2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例跟蹤訓練含解析新人教A版選修2-2

PAGE生活中的優(yōu)化問題舉例[A組學業(yè)達標]1．正三棱柱體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為()A.eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．2eq\r(3,V) D.eq\r(3,4V)解析：設底面邊長為a，高為h，則V＝Sh＝eq\f(\r(3),4)a2h，所以h＝eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(4\r(3)V,3a2)，則表面積為S＝3ah＋2×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)，則S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，令S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)＝0，可得eq\r(3)a＝eq\f(4\r(3)V,a2)，即a＝eq\r(3,4V).答案：D2．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高應為()A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm解析：設高為h，體積為V，則底面半徑r2＝202－h(huán)2＝400－h(huán)2，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)(400h－h(huán)3)，V′＝eq\f(π,3)(400－3h2)，令V′＝0，得h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．故選A.答案：A3．在半徑為r的半圓內作一內接梯形，使其下底邊為直徑，其他三邊為半圓的弦，則梯形面積最大時，梯形的上底為()A.eq\f(r,2) B．eq\f(\r(3),2)rC.eq\f(\r(3),3)r D．r解析：如圖所示為半圓及其內接梯形，設∠COB＝θ，則CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，所以S＝eq\f(2r1＋cosθ,2)，rsinθ＝r2sinθ(1＋cosθ)，所以S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)．令S′＝0，得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝eq\f(1,2).即當cosθ＝eq\f(1,2)時，梯形面積最大，此時上底CD＝2rcosθ＝r.故選D.答案：D4．某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為P元，銷量為Q，銷量Q(單位：件)與零售價P(單位：元)有如下關系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元解析：設毛利潤為L(P)，由題意知L(P)＝PQ－20Q＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.依據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．答案：D5．某工廠要建立一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3mA．900元 B．840元C．818元 D．816元解析：設箱底一邊的長度為xm，箱子的總造價為l元，依據(jù)題意，得l＝15×eq\f(48,3)＋12×2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(48,x)))＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))(x＞0)，l′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．當0＜x＜4時，l′＜0；當x＞4時，l′＞0.故當x＝4時，l有最小值816.因此，當箱底是邊長為4m的正方形時，箱子的總造價最低，最低總造價為816元．故選D.答案：D6．要做一個底面為長方形的帶蓋的盒子，其體積為72cm3，其底面兩鄰邊長之比為1∶2，則它的長為________cm，寬為________cm，高為________cm時，可使表面積最?。馕觯涸O底面兩鄰邊長分別為xcm,2xcm，則高h＝eq\f(72,2x2)＝eq\f(36,x2)(cm)．所以表面積S＝4x2＋2(x＋2x)·eq\f(36,x2)(x＞0)．所以S′＝8x－eq\f(216,x2)＝eq\f(8x3－27,x2).令S′＝0，解得x＝3，則S在(0，＋∞)內的唯一可能的極值點為x＝3，所以當x＝3時S取極值，且是S的最小值．答案：6347.一個帳篷，它下部的形態(tài)是高為1m的正六棱柱，上部的形態(tài)是側棱長為3m的正六棱錐(如圖所示)．當帳篷的頂點O究竟面中心O1的距離為________時，帳篷的體積最大．解析：設OO1為xm(1＜x＜4)，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3.則由題設可得正六棱錐底面邊長為eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)m，于是底面正六邊形的面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帳篷的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)×(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,3)＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，則V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合題意，舍去)．當1＜x＜2時，V′＞0；當2＜x＜4時，V′＜0.所以當x＝2時，V最大．答案：2m8．一艘輪船在航行時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知速度為每小時10千米時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每千米的費用總和最??？解析：設輪船速度為x(x＞0)千米/時的燃料費用為Q元，則Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝eq\f(3,500).所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以總費用y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x).y′＝eq\f(6x,500)－eq\f(96,x2)，令y′＝0，得x＝20.所以當x∈(0,20)時，y′＜0，此時函數(shù)單調遞減，當x∈(20，＋∞)時，y′＞0，此時函數(shù)單調遞增．所以當x＝20時，y取得最小值．所以此輪船以20千米/時的速度行駛每千米的費用總和最小．9．某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入肯定的資金用于廣告促銷．