2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何章節(jié)綜合檢測(cè)（提高卷）含解析

5第一章空間向量與立體幾何章節(jié)綜合檢測(cè)（新高考版提高卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.）

1.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知亞,反可能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下面的各組向量中，不能構(gòu)成空間

基底的是（）

A.a+b,b,cB.a,a—b,cC.a—c,b—c,a—bD.a,b,a+b+c

【答案】C

【詳解】由圖形結(jié)合分析

三個(gè)向量共面，不構(gòu)成基底，

故選：C

2.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖,在三棱錐O-ABC中，設(shè)西=￡,OB=b,OC=c，若頡=NS,

BM=2MC,則麗=（）

1-12-1-12-「1/1-1-1一一

A.—a+—br——cB.——a——r/?+—cC.—a——b——cD.——a+—b+—c

263263263263

【答案】A

【詳解】連接。ON,

貝加=兩一W=1（OA+OB）-（OC+CM）

263

故選：A.

3.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記

載了一種名為“芻意’的五面體（如圖），其中四邊形A3CD為矩形，EF//AB,若AB=3￡F,?ADE^ABCF

都是正三角形，且AD=2EF,則異面直線與即所成角點(diǎn)的大小為（）

【答案】A

【詳解】如圖，以矩形ABCD的中心。為原點(diǎn)，B的方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?四邊形ABCD為矩形，跖//ABRADE和△3CF都是正三角形，二EFu平面火左，且Oz是線段E尸的垂

直平分線.設(shè)筋=3,則所=1,AD=2,4一1,一加，小,1,0：小,；,向

，

￡>￡=^Ll>A/2j,BF=^-l,-l,V2j,/.DEBF=-lxl+lx（-l）+^2x^2=0,/.正，

：.異面直線DE與即所成的角力

故選：A

4.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))a=(1,-1,3),&=(-l,4,-2),c=(l,5,x),若益石忑三向量共面，則實(shí)數(shù)%=()

A.3B.2C.15D.5

【答案】D

【詳解】「—(1,—1,3),/?=(―1,4,—2),/.乙與Z?不共線，

又?「五、方、三向量共面，則存在實(shí)數(shù)相，=ma+nb

m-n=l

即<-m+4〃=5,解得n=2,m=3,x=5.

3m-In=x

故選：D.

5.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))在正三棱柱A3C-A與G中，若43=明=4,點(diǎn)。是441的中點(diǎn)，則點(diǎn)％

到平面DBG的距離是()

A.V2B.&C.立D.史

234

【答案】A

【詳解】解：以AC為，軸，以AA為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

?.?正三棱柱4BC-A瓦G中，若AB=AA1=4,點(diǎn)。是AA的中點(diǎn)，

BQ52,0),G(°，4,4),0(0,0,2),A(0,0,4),

UUUUULUUUU

/.DB=(2V3,2,-2),DC{=(0,4,2),DA.=(0,0,2),

設(shè)平面B￡)G的法向量為五=(%,y,z),

1UUUf______

QnDB=。，nDCx=0,

,[2,+2;一2：=0,取y=_l,則-1,2),

[4y+2z=0

iTUULTi

???點(diǎn)A到平面DBG的距離d=七普1=學(xué)”出=也.

\n\V3+1+4

故選：A.

6.(2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試)已知正三棱柱ABC-ABG的所有棱長(zhǎng)都為2,N為棱CQ的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M

滿足詢=2元，4G[0，1]，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列選項(xiàng)正確的是()

A.當(dāng)％時(shí)，△AMG的周長(zhǎng)最小

B.當(dāng)Q0時(shí)，三棱錐G-4MN的體積最大

C.不存在力使得AM_LMN

D.設(shè)平面A4M與平面BCC#所成的角為仇存在兩個(gè)不同的力值，使得|COS6|=￥

【答案】B

【詳解】當(dāng)義=；時(shí)，加是BC的中點(diǎn)，4河+。陽(yáng)=萬(wàn)+行，當(dāng)2=1時(shí)，AM+C陽(yáng)=2亞+2,

W+國(guó)=12+7140,(20+2『=12+7128<12+A/140，故當(dāng)％：時(shí)△Ag的周長(zhǎng)并不是最小的.故A錯(cuò).

當(dāng)4=0時(shí)，=5_6溫=#54,阿，只需要面積最大體積就最大，此時(shí)陷8重合，故B對(duì).

