2024−2025學(xué)年吉大附中實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷附答案解析

?2025學(xué)年吉大附中實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)則（

）A．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱 B．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱C．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱 D．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱2．向量，若，則（

）A．B．C． D．3．直三棱柱中，若，則（

）A． B．C． D．4．下列可使非零向量構(gòu)成空間的一組基底的條件是（

）A．兩兩垂直 B．C． D．5．已知，則直線恒過(guò)定點(diǎn)（

）A． B．C． D．6．已知：，：，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．外離 C．相交 D．內(nèi)含7．已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過(guò)的圓心且與交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知圓和圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱B．圓和圓的公共弦長(zhǎng)為C．的取值范圍為D．若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為10．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成組合，把這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成空間幾何體．若圖中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點(diǎn)到直線的距離是C． D．異面直線與所成角的正切值為411．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．O為空間任意一點(diǎn)，若，若ABCP四點(diǎn)共面，則．13．已知點(diǎn)和點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．14．已知點(diǎn)為圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別交軸于兩點(diǎn)，則，．四、解答題（本大題共5小題）15．分別求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為；(2)橢圓與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)已知直線過(guò)點(diǎn)且直線截圓所得的弦長(zhǎng)為2，求直線的一般式方程．17．如圖，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，平面，為上一點(diǎn)，且，連接、、.(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知圓與圓內(nèi)切．(1)求的值．(2)直線與圓交于兩點(diǎn)，若，求的值；(3)過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與圓相交，所得的弦為和，若，求實(shí)數(shù)的最大值．19．已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.(1)求的長(zhǎng)；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(3)若為上一點(diǎn)，且滿足，求.參考答案1．【答案】B【詳解】由題得點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,故選：B.2．【答案】C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，由題意可得，所以則.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程組，解方程組即可得到答案.3．【答案】D【詳解】.故選：D．4．【答案】A【詳解】由基底定義可知只有非零向量不共面時(shí)才能構(gòu)成空間中的一組基底.對(duì)于A，因?yàn)榉橇阆蛄績(jī)蓛纱怪?，所以非零向量不共面，可?gòu)成空間的一組基底，故A正確；對(duì)于B，，則共線，由向量特性可知空間中任意兩個(gè)向量是共面的，所以與共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由共面定理可知非零向量共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D錯(cuò)誤.故選：A.5．【答案】A【分析】由題意可得，可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，所以，由，可得，所以，?dāng)時(shí)，所以對(duì)為任意實(shí)數(shù)均成立,故直線過(guò)定點(diǎn).故選A.6．【答案】C【詳解】因?yàn)榭苫癁?則，半徑，因?yàn)榭苫癁椋瑒t，半徑，則，因?yàn)椋詢蓤A相交.故選：C.7．【答案】A【詳解】，即，則圓心，半徑為.橢圓方程，,則，則圓心為橢圓的焦點(diǎn)，由題意的圓的直徑，且如圖，連接，由題意知為中點(diǎn)，則，可得.點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，，由，得.故選：A.8．【答案】D【詳解】對(duì)于A，和圓，圓心和半徑分別是，則兩圓心中點(diǎn)為，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線是的中垂線，但兩圓心中點(diǎn)不在直線上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，到直線的距離，故公共弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心距為，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大為，故的取值范圍為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，

則解得即關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)最小，，即的最小值為，D正確.故選：D.9．【答案】ACD【詳解】ABC選項(xiàng)，由題意得，故且，AC正確，B錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在方向上的投影向量為，D正確.故選：ACD10．【答案】ABC【詳解】依題意得，故A正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，對(duì)于BC，，所以，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，故BC正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以異面直線與所成角的正切值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．【答案】ABD【詳解】根據(jù)題意，方程，即，表示圓心為，半徑為的圓，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，設(shè)，即，直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得則的最大值為，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，其幾何意義為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為，故的最大值為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，作出圖象為正方形，作出圓，如圖，由圖象可知，正方形與圓有公共點(diǎn)A時(shí)，有最小值，即的最小值為，故D正確；故選：ABD12．【答案】/0.125【詳解】空間向量共面的基本定理的推論：，且、、不共線，若、、、四點(diǎn)共面，則，因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，若，且、、、四點(diǎn)共面，所以，，解得.故答案為：.13．【答案】【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，所以的斜率，的斜率，由題意可得，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：14．【答案】2,【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，則為的角平分線，所以．設(shè)，則，所以，則，即，解得，則，所以點(diǎn)與重合，此時(shí)，可得，所以．故答案為：；15．【答案】(1)或；(2).【詳解】（1）由題得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）橢圓滿足，故該橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)闄E圓與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)橢圓方程為，且，解得，故，解得（舍去）或，故.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意，則的中點(diǎn)為，且，故線段中垂線的斜率為，則中垂線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心，則半徑，故圓的方程為.（2）

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為，由半徑，則直線截圓所得的弦長(zhǎng)，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，化為一般式得，由直線截圓所得的弦長(zhǎng)，半徑，半弦長(zhǎng)為.則圓心到直線的距離，又圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得，故直線方程為，化為一般式方程為：.綜上所述，直線的方程為或.17．【答案】(1)證明見詳解；(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）作，垂足為，根據(jù)平行四邊形和矩形的判定定理，結(jié)合（1）的結(jié)論，利用勾股定理，因此可以以，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫制矫?，所?又，且，所以平面.因?yàn)?，所以平?（2）作，垂足為.則.又，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，又四邊形為等腰梯形，且，，所以.由（1）知平面，所以.又，所以.在中，.在中，.由上可知，能以，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得可取.

設(shè)平面的法向量為，由，得，可取.

因此，.依題意可知，平面與平面的夾角的余弦值為.18．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）由題意得O0,0，，故圓心，圓E的半徑為，因?yàn)?，故O0,0在圓E上，所以圓O的半徑，且，故.（2）由（1）知，聯(lián)立，設(shè)，則恒成立，且，所以，所以，解得.（3）如圖，因?yàn)橹本€和直線傾斜角互補(bǔ)，

所以當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的斜率也不存在，此時(shí)，，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的斜率為0，不滿足傾斜角互補(bǔ)，當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線即，圓心O到直線的距離為，故，由直線方程得直線的方程為即，同理得，則，當(dāng)，，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以時(shí)，故，所以，當(dāng)，，由上知時(shí)，故，所以.綜上，.19．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先說(shuō)明為直線與所成的角，即，設(shè)，根據(jù)所給定義得到方程，解得即可；（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，為二面角的平面角，由銳角三角函數(shù)求出，設(shè)二面角的平面角為，則，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（3）依題意可得平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，即可證明平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接，即可得到四邊形為平行四邊形，求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦?，底面，所以，，又底面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為直線與所成的角，即，設(shè)，則，，在中，又，所以，解得（負(fù)值已舍去），所以；（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌?，底面，所以，?/p>