觀察、推理與表達：素養(yǎng)導向的作業(yè)設計策略

北京師范大學教育學部課程與教學研究院院長，教授、博士生導師；中國教育學會小學數(shù)學教學專業(yè)委員會副秘書長，中國教育發(fā)展戰(zhàn)略學會教育教學創(chuàng)新專業(yè)委員會副理事長，中國少數(shù)民族教育學會數(shù)學教育專業(yè)委員會副理事長；主持的課題有全國教育科學“十一五”規(guī)劃教育部重點課題“新課程小學數(shù)學、語文學科能力評價研究”、全國教育科學“十二五”規(guī)劃教育部重點課題“讀懂中小學生數(shù)學學習過程的方法研究”，以及國家自然科學基金面上項目“復雜情境下學生數(shù)學創(chuàng)造性思維的認知及腦機制研究”等；著有《小學生數(shù)學能力評價研究》《小學數(shù)學互動式教學》《學習者視角下的學習歷程分析》等專著，發(fā)表學術論文100余篇。作業(yè)設計是當前基礎教育課程改革中的熱點問題，是達成“教-學-評”一致性的重要保障。如何基于核心素養(yǎng)設計作業(yè)，通過作業(yè)設計培養(yǎng)學生的問題解決能力，充分發(fā)揮作業(yè)的育人功能呢？筆者以為，深入理解核心素養(yǎng)導向的作業(yè)功能是基礎，探索核心素養(yǎng)導向的作業(yè)設計策略是關鍵。一、核心素養(yǎng)導向的作業(yè)功能作業(yè)為學生提供了相對獨立的思考環(huán)境，不同的作業(yè)對學生提出了不同的認知要求。立足核心素養(yǎng)設計作業(yè)的基礎是深入理解核心素養(yǎng)，只有理解了核心素養(yǎng)要求，才能找到作業(yè)設計的主線?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》以“三會”（會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界）高度凝練了數(shù)學核心素養(yǎng)，用數(shù)學眼光、數(shù)學思維和數(shù)學語言概括了數(shù)學抽象、推理和建模的能力?！叭龝蹦繕嗣鞔_指向問題解決能力的培養(yǎng)，旨在幫助學生建立數(shù)學世界和真實世界的聯(lián)系。數(shù)學核心素養(yǎng)導向下，數(shù)學作業(yè)應一脈相承地發(fā)揮培養(yǎng)學生問題解決能力的功能。進行過程性診斷是發(fā)揮數(shù)學核心素養(yǎng)導向作業(yè)功能的重要手段。這種過程性測量表現(xiàn)在學生能否用自己的話解釋、表達所學知識；能否基于這一知識做出推論和預測，從而解釋相關現(xiàn)象，解決相關問題；能否運用這一知識解決變式問題；能否將這一知識遷移運用到解決實際問題中；等等。換言之，數(shù)學核心素養(yǎng)導向的作業(yè)功能是滿足一種認知需求，為學生提供理解真實世界中的數(shù)學元素、進行數(shù)學思維和推理活動的場景，以及提出猜測、構建問題、尋找模式的媒介。二、基于“三會”的作業(yè)設計策略1.觀察視角多樣化，深化概念理解義務教育階段，數(shù)學眼光指通過對現(xiàn)實世界中基本數(shù)量關系和空間形式的觀察，逐步養(yǎng)成從數(shù)學的角度觀察現(xiàn)實世界的意識和習慣，主要表現(xiàn)為抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。核心素養(yǎng)導向的數(shù)學作業(yè)需要考查學生仔細觀察、辨別、描述和分析數(shù)學現(xiàn)象、關系和模式的能力，涉及對細節(jié)的敏感度、對整體與部分的把握能力以及對相關信息的篩選和歸納能力。核心素養(yǎng)導向的數(shù)學作業(yè)在觀察方面需要為學生提供過程性的可觀察素材，以及通過多個維度的觀察視角進行觀察的方法。在培養(yǎng)學生觀察能力方面，多元表征型作業(yè)必不可少。教師可以從不同的表征形式、不同的思維路徑、不同的問題切入視角出發(fā)，設計不同類型的觀察類作業(yè)。以作業(yè)1為例，教師設計用不同的直觀模型解決小數(shù)除法問題的多個作品，引導學生辨析作答過程是否正確，考查學生對小數(shù)除法意義的理解，拓展學生理解小數(shù)除法的思路。小明利用人民幣模型將小數(shù)轉化為整數(shù)，通過整數(shù)除法解決小數(shù)除法問題；小輝利用分數(shù)模型和除法的意義找到問題的答案；小芳利用除法豎式計算，但小數(shù)點的移動出錯了；小杰利用商不變的規(guī)律將被除數(shù)和除數(shù)同時擴大100倍計算，但計算過程出錯了。因此，小明和小輝作答正確。多種表征方式和解決問題方法的呈現(xiàn)，為學生提供了多維度解決小數(shù)除法問題的機會，讓學生搭建起不同方法之間的聯(lián)系，深入理解了除法的意義。教師通過學生的解釋可以發(fā)現(xiàn)學生擅長使用的直觀模型，以及學生在理解小數(shù)除法方面的困難。診斷結果可作為調整課堂教學重難點的依據(jù)。2.推理思路外顯化，搭建推理支架培養(yǎng)推理能力的作業(yè)要在思維的推進和深化上下功夫，以發(fā)揮作業(yè)診斷、反饋、促進發(fā)展的功能。