2023年中考數(shù)學一輪復(fù)習專練：圓（解析版全國）

專題21圓

一、垂徑定理及其應(yīng)用

【高頻考點精講】

1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

2、垂徑定理的推論

(1)平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

(3)平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

3、垂徑定理的應(yīng)用：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。

【熱點題型精練】

1.(2022?瀘州中考)如圖，43是的直徑，0。垂直于弦AC于點￡>,。。的延長線交O。于點E.若4。=4近,

DE=4,則BC的長是()

A.1B.V2C.2D.4

解：是。。的直徑，

/.ZC=90°,

'：OD±AC,

...點。是AC的中點，

是△ABC的中位線，

AOD//BC,且0。=泓，

設(shè)0。=%,貝!jBC=2x,

?.?。舊=4,

：.AB=2OE=S-2x,

在RtZXABC中，由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,

：.(8-2無)2=(4V2)2+(2x)2,

解得尤=L

**?5C=2x=2.

答案：C.

2.（2022?云南中考）如圖,已知48是。。的直徑，CD是。0的弦，ABVCD,垂足為E.若AB=26,CD=24,

則/。CE的余弦值為（)

712713

A.—B.C.—D.

13131212

解：...AB是。。的直徑,AB±CD,

1

：.CE=DE=芳￡>=12,

?：AB=26,

/.OC=13.

CF12

cosZOCE=瓦=森.

答案：B.

3.（2022?荊門中考）如圖,CD是圓。的弦，直徑ABLCD,垂足為E,若A8=12,BE=3,則四邊形AC8。的

面積為（）

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

解：如圖，連接OC,

\'AB=n,BE=3,

：.OB=OC=6,OE=3,

'：AB±CD,

在RtZ\COE中，EC=VOC2-OF2=736-9=3V3,

:.CD=2CE=6?

[1

四邊形ACBD的面積=^AB?CD=方x12x6^/3=36?

答案：A.

4.（2022?鄂州中考）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件

槽，其兩個底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，

該球的大小就符合要求.圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知的直徑就是鐵球的直徑，AB

是O。的弦，。￡＞切0。于點石,4。，。、2。，8,若8=16。加,4。=3。=4。小則這種鐵球的直徑為（）

(1)

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

解：如圖，連接?！?交AB于點R連接OA,

\'AC±CD,BDLCD,

J.AC//BD,

'：AC=BD=4cm,

四邊形ACDB是平行四邊形，

四邊形AC￡)B是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=l6cm,

：C￡＞切0。于點E,

：.OE.LCD,

C.OELAB,

四邊形￡尸2。是矩形，AF=|AB=1xl6=8(cm),

EF=BD=4cm,

設(shè)。。的半徑為-cm,貝!J=OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtZ\AO/中，OR2=A尸2+o產(chǎn)，

/.^=82+(”4)2,

解得：r=10,

，這種鐵球的直徑為20cm,

答案：C.

5.（2022?自貢中考）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦A8長20厘米，弓形高CD為2

厘米，則鏡面半徑為26厘米.

D

解：如圖，點。是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC,則點C,點。，點。三點共線,

D

b

由題意可得：OC_L48,AC=^AB=10（厘米），

設(shè)鏡面半徑為x厘米，

由題意可得：102+（x-2）之，

**?x=26,

鏡面半徑為26厘米，

答案：26.

6.（2022?牡丹江中考）。。的直徑CD=10,AB是。。的弦，ABLCD,垂足為M,OM-.0c=3：5,則AC的長

為4瓶或2小.

解：連接。1,

設(shè)OC=5x,OM=?>x,則。M=2x,

VCD=10,

：.OM=3,OA=OC=5,

'CABLCD,

：.AM=BM^

在Rtz\OAM中，OA=5,

AM=VOX2—OM2=V52-32=4,

當如圖1時，CM=OC+OM=5+3=8,

在RtaACM中，AC=y/AM2+CM2=V42+82=4V5；

當如圖2時，CAf=OC-0M=5-3=2,

在RtAACM中，AC=y/AM2+MC2=V42+22=2V5.

