人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：7 4 1　二項(xiàng)分布

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.1二項(xiàng)分布課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實(shí)例了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征.2.能用二項(xiàng)分布解決簡單的實(shí)際問題.通過學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布的概念及研究其數(shù)字特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).自主梳理1.n重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).2.n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.3.二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系(1)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量都只有兩個(gè)可能結(jié)果.(2)兩點(diǎn)分布是n＝1時(shí)的二項(xiàng)分布.4.一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響.(√)(2)在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率可以不同.(×)〖提示〗在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率均相同.(3)如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(√)(4)兩點(diǎn)分布就是二項(xiàng)分布.(√)〖提示〗兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)中，當(dāng)n＝1時(shí)，二項(xiàng)分布便是兩點(diǎn)分布，也就是說二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的一般形式.2.某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率都為eq\f(4,5)，那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()A.eq\f(12,125) B.eq\f(48,125)C.eq\f(16,125) D.eq\f(96,125)〖答案〗B〖解析〗播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝eq\f(48,125).3.某電子管正品率為eq\f(3,4)，次品率為eq\f(1,4)，現(xiàn)對該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第X次首次測到正品，則P(X＝3)等于()A.Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4) B.Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)〖答案〗C〖解析〗P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4).4.已知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，則P(X＝4)＝__________.〖答案〗eq\f(20,243)〖解析〗P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(20,243).題型一n重伯努利試驗(yàn)的判斷〖例1〗判斷下列試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn).(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球.解(1)由于試驗(yàn)的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗(yàn).(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗(yàn).(3)每次抽取時(shí)，球的個(gè)數(shù)不一樣多，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗(yàn).思維升華n重伯努利試驗(yàn)的判斷依據(jù)(1)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行.(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，互不影響.〖訓(xùn)練1〗下列事件：①運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo).其中是n重伯努利試驗(yàn)的是()A.① B.②C.③ D.④〖答案〗D〖解析〗①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨(dú)立事件；④是n重伯努利試驗(yàn).題型二n重伯努利試驗(yàn)概率的求法〖例2〗某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算：(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)(1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率.解(1)記A＝“預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確”，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次伯努利試驗(yàn).“恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為P＝Ceq\o\al(0,5)×0.25＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672.所以所求概率為1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.思維升華n重伯努利試驗(yàn)概率求解的關(guān)注點(diǎn)(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.(2)運(yùn)用n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求概率時(shí)，首先判斷問題中涉及的試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)，判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，并且每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種(即要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，在任何一次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率都相等，然后用相關(guān)公式求概率.〖訓(xùn)練2〗某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率都為eq\f(3,5)，且每次射擊的結(jié)果互不影響，已知射手射擊了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率；(3)其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有擊中目標(biāo)的概率.解(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也就是在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又因?yàn)楦鞔紊鋼舻慕Y(jié)果互不影響，故所求概率為P＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(3,5)＝eq\f(108,3125).(2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)，符合n重伯努利試驗(yàn)概率模型.故所求概率為P＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625).(3)該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有擊中目標(biāo)，應(yīng)用排列組合知識(shí)，把3次連續(xù)擊中目標(biāo)看成一個(gè)整體可得共有Ceq\o\al(1,3)種情況.故所求概率為P＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(324,3125).題型三二項(xiàng)分布的均值與方差〖例3〗為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，均值E(X)為3，標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(D（X）)為eq\f(\r(6),2).(1)求n和p的值，并寫出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率.解由題意知，X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n.(1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，從而n＝6，p＝eq\f(1,2).X的分布列為X0123456Peq\f(1,64)eq\f(3,32)eq\f(15,64)eq\f(5,16)eq\f(15,64)eq\f(3,32)eq\f(1,64)(2)記A＝“需要補(bǔ)種沙柳”，則P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝eq\f(1,64)＋eq\f(3,32)＋eq\f(15,64)＋eq\f(5,16)＝eq\f(21,32)，或P(A)＝1－P(X>3)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,64)＋\f(3,32)＋\f(1,64)))＝eq\f(21,32)，所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為eq\f(21,32).思維升華解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量X服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解.若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).〖訓(xùn)練3〗某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)求從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)若從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差.解(1)用Y表示抽得的正品數(shù)，則Y＝0，1.Y服從兩點(diǎn)分布，且P(Y＝0)＝0.02，P(Y＝1)＝0.98，所以D(Y)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品數(shù)，則