認知外顯（CognitiveExternalization）指將內(nèi)在的思維或知識外化為外在的行為，這在推理類作業(yè)中必不可少，是發(fā)揮上述作業(yè)功能的關鍵路徑。推理類作業(yè)既要考查學生推理的結果是否正確，又要關注推理過程中學生逐步建立推理思路的過程，引導學生將數(shù)學思考和解決問題的過程具體化、可視化，幫助學生更全面、深入地理解和掌握數(shù)學知識。教師可以通過讓學生舉例、寫出每一步思路、畫圖表示自己的想法以及操作直觀模型來表達等方式，外顯化學生的思維，使其更加明確并且易于交流和共享。認知外顯不僅可以促進學生思維發(fā)展和學習進階，還可以提供一個反饋機制，讓學生更好地理解和評估自己的思維水平和知識掌握情況，并展開進一步思考與改進。在這個過程中，推理支架必不可少。推理作為一種高級思維活動并不是學生與生俱來的能力，因此，作業(yè)設計既要注重考查學生的推理能力，又要承擔培養(yǎng)學生推理思維的職責，而搭建推理支架是一個很好的切入口。以作業(yè)2為例，教師設計了三角形面積比較的問題，并通過搭建3個支架，幫助學生建立從特殊到一般的推理思維。作業(yè)2：觀察并比較下面圖形的面積。（1）請你分別比較圖2-1中兩個深色三角形的面積大小和兩個淺色三角形的面積大小，寫出比較的過程和結果。（每個小方格的邊長為1cm）（2）請你分別比較圖2-2中兩個深色三角形的面積大小和兩個淺色三角形的面積大小，寫出比較的過程和結果。（每個小方格的邊長為1cm）（3）經(jīng)過上面兩次比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？寫出你的發(fā)現(xiàn)。你能在圖2-3上畫出一組具有這樣特點的圖形嗎？作業(yè)2通過3個問題搭建推理的三個階梯，旨在培養(yǎng)學生的推理能力。問題1以深色等腰三角形這個特例作為主要研究對象，讓學生分別探究兩種顏色三角形的面積大小關系，從而做出猜測。問題2稍微放寬條件，要求學生探究等底不等高的任意三角形是否存在同樣的規(guī)律，搭建了推理的支架，引導學生聚焦圖形的核心特征繼續(xù)猜測并驗證規(guī)律。問題3引導學生在前兩個支架的基礎上提出一般化結論并畫圖驗證。3.關注語言轉換，建構模型意識在表達方面，義務教育階段的數(shù)學課程主要培養(yǎng)學生用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界中的簡單數(shù)量關系與空間形式的能力，引導學生初步感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界的交流方式，逐步養(yǎng)成用數(shù)學語言表達與交流的習慣。利用作業(yè)培養(yǎng)學生用數(shù)學語言進行表達的能力與習慣，既要關注數(shù)學語言本身，又要關注數(shù)學語言背后的關系思維。第一，關注語言之間的轉換。數(shù)學語言以其抽象性和簡潔性著稱。義務教育階段，學生的認知具有直觀化的特點，教師要通過廣泛建立其他直觀語言與數(shù)學語言之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生用數(shù)學語言流暢地表達的能力與習慣。作業(yè)設計中，教師可以通過建立直觀語言、直觀圖像、文字語言和數(shù)學語言之間的轉化通道，為學生提供正確運用數(shù)學語言、術語和符號有效組織、展示數(shù)學思想和解決問題過程的機會。以作業(yè)3為例，教師將等式這種抽象的符號化表達用直觀圖像呈現(xiàn)，借助天平的特點體現(xiàn)等式的意義。作答過程中，學生需要理解天平所代表的相等意義，關注天平兩邊的數(shù)量關系，在將直觀圖像轉換為等式的過程中抽象出符號所代表的數(shù)量及它們之間的關系，完成從直觀圖像向數(shù)學語言的轉化。第二，構建開放性關系網(wǎng)絡。數(shù)學建模的過程是尋找和探索情境中的特定模式，發(fā)現(xiàn)數(shù)學結構和潛在關系的過程。現(xiàn)實世界中，我們能觀察到的信息量巨大，選擇哪些數(shù)量解決問題、在數(shù)量之間建立什么樣的關系都是學生建模能力的考查點。設計開放性問題解決的作業(yè)有助于學生體驗在真實世界中建立模型的過程。教師可以通過給出多余條件、刪除必要條件等方式，打破學生以往解決問題的常規(guī)思路，引導學生經(jīng)歷真實的建模過程。以作業(yè)4為例，不同于傳統(tǒng)的考查相向而行問題的作業(yè)，這道題沒有在題干中直接給出常規(guī)的條件和問題，而是通過提供多項與速度、路程相關的信息，引導學生自主提取求解“幾分鐘相遇？”這個問題所需要的條件。作業(yè)4：小麗和小紅約好去公園鍛煉，約定周日上午9：00兩人從步道的兩端同時出發(fā)，相向而行。小麗問：兩人走幾分鐘能相遇？（1）下面哪些信息可以解決小麗提出的問題？在所選信息后面的括號里畫“√”。小麗每分鐘走55m，小紅每分鐘走65m（

）。小麗走一步的距離是0.5m，小紅走一步的距離是0.6m（

）。公園南門到東門之間的步道長2100m（

）。（2）根據(jù)你選擇的信息解答小麗提出的問題。解題過程中，學生首先要建立速度、時間