綜上所述，AC的長為4A片或2曲.

答案：4遍或2時.

7.（2022?長沙中考）如圖，A、B、C是。。上的點，0CLA8,垂足為點。，且。為。C的中點，若04=7,則

解：'：OA=OC=7,且。為OC的中點，

：.OD=CD,

,：OCLAB,

：.ZODA=ZCDB^90°,AD=BD,

在△40。和△BCO中，

0D=CD

Z.AD0=4BDC

AD=BD

：./\A0D^/\BCD（SAS）,

：.BC=OA=1.

答案：7.

8.（2022?荊州中考）如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高A8=20cm,底面直徑8C=12cm球的最

高點到瓶底面的距離為32cm,則球的半徑為7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不計）.

解：如圖，設(shè)球心為。，過。作OM_LA￡＞于連接。4,

由題意得：AD=12cm,OM=32-20-r=(12-r)(cm),

由垂徑定理得：AM—DM—^AD=6(cm),

在RtZ\。4M中，由勾股定理得：AM2+OM2=OA2,

即62+(12-r)2=r,

解得：r=7.5,

即球的半徑為7.5cm,

答案：7.5.

9.(2022?六盤水中考)群舸江“余月郎山，西陵晚渡”的風景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上有個“齊天

大圣”守護洞口的傳說.真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，如圖是月亮洞的截面示

意圖.

(1)科考隊測量出月亮洞的洞寬CD約是28加，洞高48約是12根，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮

洞像半個月亮，求半徑OC的長(結(jié)果精確到0.1加)；

(2)若/COO=162。，點/在前上，求/CM。的度數(shù)，并用數(shù)學知識解釋為什么“齊天大圣”點M在洞頂

加上巡視時總能看清洞口CD的情況.

解：(1)設(shè)OA=OC=Rm,

VOAXCD,

1

CB=BD=^CD=14m,

在RtACOB中，OC2=OB2+CB2,

/./?2=142+(R-12)2,

0C=-g-?14.2m.

(2)補全。0,在CO的下方取一點N,連接CN,DN,CM,DM,

???NN=*CO￡>=81°,

???NCMO+NN=180°,

：.ZCMD=99°.

?：ZCMD=99°不變，是定值，

“齊天大圣”點M在洞頂加上巡視時總能看清洞口C。的情況.

二、圓周角定理

【高頻考點精講】

1、圓周角定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

注意：圓周角必須同時滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩條邊都與圓相交。

2、圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

推論：半圓（或直徑）所對圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

3、解題技巧：解決圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角。

【熱點題型精練】

10.（2022?營口中考）如圖，點A,B,C,。在上，AC±BC,AC=4,ZADC=30°,則BC的長為（）

A.4V3B.8C.4V2D.4

解：連接AB,如圖所示,

/.ZACB=90°.

VZADC=30°,

Z.ZABC=ZADC=30°.

???在RtZXABC中，

AC

tanZABC=阮，

,BC="C

*c-tanZ-ABC'

'：AC=4,

4r-

BC=--=4A/3.

tan30

答案：A.

11.（2022?包頭中考）如圖，AB,8是。0的兩條直徑，E是劣弧曲的中點，連接3C,DE.若NA5C=22°,

則NCI出的度數(shù)為（）

VOC=OB,ZABC=22°,

：.ZOCB=ZABC=22°,

AZBOC=180°-22°X2=136°,

???￡是劣弧況的中點，

：.CE=BE,

1

???NCOE=/136。=68°,

ii

由圓周角定理得：ZCDE=^ZCOE=x68°=34°,

答案：C.

