊(duì)員，有5種方法，故共有6×5＝30(種)不同的組隊(duì)方法.12342.由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A.15B.12C.10D.5√解析分三類(lèi)，第一類(lèi)組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類(lèi)組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類(lèi)組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè).12343.甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有A.4種

B.5種

C.6種

D.12種√解析若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有3＋3＝6(種)不同的傳法.12344.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂1種顏色，要