當(dāng)"是BC中點(diǎn)時(shí)，AM_L平面BCC］耳，又MNu平面BCG瓦，則A0LMN,故C錯(cuò).

取3c中點(diǎn)為。，則AO，平面BCC,B,，以O(shè)B,OA所在直線為羽z軸，故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面

BCQBi的法向量為五=(0,0,1)

BM=ABC,:.M(1-22,0,0)，故麗>(1,0,-⑹,B^M=(-22,-2,0)

設(shè)平面4AM的法向量為3=(x,y,z)

所以［x-Wz=°令z=JJ,貝U尤=3,y=-34,故元=(3,-346)

-2Ax-2y=0、'

同(帚，力卜.靠.=，"=gn)=±乎,手,故D不對(duì).

1'71m\\nJ12+9儲(chǔ)533

故選：B

7.(2022?浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)瓦AB=x,3C=l,將

△ABD沿3D翻折，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得貝口的取值范圍是()

A.0<xW石B.0<%<72

C.0<x<lD.0<x<\f6

【答案】A

【詳解】如圖示，設(shè)A處為沿3。翻折后的位置，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4QC分別為x,y軸，過點(diǎn)Z)作平面A2C。的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

1Y

則41,0,0),2(1,尤,0),。(,0,羽0),頤5,5,0),設(shè)43"c),

由于IA」l=i澈片+必+°2=1,

—-----?.1X

而i5A—(a—1,h—x,c),ZX4j—(tz,b,c),CE=(—,—0),

由于ABJ_AD,故J_,則BA,DAi=a(a—1)+b(b—x)+c*2=0,

即Z?X=1-Q；

又由在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得AB人CE,不妨假設(shè)3，CE,

則甌?屈=gm-l)—^3一x)=0,BPx2-to+?-l=0,

即x?=bx+1-a=2(1-a),

當(dāng)將AABD翻折到如圖7NBD位置時(shí)，VA3D位于平面ABCD內(nèi)，

不妨假設(shè)此時(shí)54'，CE,設(shè)垂足為G,

作AN的延長(zhǎng)線，垂足為E此時(shí)在x軸負(fù)半軸上方向上，。尸的長(zhǎng)最大，。取最小值，

由于ZBA'_D=90。，故EG〃A'。，

所以/BEG=NBDA'=NBDA,1^ZBEG=ZAED,

故ZAED=NBDA=NEDA,5LAE=AD,

故AAE。為正三角形，則NEDA=6(P,，/BD4'=NEDA=60。，

而AO=1,故Db=g,

故尤2=2(1—a)V3,x>0,貝,

故x的取值范圍是(0,6],

故選：A

8.(2022?江西鷹潭?高二期末(理))如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=AC=PB=PC=5,PA=4,BC=6,

點(diǎn)M在平面P3C內(nèi)，且=設(shè)異面直線AM與8c所成的角為a,則cosa的最大值為()

A&R6c—D6

A.D.V.U.

5555

【答案】D

【詳解】設(shè)線段BC的中點(diǎn)為。，連接的),

■.■AB=AC=5,。為3c的中點(diǎn)，則

vBC=6,貝UBD=CD=3,AD=ylAB2-BD2=4-同理可得尸。=4,PD±BC,

PD[}AD^D,.1BCl,平面BID,

過點(diǎn)P在平面PAD內(nèi)作PO_LAD,垂足為點(diǎn)。，

因?yàn)?4=PD=AT>=4,所以，為等邊三角形，故。為AD的中點(diǎn)，

平面PAD,POu平面PAD,則3C_L尸O,

-.■PO±AD,ADC\BC=D,PO_L平面ABC,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，AD>爐分別為x、八z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-5,

因?yàn)椤鱩￡>是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，。為AD的中點(diǎn)，則0尸=尸外也60。=26，