12.（2022?陜西中考）如圖，△ABC內(nèi)接于。0,ZC=46°,連接04,貝！JNO45=（）

A.44°B.45°C.54°D.67°

解：如圖，連接。以

VZC=46°,

ZAOB=2ZC=92°,

*：OA=OB,

1800-92°

：

.ZOAB=2=44°.

答案：A.

13.（2022?巴中中考）如圖，A5為。。的直徑，弦交于點E,BC=BD,/CDB=30°，AC=2V3,貝lj

C.1D.2

解：如圖，連接BC,

D

為OO的直徑，BC=BD,

：.AB±CD,

,：ZBAC=ZCDB=30o,AC=2V3,

AE=AC9cosZBAC=3,

???A3為。。的直徑，

ZACB=90°,

：.OA=2,

：.OE=AE-04=1.

答案：c.

14.（2022?襄陽中考）已知OO的直徑AB長為2,弦AC長為企，那么弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于45°或

D'

'：OA=OC=l,AC=V2,

：.OA2+OC2=AC2,

：.ZAOC=90°,

：.ZADC=45°,

/.ZAD'C=135°,

答案：45°或135°.

15.（2022?日照中考）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測

-13

量，測得A8=12on,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為一cm.

-2------

BL--

解：連接AC,

BL------

,：ZABC=90°,且/ABC是圓周角，

.'.AC是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=V122+52=13（cm）,

13

所以圓形鏡面的半徑為萬皿

答案：一cm.

2

16.（2022?永州中考）如圖，A8是。O的直徑，點。、。在。。上，ZADC=30°,貝州0度.

解：???NAOC是死所對的圓周角，

/.ZAOC=2ZADC=2X30°=60°,

：.ZBOC=1SO°-ZAOC=1SO°-60°=120°.

答案：120.

17.（2022?蘇州中考）如圖，是。。的直徑，弦。。交于點E,連接AC,AD.若N5AC=28°,則NZ）=

D

：AB是直徑,

AZACB=90°,

AZABC=90°-ZCAB=62°,

-NABC=62°,

答案：62.

18.（2022?南通中考）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，8。為。。的直徑，AC平分NA4D,CD=2五，點、E在

8c的延長線上，連接。E.

（1）求直徑2。的長；

（2）若BE=5a,計算圖中陰影部分的面積.

解：（1）為。。的直徑，

：.ZBCD=ZDCE=9QQ,

平分/BAD,

：.ZBAC=ZDAC,

:.BC=DC=2五,

：.BD=2yl2XV2=4；

（2）,:BE=5五,

:.CE=30,

'JBC^DC,

.,.S陰影=&\CDE=2x2/x3V2=6.

三、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【高頻考點精講】

1、圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

2、圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

【熱點題型精練】

19.（2022?淮安中考）如圖，四邊形A8CZ）是。。的內(nèi)接四邊形，若NAOC=160°,則NA2C的度數(shù)是（）

D

100°C.140°D.160°

解：VZAOC=160°，

/.ZADC=^1ZAOC=80°,

???四邊形ABC。是。0的內(nèi)接四邊形,

：.ZABC=180°-ZA￡)C=180°-80°=100°,

答案：B.

20.（2022?株洲中考）如圖所示，等邊△ABC的頂點A在。O上，邊A3、AC與。。分別交于點。、E,點、F是劣

弧萬&上一點，且與。、E不重合，連接。REF,則/的度數(shù)為（）

B.118°C.120°D.125°

解：四邊形EEOA是OO內(nèi)接四邊形,

：.ZEFD+ZA=180°,

???等邊△ABC的頂點A在。。上,

ZA=60°,

：.ZEFD=nO°,

答案：c.

21.（2022?錦州中考）如圖，四邊形A8CQ內(nèi)接于A3為。。的直徑，ZAZ）C=130°,連接AC,則ZBAC

的度數(shù)為40°

解：?.,四邊形ABC。內(nèi)接于OO,ZADC=130°,

.,.ZB=1800-ZADC=180°-130°=50°,

,：AB為O。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZCAB^90°-/B=90°-50°=40°,

答案：40°.

