人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案2：§8 2　一元線性回歸模型及其應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一一元線性回歸模型稱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為或，x稱為或，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；e是與之間的隨機(jī)誤差，如果e＝，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述．知識(shí)點(diǎn)二最小二乘法將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝.思考1經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點(diǎn)嗎？思考2點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上嗎？知識(shí)點(diǎn)三殘差與殘差分析1．殘差對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為，減去稱為殘差．2．殘差分析是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．知識(shí)點(diǎn)四對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以，則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系．2．殘差平方和法殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越，模型擬合效果越好，R2越，模型擬合效果越差．思考利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？題型探究探究一求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額Y(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568Y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程．反思感悟求經(jīng)驗(yàn)回歸方程可分如下四步來完成(1)列：列表表示xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(2)算：計(jì)算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代：代入公式計(jì)算，的值．(4)寫：寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．跟蹤訓(xùn)練1.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用Y(萬元)，有如下資料：使用年限x23456維修費(fèi)用Y2.23.85.56.57.0由散點(diǎn)圖(圖略)知Y與x是線性相關(guān)的，試求(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的eq\o(a,\s\up6(^))；(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？探究二線性回歸分析例2.一臺(tái)機(jī)器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某種機(jī)械零件有一些會(huì)有缺陷，據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，每小時(shí)生產(chǎn)的有缺陷的零件數(shù)隨機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度而變化．下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128生產(chǎn)的有缺陷的零件數(shù)y(件/小時(shí))11985(1)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)如果有，求出y對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x；(3)若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個(gè)，則機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(2)殘差平方和法：殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好．(3)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好．跟蹤訓(xùn)練2.寒假中，某同學(xué)為組織一次愛心捐款，于2020年2月1日在網(wǎng)上給網(wǎng)友發(fā)了張?zhí)?，并?hào)召網(wǎng)友轉(zhuǎn)發(fā)，下表是發(fā)帖后一段時(shí)間的收到帖子的人數(shù)統(tǒng)計(jì)天數(shù)x1234567人數(shù)y711212466115325(1)作出散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型；(3)如果此人打算在2020年2月12日(即帖子傳播時(shí)間共10天)進(jìn)行募捐活動(dòng)，根據(jù)上述回歸模型，估計(jì)可去多少人．探究三非線性回歸例3.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重Y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重Y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立Y對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)如果體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為82kg的在校男生的體重是否正常？反思感悟非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3.在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124Y1612521試建立Y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)一元線性回歸模型．(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法．(3)對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤．當(dāng)堂檢測(cè)1．對(duì)于指數(shù)曲線y＝aebx方程，令u＝lny，c＝lna經(jīng)過非線性化回歸分析之后，可以轉(zhuǎn)化成的形式為()A．u＝c＋bx B．u＝b＋cxC．y＝b＋cx D．y＝c＋bx2．指數(shù)曲線y＝aebx的圖像可以是()3．x，y的取值如下表：x0.20.61.01.21.41.61.82.02.2y0.040.3611.41.92.53.23.984.82則x、y之間的關(guān)系可以選用函數(shù)________進(jìn)行擬合．4．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？5．某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日溫差x(℃)101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616(1)若選取的是3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)若由線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程是可靠的，試問(1)中所得的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否可靠？▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一一元線性回歸模型因變量響應(yīng)變量自變量解釋變量abYbx＋a0知識(shí)點(diǎn)二最小二乘法eq\x\to(y)－eq\x\to(x)思考1〖答案〗不一定．思考2〖答案〗在．知識(shí)點(diǎn)三殘差與殘差分析1．殘差觀測(cè)值預(yù)測(cè)值觀測(cè)值預(yù)測(cè)值2．殘差分析殘差殘差知識(shí)點(diǎn)四對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)3．R2法大小思考〖答案〗不一定，他只是真實(shí)值的一個(gè)預(yù)測(cè)估計(jì)值．題型探究探究一求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1.解：(1)散點(diǎn)圖如圖．(2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．序號(hào)xyx2xy1230460244016160356025300465036300587064560合計(jì)252501451380于是可得：x＝5，y＝50.＝－＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程是＝6.5x＋17.5.跟蹤訓(xùn)練1.解：(1)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5，探究二線性回歸分析例2.解：(1)由表中數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式得：r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r((\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)(\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2)))≈0.995，因?yàn)閞＞0.95，接近于1，所以y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)設(shè)y與x之間的線性回歸模型為：y＝bx＋a＋ε，由表中數(shù)據(jù)利用科學(xué)計(jì)算器得a，b的估計(jì)值分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)≈0.7286，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8575，所以y對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7286x－0.8575.(3)由題意知y≤10，即0.7286x－0.8575≤10，解得x≤14.9019≈15.即要使有缺陷的零件最多有10個(gè)，轉(zhuǎn)速應(yīng)不超過15轉(zhuǎn)/秒．跟蹤訓(xùn)練2.解：(1)散點(diǎn)圖略．從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，同時(shí)可發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一個(gè)指數(shù)函數(shù)曲線y＝kemx的周圍，其中k、m是參數(shù)．(2)對(duì)y＝kemx兩邊取對(duì)數(shù)，把指數(shù)關(guān)系變成線性關(guān)系．令z＝lny，則變換后的樣本點(diǎn)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnk，b＝m)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立x與y之間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為天數(shù)x1234567人數(shù)y1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為z＝0.620x＋1.133，∴y＝e0.620x＋1.133.(3)截止到2013年2月12日，x＝10，此時(shí)y＝e0.620×10＋∴估計(jì)可去1530人.探究三非線性回歸例3.解：(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示．由圖可以看出，樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的附近，其中c1，c2為待定參數(shù)．于是令z＝lny，得到x與z的數(shù)據(jù)如下表：x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01作出散點(diǎn)圖如圖所示．由表中數(shù)據(jù)可得z對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程＝0.693＋0.020x，則＝e0.693＋0.020x.故Y對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝e0.693＋0.020x.(2)當(dāng)x＝175時(shí)，預(yù)測(cè)平均體重為＝e0.693＋0.020×175≈66.22.因?yàn)?6.22×1.2≈79.46＜82，所以這個(gè)男生偏胖．跟蹤訓(xùn)練3.解：由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如下：根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)141664162562212244144315512540.5210.25450.2510