則4(0,-2,0)、8(3,2,0)、C(-3,2,0)、P(0,0,2A/3),

由于點(diǎn)V在平面PBC內(nèi)，

可設(shè)=mBP+nBC=,71^-3,—2,2^3j+n(—6,0,0)=^—3m—6n,—2m,2yfitnj,

其中加之o,且加+幾?1,

從而AM-AB+BM=（3,4,0）+^-3m-6n,—2m,2A=^3—3m-6n,4-2m,,

因?yàn)閨而|=岳，貝1］（3-3m-6〃）2+（4-2租）2+12，，=15,

所以，（3-3%—6〃）2=—16m2+16m—1=—（4m—2）2+3,

1

故當(dāng)機(jī)=］時(shí)，一16裙+16機(jī)-1有最大值3,即（3機(jī)+6〃-3）9＜3,

故-6工3冽+6〃-3＜有，即加+6〃-3有最大值名，

|AM-BC|_|6（3-3m-6/i）|6下）_75

所以，

cos<z=|cos<AM,BC>|=-

|W|.|BC|6相一6岳一5■

故選：D.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.（2022?全國(guó),高二課時(shí)練習(xí)）已知。=（1,0,1）,S=（-l,2,-3）,c=（2,^,6）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Q_1_石B.b//c

c.為鈍角D."在Z方向上的投影向量為（4,0,4）

【答案】BD

【詳解】因?yàn)閘x（—l）+0x2+lx（—3）=TwO,所以九區(qū)不垂直，A錯(cuò),

因?yàn)閏=-2石，所以石〃c，B對(duì)，

因?yàn)閆?"=lx2+0x（Y）+lx6=8,所以cos（a,c）＞0,所以（4,c）不是鈍角，C錯(cuò),

因?yàn)?在“向上的投影向量尺8s（詞?3=*￡=：（1，°，1）=（4,0,4）,D對(duì),

故選：BD.

io.（2022,江蘇?淮海中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8cr＞-A4G2中（）

A.AC與8。1的夾角為60。B.二面角D-AC-2的平面角的正切值為0

C.與平面AC，所成角的正切值&D.點(diǎn)。到平面AC2的距離為g

【答案】BCD

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（l,0,0）,C（0,l,0）,B（l,l,0）,D,（0,0,1）,（1,1,1）,

..%=幽衣.西=0,即前，甌，AC與BO1的夾角為90。，故A錯(cuò)誤;

設(shè)平面AC2的法向量為m=（x,y,z）,AC=（-l,l,0）,A^=（-l,0,1）,

t玩.A苑C==_T_r++Zy==0?！頔'則*,O'U、)’

所以

平面DAC的法向量可取n=(0,0,1),二面角。-AC-R的平面角為6,

貝ijcos。=k°s(/砌=,所以sine=K()s(源磯=7|r,tane=0,故B正確;

因?yàn)樨?(0,1」)，設(shè)A4與平面ACR所成角為a,

則sina=jcos^AB1-m-產(chǎn)—產(chǎn)=---,cosa=,tana=>/2，故C正確；

V2-V333

因?yàn)榇?(1,0,0),設(shè)點(diǎn)。到平面ACQ的距離為d,則

-m

d=故D正確.

故選：BCD.

11.(2022?黑龍江,哈九中高二開學(xué)考試)已知空間三點(diǎn)4(-2,0,2),8(-1,1,2),口-3,0,4),^a=AB,b=AC.

則下列結(jié)論正確的是()

A.若，|=3,且舒/配,則】=(2,1,-2)

B.Z和B的夾角的余弦值-?

10

C.若后Z+B與左Z-2分互相垂直，貝1|左的值為2；

D.若*+q+〃"可與z軸垂直，則；I,〃應(yīng)滿足2-〃=0

【答案】BD

【詳解】依題意，￡=(1,1,0)石=(-1,0,2),BC=(-2,-1,2),

對(duì)于A,H|BC|=3,而，=3,且"http://前，貝必=-沅=(2,1,-2)或2=前=(-2,-1,2),A不正確;

TioT會(huì)

對(duì)于B,cos〈a,b)=f'=廣1l,B正確;

V2XV5

對(duì)于c,因左Z+B與左Z—2分互相垂直，貝1(左2+5?(左Z—2分=左27—左￡出一27=2右+左一10=0,

解得左=2或&=-],C不正確;

對(duì)于D,/l(￡+B)+〃(￡-5)=/1(0,1,2)+〃(2,1,-2)=(2〃"+〃,2；1-2〃),z軸的一個(gè)方向向量力=(0,0,1),

依題意，(2〃,力+〃,2/1-2〃>(0,0,1)=2/1—2〃=0,即2—〃=0,D正確.