22.（2022?甘肅中考）如圖，O。是四邊形ABC。的外接圓，若/A8C=110°,則NAZ）C=70

解：：四邊形ABCD內(nèi)接于。0,ZABC=110°,

AZA￡)C=180°-ZABC=180°-110°=70°,

答案：70.

23.(2022?威海中考)如圖，四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，連接4C,BD,延長CO至點E.

(1)若A8=AC,求證：ZADB=ZADE；

(2)若BC=3,O。的半徑為2,求sin/BAC.

(1)證明：?.,四邊形A8CQ是。。的內(nèi)接四邊形,

ZADE=ZABC,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

:ZACB^ZADB,

：.NADB=/ADE；

(2)解：連接CO并延長交。。于點孔連接B凡

A

E

則/尸BC=90°,

在RtZ\2CP中，CP=4,BC=3,

.,.sinF=^=1,

/F=ABAC,

3

sinZBAC=彳.

4

四、三角形的外接圓與外心

【高頻考點精講】

1、外接圓定義：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓。

2、外心定義：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點。

3、注意事項

（1）銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角

形的外部。

（2）找三角形的外心，就是找三角形三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三

角形卻有無數(shù)個。

【熱點題型精練】

24.（2022?梧州中考）如圖，。。是△ABC的外接圓，且AB=AC,ZBAC=36°,在瓶上取點。（不與點A,B

重合），連接B。，AD,則NBAD+ZABD的度數(shù)是（）

解：'：AB=AC,ZBAC=36°,

：.ZABC=ZC=72°,

,/四邊形AOBC是圓內(nèi)接四邊形,

.,.ZZ)+ZC=18O0,

AZ￡>=180°-ZC=108

：.ZBAD+ZABD=1SO°-72°,

答案：C.

25.（2022?十堰中考）如圖，。。是等邊△ABC的外接圓，點。是弧AC上一動點（不與A,C重合），下列結(jié)論:

①/ADB=/BDC；②DA=DC；③當。8最長時，DB=2DC；?DA+DC^DB,其中一定正確的結(jié)論有（）

解：:△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=ZACB^6Q°,

■：AB=AB,BC=BC,

：.ZADB=ZACB=60°,ZBDC=ZBAC=60°,

：.ZADB=ZBDC,故①正確；

???點。是弧AC上一動點，

而與前不一定相等，

...D4與。C不一定相等，故②錯誤；

當。8最長時，為。O直徑，

：.ZBCD=90°,

,:NBDC=60°,

：.ZDBC=30°,

:.DB=2DC,故③正確；

在。8上取一點E,使OE=A。，如圖：

VZADB=60°,

△ADE是等邊三角形,

：.AD=AEfZDAE=60°,

'：ZBAC=60°,

：.ZBAE=ZCAD,

9

：AB=ACf

：.AABE^AACD(SAS),

：?BE=CD,

；.BD=BE+DE=CD+AD,故④正確;

???正確的有①③④，共3個,

答案：C.

26.（2022?杭州中考）如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的。0,ZBAC=0（8是銳角），則△ABC的面積的最大

B.cos0(l+sin0)

C.sinO(l+sin0)D.sin0(l+cos0)

解：當AABC的高AD經(jīng)過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大,

如圖所示,

：.BC=2BD,NBOD=NBA'C=Q,

在RtZXBOD中,

.cBDBD門ODOD

sme=u^=亍3。=礪=丁

BD=sin0,OD=cos0,

：.BC=2BD=2sinS,

A'D=ArO+OO=l+cos。,

**?^^ABC='D9BC=x2sin0(l+cos0)=sin。(l+cos6).

答案：D.