經調查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加的銷售額為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該商場將當年的廣告費限制在三百萬元以內，則應投入多少廣告費，才能使公司由廣告費而產生的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入費用)(2)現(xiàn)在該商場打算投入三百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預算，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)，請設計一個資金安排方案，使該商場由這兩項共同產生的收益最大．解析：(1)設投入廣告費t(百萬元)后由此增加的收益為f(t)(百萬元)，則f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以當t＝2時，f(t)max＝4，即當商場投入兩百萬元廣告費時，才能使商場由廣告費而產生的收益最大．(2)設用于技術改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的費用為(3－x)(百萬元)，則由此兩項所增加的收益為g(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)．對g(x)求導，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．當0＜x＜2時，g′(x)＞0，即g(x)在[0,2)上單調遞增；當2＜x＜3時，g′(x)＜0，即g(x)在(2,3]上單調遞減，所以當x＝2時，g(x)max＝g(2)＝eq\f(25,3).故在三百萬資金中，兩百萬元用于技術改造，一百萬元用于廣告促銷，這樣商場由此所增加的收益最大，最大收益為eq\f(25,3)百萬元．[B組實力提升]10．某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本增加100元，已知總收益R與年產量x的關系式R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x＞400，))則總利潤最大時，每年生產的產品數(shù)量是()A．100 B．150C．200 D．300解析：由題意，總成本為C＝20000＋100x，所以總利潤為P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x＞400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x＞400，))令P′＝0，當0≤x≤400時，得x＝300；當x＞400時，P′＜0恒成立，易知當x＝300時，總利潤最大．答案：D11．某公司在甲乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A．45.6萬元 B．43.6萬元C．43.2萬元 D．42.15萬元解析：設甲地銷售x輛，則乙地銷售(15－x)輛．總利潤L＝L1＋L2＝－0.15x2＋3.06x＋30，x∈[0,15]．L′(x)＝－0.3x＋3.06，令L′(x)＝0，解得x＝10.2.所以當x＝10時，L有最大值45.6萬元．答案：A12．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長改變時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．解析：連接OB，連接OD，交BC于點G，由題意得，OD⊥BC，OG＝eq\f(\r(3),6)BC，設OG＝x，則BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱錐的高h＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝2eq\r(3)x·3x·eq\f(1,2)＝3eq\r(3)x2，則V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5)，令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)＞0，即x4－2x3＜0，x＜2，則f(x)≤f(2)＝80，則V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15)，所以體積最大值為4eq\r(15)cm3.答案：4eq\r(15)cm313．將邊長為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某一邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝eq\f(梯形周長的平方,梯形的面積)，則s的最小值是________．解析：如圖所示，設DE＝x，則梯形的周長為：3－x，梯形的面積為：eq\f(1,2)(x＋1)·eq\f(\r(3),2)(1－x)＝eq\f(\r(3),4)(1－x2)，所以s＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)1－x2)＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，x∈(0,1)，設h(x)＝eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，則h′(x)＝eq\f(－6x2＋20x－6,1－x22).令h′(x)＝0，得：x＝eq\f(1,3)或x＝3(舍)．所以h(x)min＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝8，所以smin＝eq\f(4\r(3),3)×8＝eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)14．如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為200m2的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16m，假如池外周壁建立單價為每米400元，中間兩條隔墻建立單價為每米248元，池底建立單價為每平方米80元(池壁厚度忽視不計，且池無蓋)．(1)寫出總造價y(元)與污水處理池長x(m)的函數(shù)關系式，并指出其定義域；(2)污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求出最低總造價．解析：(1)設長為xm，則寬為eq\f(200,x)m.據(jù)題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤16，,0＜\f(200,x)≤16，))解得eq\f(25,2)≤x≤16，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(200,x)))×400＋eq\f(400,x)×248＋16000＝800x＋eq\f(259200,x)＋16000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,2)≤x≤16)).(2)由y′＝800－eq\f(259200,x2)＝0，解得x＝18.當x∈(0,18)時，函數(shù)y為減函數(shù)；當x∈(18，＋∞)時，函數(shù)y為增函數(shù)．又因為eq\f(25,2)≤x≤16，所以當x＝16時，ymin＝45000，eq\f(200,x)＝12.5.所以當且僅當長為16m、寬