專題12.3 全等三角形的判定（SSS與SAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.3三角形全等的判定（SSS與SAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——邊邊邊（SSS）（1）基本事實(shí)：三條邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.（2）書寫格式：如圖，在△ABC和△中，（3）書寫強(qiáng)調(diào)：在書寫兩個(gè)三角形全等時(shí)的條件“邊角邊”時(shí)，要按照邊角邊的順序來書寫，即要把夾角寫在中間，以突出兩邊及其夾角分別相等；在列舉三角形全等時(shí)，一般把同一個(gè)三角形的三個(gè)條件放在等號(hào)的同一側(cè)，并用大括號(hào)將其括起來【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——邊角邊（SAS）（1）基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.（2）書寫格式：如圖，在△ABC和△中，（3）重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.【知識(shí)點(diǎn)三】找等角和等邊常用途徑（1）找等角的常用途徑：①公共角相等；②對頂角相等；③等角加（減）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（補(bǔ)）角相等；⑤平行線的性質(zhì)得到相相等等.（2）找等角的常用途徑：①公共邊相等；②對頂角相等；③等邊加（減）等邊，其和（差）相等；④由中線得到的線段相等等等.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用SSS證明三角形全等【例1】如圖，.求證：（1）；（2）【答案】（1）見解析；（2）理由見解析.【分析】（1）證明三角形即可解題,（2）利用全等得到∠A=∠D,即可解題.（1）證明：，即在和中，（2）理由如下：由（1）得：（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和平行線的判定,屬于簡單題，熟悉全等三角形的判定方法和平行線的判定定理是解題關(guān)鍵.【變式1】如圖，AB=CD，BD=AC，用三角形全等的判定“SSS”可證明≌或≌．【答案】△ABC△DCB△ABD△DCA解答：△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，理由是：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS），同理△ABD≌△DCA，故答案為△ABC，△DCB，△ABD，△DCA．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，已知，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，用尺規(guī)按如下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以任意長為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交前面的弧于點(diǎn)；④連接并延長交于點(diǎn)．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查尺規(guī)作角，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角和，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，則，則，根據(jù)，三角形的外角和，即可．解：由作圖可知，在和中，，∴，∴，即，∴．故選：D．【題型2】用SSS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值【例2】（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，交于點(diǎn)．

（1）線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．（2）與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．【答案】(1)，見解析(2)，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等角對等邊、三角形的外角性質(zhì)：（1）先通過證明，得，然后結(jié)合等角對等邊，即可作答．（2）根據(jù)以及三角形的外角性質(zhì)，即可作答．（1）解：，理由如下：∵∴∴；（2）解：，理由如下：由（1）知∵．【變式1】（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，，，．若，則．

【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，由題意可證，可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得．證明：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，

在和中，，，，，,，．故答案為：．【變式2】（22-23八年級(jí)上·新疆吐魯番·階段練習(xí)）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)證明，得出即可得出答案．解：∵在和中，∴，∴．故選：A．【題型3】用SAS證明三角形全等【例3】（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖，，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使．（1）你添加的條件是______（只需添加一個(gè)條件）；（2）利用（1）中添加的條件，求證：．【答案】(1)（答案不唯一）(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義．解題的關(guān)鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）由題意得到，推出，，再根據(jù)判定定理得添加一個(gè)條件為，即可使；（2）根據(jù)三角形全等的判定定理證明即可．（1）解：∵，∴，∴，，由得添加一個(gè)條件為，故答案為：（答案不唯一）；（2）證明：，，，即，在和中，，．【變式1】（22-23八年級(jí)上·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，，，將繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接AE，若，則的面積是．【答案】3【分析】由旋轉(zhuǎn)可得，可求得，可求得的面積．解：如圖，過D作于點(diǎn)H，過E作交的延長線于F，則四邊形是矩形，，∴，∴∴，∴，且，∴，故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)圖形是全等圖形是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點(diǎn)，且，連接，下列說法：①；②和面積相等；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，全等三角形對應(yīng)角相等可得，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②正確．解：∵是的中線，∴，在和中，，∴，故④正確∴，故①正確，∵，∴，故⑤正確，∴，故③正確，∵，點(diǎn)A到的距離相等，∴和面積相等，故②正確，綜上所述，正確的有5個(gè)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【題型4】用SAS證明三角形全等與三角形性質(zhì)綜合【例4】（23-24七年級(jí)下·遼寧阜新·期中）已知，，是過點(diǎn)A的直線，B、E兩點(diǎn)在直線上，，．（1）如圖1，試說明：①；②；（2）當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)，證明見解析【分析】本題考查了幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)已知條件得到，根據(jù)全等三角形的判定即可證明；②根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角的和差得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．（1）解：①證明：∵，∴，即，∵，∴；②∵，∴，∴；（2）猜想：，證明：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴【變式1】（2024·重慶沙坪壩·一模）如圖，D，E是外兩點(diǎn)，連接，，有，，．連接，交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為．【答案】/140度【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．設(shè)交于點(diǎn)G，由，推導(dǎo)出，而，，即可根據(jù)“”證明，得，可求得，則，于是得到問題的答案．解：設(shè)交于點(diǎn)G，，，在和中，，，，，，故答案為：．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，把兩個(gè)角的直角三角板放在一起，點(diǎn)B在上，A、C、D三點(diǎn)在一條直線上，連接延長線交于點(diǎn)F．若，則的面積為（）A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先通過和都是等腰直角三角形，得出再證明，結(jié)合面積公式代入數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．解：∵和都是等腰直角三角形，，∴在和中，，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴故選：B．【題型5】通過用SSS和SAS證明三角形全等進(jìn)行求值【例5】（22-23八年級(jí)上·陜西寶雞·期末）如圖，是外一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，，，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，連接，證明，可得，再證明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：．【變式1】（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長度為．

【答案】3【分析】證明，得到，即可得解．解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中：，∴，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，，若連接、相交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】本題考查三角形全等的判定方法，首先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再證明，．解題的關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．解：在和中，，，，在和中，，在和中，，綜上，圖中全等三角形共有3對，故選：C．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．求證：．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．利用“”證明，即可解決問題．證明：，，即，在和中，，．【例2】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練地掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.（1）先證明，再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；（2）證明，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論.（1）證明：∵∴，即∵，∴（2）∵，，∴，∵，∴2、拓展延伸【例1】如圖，AD＝CB，E，F(xiàn)是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且有DE＝BF（1）若E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)如圖①所示的位置，且有AF＝CE，求證：△ADE≌△CBF；（2）若E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)如圖②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF還成立嗎？為什么？（3）若E，F(xiàn)不重合，AD和CB平行嗎？說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）成立，證明詳見解析；（3）AD與CB不一定平行，理由詳見解析.【分析】（1）根據(jù)AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可證明△ADE≌△CBF；（2）根據(jù)AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可證明△ADE≌△CBF；（3）根據(jù)已知兩個(gè)條件，不能判定△ADE≌△CBF，不能確定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.證明：（1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF.（2）成立.理由如下：∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF.（3）AD與CB不一定平行，理由如下：∵只給了兩組對應(yīng)相等的邊，∴不能判定△ADE≌△CBF，∴不能判定∠A與∠C的大小關(guān)系，∴AD與CB不一定平行，【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角【例2】（22-23八年級(jí)上·廣東潮州·階段練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于．（1）當(dāng)