27.（2022?玉林中考）如圖，在5X7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點。，A,B,C,D,E均在格點上，點。

是AABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除AABC外把你認為外心也是。的三角形都寫出來AABD,

OA="2+22=V5,

OB=Vl2+22=V5,

OC=Vl2+22=V5,

OD=Vl2+22=V5,

OE="+32=V10,

：.OA=OB=OC=OD^OE,

...△ABD,AACJD,△BCD的外心都是點O,

答案：AABD,AACD,/\BCD.

28.（2022?黑龍江中考）如圖，在O。中，A3是。。的弦，。。的半徑為3cm.C為。。上一點，ZACB=60°,

解：連接A。并延長交O。于點D

是。。的直徑,

ZABD=90°,

VZACB=60°,

/.ZADB=ZACB=60°,

在RtZXABZ）中，AD=6cm,

：.AB=AD-sm60a=6x亨=3次（cm）,

答案：3V3.

29.（2022?涼山州中考）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。。是△ABC的外接圓，點A,B,。在格點上，則

,：AD是OO的直徑,

AZABD=90°,

；AB=6,BD=4,

：.AD=y/AB2+BD2=V62+42=2^/13,

..BD42V13

..cos/zA由nR而=可言=F-'

?IZACB=ZADB,

2713

：.cosZACB的值是----,

13

田山2V13

答案：TT-

五、切線的性質(zhì)

【高頻考點精講】

1、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

2、經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。

3、經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

4、切線性質(zhì)的運用：由切線長定理可知，如果出現(xiàn)圓的切線，可以連接過切點的半徑，得出垂直關(guān)系。

【熱點題型精練】

30.（2022?深圳中考）已知三角形ABE為直角三角形，ZABE=90°,8C為圓。切線，C為切點，CA=CD,則

△ABC和面積之比為（）

A.1：3B.1：2C.V2：2D.(V2-1)：1

解：如圖，連接OC,

是。。的切線，OC為半徑，

：.OC±BC,

即/003=90°,

：.ZCOD+ZOBC=90°,

又：/人臺8二%。,BPZABC+ZOBC=90°,

ZABC=ZCOD,

是。。的直徑，

ZDCE=9Q°,BPZOCE+ZOCD=90°,

又/A+/E=90°,而NE=NOCE,

NA=NOCD,

在△ABC和△(%>￡>中，

24=4OCD

Z..ABC=Z.COD,

AC=CD

???△ABC也△COO(A4S),

又?：EO=DO,

1

S^COD=S^COE=*/\DCE,

1

SAABC=2s"CE,

即△ABC和△COE面積之比為1：2,

答案：B.

31.（2022?無錫中考）如圖，A8是圓。的直徑，弦平分/8AC,過點。的切線交AC于點E,ZEAD=25°,

則下列結(jié)論錯誤的是（）

C.DE=ODD.ZBOD=50°

解：?.?弦AD平分NBAC,Z￡AD=25",

：.ZOAD=ZODA=25°.

:.NBOD=2NOAD=50°.

故選項D不符合題意;

'：ZOAD=ZCAD,

：.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,即AE〃OD,故選項2不符合題意;

是。。的切線,

：.OD±DE.

C.DELAE.故選項A不符合題意;

如圖，過點。作。尸，AC于R則四邊形OFED是矩形,

在直角△AR9中，OA>OF.

'：OD=OA,

：.DE<OD.

故選項C符合題意.

答案：C.

32.（2022?重慶中考）如圖，AB是。。的切線，8為切點，連接AO交。。于點C,延長A。交。。于點。，連接

BD.若NA=N。，且AC=3,則AB的長度是（

A.3B.4C.3V3D.4A/2

是。。的切線，B為切點，

：.OB±AB,

.,.AB2=OA2-OB2,

和OD是半徑，

ZD=ZOBD,

'：ZA=ZD,

：.ZA=ZD=ZOBD,

：./\OBD^/\BAD,AB=BD,

：.OD：BD=BD：AD,

:.BD2=OD-AD,

即OA2-OB2^OD-AD,

設(shè)O￡>=尤，

VAC=3,

.,.A￡）=2x+3,OB=x,OA=x+3,

；.（尤+3）2-7=無（2x+3）,解得尤=3（負值舍去），

.??OA=6,05=3,

：.AB2=O^-OB2=21,

.,.AB=3A/3,

答案：C.

33.（2022?資陽中考）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，A8是直徑，過點A作O。的切線AD若NB=35°,則NZMC

的度數(shù)是35度.

解：TAB為直徑，

.1.ZC=90°,

VZB=35O,

：.ZBAC^55°,

與。O相切，

：.AB±AD,即/氏4。=90°,

：.ZCAD=90°-NBAC=35°.

答案：35.

34.（2022?泰州中考）如圖，B4與O。相切于點A,尸。與O。相交于點2,點C在瘋B上，且與點A、8不重合.若

NP=26°,則NC的度數(shù)為32°.

與。。相切于點4,

：.ZOAP=9Q°,

；/尸=26°,

：.ZAOP=90°-ZP=90°-26°=64°,

11

AZD=^ZAOP=Jx64°=32°,

..?點C在而S上，且與點A、B不重合，

.,.ZC=Z￡>=32°,

答案：32.

35.（2022?青島中考）如圖，AB是。。的切線，B為切點，OA與。。交于點C,以點A為圓心、以O(shè)C的長為半

徑作價，分別交AB,AC于點E,F.若OC=2,A8=4,則圖中陰影部分的面積為4-n

是。。的切線，B為切點,

：.ZOBA^90°,

：.ZBOA+ZA=90°,

由題意得：

OB=OC=AE=AF=2,

...陰影部分的面積=人4。3的面積-(扇形80C的面積+扇形砌尸的面積)

2

I.CD907rx2

=T：A.B*OB----o_77\—

ZDOU

1

=2x4X2-ii

=4-71,

答案：4-71.

36.(2022?濟南中考)已知：如圖，A3為。。的直徑，CO與。0相切于點C,交A3延長線于點。，連接AC,BC,

ZZ)=30°,CE平分/ACB交OO于點、E,過點B作垂足為尸.

(1)求證：CA=CD；

(2)若A3=12,求線段3尸的長.

(1)證明：連接OC,

c

E

???CD與。。相切于點C,

：.ZOCD=90°,

VZD=30°,

：.ZCOD=90°-NO=60°,

1

ZA=^ZCOD=30°,

ZA=ZD=30°,

：.CA=CD；

(2)解：TAB為。。的直徑，

AZACB=90°,

VZA=30°,AB=12,

1

：.BC=^AB=6,

〈CE平分NACB,

1

AZBCE=^ZACB=45°,

VBF±CE,

AZBFC=90°,

：.BF=BC*sin45°=6x竿=3也

???線段3/的長為3V2.

六、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【高頻考點精講】

1、內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三

角形叫做圓的外切三角形。

2、內(nèi)心定義：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點。

3、任何三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形。

4、三角形內(nèi)心的性質(zhì)

(1)三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

(2)三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分內(nèi)角。

【熱點題型精練】

37.（2022?婁底中考）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白

色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（）

V3V37TV3

A.----B.C.—D.一

181899

作5AC于點E,AO和交于點O,如圖所示,

VZADB=90°,

：.AD^>JAB2-BD2=Wa,

：.OD=1A/）=￡

7TX（；ya）2x|

V37T

圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是:

2a-y[3a18

2

答案：A.

38.（2022?德陽中考）如圖，點E是△A8C的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點。，與BC相交于點

G,則下列結(jié)論：@ZBAD^ZCAD；②若NBAC=60°,則NBEC=120°；③若點G為BC的中點，則/BG。

=90°；?BD=DE.其中一定正確的個數(shù)是（）

解：是△ABC的內(nèi)心,

：.AD平分NBAC,

：.ZBAD=ZCAD,故①正確;

如圖，連接BE,CE,

11

ZEBC=寺/ABC,ZECB=方ZAC3,

'：ZBAC=60°,

ZABC+ZACB=120°,

：.ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°(ZABC+ZACB)=120°,故②正確;

'：ZBAD=ZCAD,

：.BD=DC,

：.ODLBC,

??,點G為3C的中點，

???G一定在O。上，

：.ZBGD^90°,故③正確；

???3石平分NA5C,

???NABE=NCBE,

,：NDBC=NDAC=/BAD,

???ZDBC+ZEBC=NEBA+/EAB,

：.ZDBE=ZDEBf

：.DB=DE,故④正確.

工一定正確的①②③④，共4個.

答案：D.

39.（2022?黔東南州中考）如圖，在△A5C中，ZA=80°,半徑為3c小的。0是△ABC的內(nèi)切圓，連接03、OC,

13

則圖中陰影部分的面積是-TCM?.（結(jié)果用含1T的式子表示）

—4-

解：VZA=80°,。。是△ABC的內(nèi)切圓,

111

：.ZDOE=180°-Q-Z.ABC-Z-ACB}=180°(180°-ZA)=130°,

222

2

1307TX313/2\

??S扇形DOE—=彳7T(cm),

360

田G13

答案m

40.（2022?泰州中考）如圖，△A3C中，NC=90°，AC=8,BC=6,。為內(nèi)心，過點。的直線分別與AC、AB

1

邊相交于點〃E.若DE=CD+BE,則線段。的長為上警一

解：如圖，過點O的直線分別與AC、AB邊相交于點。、E,連接2。，CO,

為△ABC的內(nèi)心,

...CO平分NACB,8。平分NABC,

ZBCO=ZACO,ZCBO=ZABO,

當CD=OD時，則/OCD=NCOD

ZBCO=ZCOD,

：.BC//DE,

：.ZCBO=ZBOE,

：.BE=OE,

則DE=CD+BE,

設(shè)CQ=OO=x,BE=OE=y,

在RtzMBC中，AB=y/AC2+BC2=10,

OEZx

(-_

(AD-B--8%--+Z6

即l

.)AC-Oc10y

^]AEI--8-8X

一1

-8gCo

VAB2c

解得「-5J

-

2

：.CD=2,

過點。作O'E'1.AB,DE//BC,

?點。為△ABC的內(nèi)心,

：.OD=OE',

在RtZkO。。'和RtZ\OE'E中，

ZOE'E=乙ODD'

OE'=OD,

.乙EOE'=乙D'OD

'△ODD'烏AOE'E(ASA),

：.OE=OD',

：.D'E'=DE=CD+BE=CD'+BE'=2+|=

在△&￡>'E'和AABC中，

(Z-A=Zi4

Vz_D'E'A=乙BCA'

：.△AD,E'^AABC,

.ADrDIEI

??—,

ABBC

9

ADr7

??=,

106

解得：AD1=竽，

：.CD'=AC-AD'=I，

答案:2或。

2

41.（2022?宜賓中考）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正

方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積為289.

解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，連接OE、OD,

OE=OD=3="C+y"

：.AC+BC-AB^6,

：.AC+BC^AB+6,

：.(AC+BC)2=(AB+6)2,

：.BC2+AC2+2BCXAC=AB2+UAB+36,

而BC2+AC2=AB2,

.,.2BCXAC=12AB+36①,

：小正方形的面積為49,

(BC-AC)2=49,

：.BC2+AC2-2BCXAC=49@,

把①代入②中得

AB2-12AB-85=0,

(AB-17)(AB+5)=0,

:.AB=n（負值舍去）,

大正方形的面積為289.

答案：289.

七、弧長及扇形面積計算

【高頻考點精講】

1、弧長計算

（1）圓周長公式：C=2nR

（2）弧長公式：/=里里（弧長為/,圓心角度數(shù)為〃圓的半徑為R）

180

2、扇形面積計算

（1）圓面積公式：S=llJ

（2）扇形：組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。

（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是幾。，圓的半徑為R的扇形面積為S,則

②S扇形=工出（其中/為扇形的弧長）

2

（4）求陰影面積解題技巧：將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。常用方法：①直接用公式法；②和差法；

③割補法。

【熱點題型精練】

42.（2022?湖北中考）如圖，在RtZvlBC中，ZC=90°,ZB=30°,A2=8,以點C為圓心，C4的長為半徑畫

弧，交A8于點。，則而的長為（）

A

CB

45

A.JTB.FC.^TlD.2n

3

解：連接S,如圖所示:

VZACB=90°,N5=30°,A5=8,

1

AZA=90°-30°=60°,AC=^AB=4,

由題意得：AC=CD,

??.△ACD為等邊三角形,

ZAC￡>=60°,

一，…,607rx44

.../O的長為：------=-7T,

1803

答案：B.

43.（2022?廣西中考）如圖，在△ABC中，CA=CB=4fZBAC=a,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2a,得到△A3,

C,連接夕。并延長交AB于點。，當夕OLA8時，縮，的長是（)

B'

解：'：CA=CB,CDLAB,

：.AD=DB=^AB'.

：.ZAB'D=30°,

/.a=30o,

'：AC=4,

F5

.,.AZ)=AC?cos30°=4x今=2痔

：.AB=2AD=4A/3,

44.（2022?麗水中考）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩

形，如圖.已知矩形的寬為2m，高為2日相，則改建后門洞的圓弧長是（）

5718TT107T571

A.—mB.—mC.-----mD.(—+2)m

3333

解：連接AC,BD,AC和相交于點。則。為圓心，如圖所示,

AB

由題意可得，CD=2m,AD=2^m,ZADC=90°,

.??tanN￡)CA==V5,AC=y/CD2+AD2=4(m),

AZACD=60°,OA=OC=2m,

???NACB=30°,

???NAO8=6(r,

???優(yōu)弧ADC3所對的圓心角為300°,

工,3007TX210TT

工改建后門洞的圓弧長是：-------=----(m),

1803

答案：C.

45.（2022?資陽中考）如圖.將扇形AOB翻折，使點A與圓心。重合，展開后折痕所在直線/與屈交于點C,連

接AC.若。4=2,則圖中陰影部分的面積是（）

71V371

C.———D.

323

解：連接CO,直線/與AO交于點。，如圖所示,

???扇形A05中，04=2,

OC=OA=2,

??,點A與圓心O重合，

：.AD=OD=lfCDLAO,

：.OC=AC,

：.OA=OC=AC=2,

...△04C是等邊三角形,

：.ZCOD=60°,

'：CD1OA,

：.CD=y/OC2-OD2=V22-l2=V3,

AOTTX222xV32兀

???陰影部分的面積為：-

2~3

答案:B.

46.（2022?蘭州中考）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所

示，它是以。為圓心，OA,。8長分別為半徑，圓心角/。=120°形成的扇面，若OA=3m,OB=1.5m,則陰

影部分的面積為（）

o

圖1圖2

A.4.25nm2B.3.25Trm2C.3irm2D.2.25TOM2

解：S陰=S扇形004-S扇形30。

Q

_1207X9120TTX?

=-360360-

=2.25m/.

答案：D.

47.（2022?泰安中考）如圖，四邊形4BCD中，ZA=60°,AB//CD,OE_LA￡＞交A8于點E,以點E為圓心，DE

為半徑，且。E=6的圓交CO于點R則陰影部分的面積為（）

C.6it-竽

A.6n-9V3B.12it-9V3D.3一竽

解：過點E作EG，。尸交D尸于點G,

VZA=60°,AB//CD,。瓦LAO交A3于點E,

：.ZGDE=ZDEA=30°,

■:DE=EF,

；?NEDF=NEFD=30°,

：.ZDEF=nO°,

VZG￡>E=30°,DE=6,

???GE=3,