故選：BD

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知正方體ABCO-ABCQ的邊長(zhǎng)為2,M為CG的中點(diǎn)，尸為側(cè)面8CG用

上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AM//平面A8P,則下列結(jié)論正確的是()

A.AMB.">"/平面42尸

C.AM與AM所成角的余弦值為JD.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為型1

33

【答案】BCD

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則4(0,0,2),A(0,2,2),3(0,0,0),M(2,1,0),P(x,y,0),

所以率=(0,-2,-2),而=(x,y,0),麗=(2,1,-2),

0+bx=2

由AM〃平面ABF,得畫？=4率+5而，即一2°+外=1,

—2a-—2

化簡(jiǎn)可得：3x-2y=0,

所以動(dòng)點(diǎn)P在直線3x-2y=0上，

對(duì)于選項(xiàng)A：病=(2,1,—2),庭=(2,—1,0),磁?如=2x2+lx(—l)+(—2)x0=3w0,所以謝與畫不

垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：C2〃A氏A8u平面AB尸,CRo平面A8尸，所以CR〃平面A8P,B選項(xiàng)正確；

——.—.——.42

對(duì)于選項(xiàng)c：A耳=(0,0,-2),cos<AM，AH>=/…=5，c選項(xiàng)正確；

2^/2+1+(-2)3

對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)尸在直線3x-2y=0上，且P為側(cè)面2CC4上的動(dòng)點(diǎn)，則P在線段版上，錯(cuò)2°]'

所以==半，D選項(xiàng)正確；

故選：BCD.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.)

13.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知空間向量日、b'"滿足Z+B+2=0，I"1=1，I昨2,|C|=A/7,則Z

與B的夾角為.

【答案】三##60°

【詳解】因?yàn)?+1+"="所以；=二』，

所以片=b￡—石『=7+2￡方+L,

因?yàn)镮。1=1，I石1=2,|c|=S,

所以7=1+2X1X2COS,,B)+4,

所以cos&B)=!，

因?yàn)镚，B）e[O,司，

所以。b）=:,

故答案為：—

14.（2022?江蘇?常州市第一中學(xué)高二期中）已知四棱柱A8C。-agqq的底面ABCO是正方形，底面邊

長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2,ZA.AB=ZA.AD=60°,則對(duì)角線AQ的長(zhǎng)為.

【答案】2石

【詳解】由題可知四棱柱為平行六面體，AC^AB+AD+AA；,

所以離,=（荏+蒞+病?=通。亞2+亞+2費(fèi)?通+2福?麗+2赤?麗

=4+4+4+2x2x2cos60°+2x2x2cos60°=20,

所以|猬卜26.

故答案為：2非.

15.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、智、

體、美、勞各方面得到全面發(fā)展，某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成

是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合圖形，其直觀圖如圖所示，人尸=4b=2五，AB=AAl=2AD^4,P,

Q,M,N分別是棱ASQE,BB1,人尸的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是.

【答案】3叵##[岳

1515

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?尸=4尸=2夜，AB=AAl=2AD=4,

所以可得「（2,2,0）,Q（0,3,5）,M（2,4,2,）,N（2,1,5）,

所以而=（-2,1,5）,麗=（0,-3,3）,

——；PQMN122^/15

所以3＜尸°,皿＞=網(wǎng)網(wǎng)=百瓦方=*,

所以異面直線P。與所成角的余弦值是4.

故答案為：口叵.

15

16.（2022?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體A-BCD內(nèi)接于半徑為亞的球。中，在平面3co內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,

2

且滿足4尸=4夜，貝力的最小值是；直線AP與直線3c所成角的取值范圍為.

【答案】26-20

【詳解】設(shè)A在面BCD內(nèi)的投影為E,故E為三角形BCD的中心，

設(shè)正四面體A-3CD的棱長(zhǎng)為x,球。的半徑為R.

貝ljBE=2x尤、蟲=叵，AE=>]AB2-BE2=—,

3233

依題可得，球心。在AE上，R2=BE2+^AE-Ry,代入數(shù)據(jù)可得X=6,

則BE=2技AE=2R,

又AP=，PE=yjAP2-AE2=2V2-

故尸的軌跡為平面8c。內(nèi)以E為圓心，2正為半徑的圓，

BE=20

2,P,E三點(diǎn)共線時(shí)，且尸在BE之間時(shí)，|8尸|的最小值是2否-20.

以E為圓心，8E所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系,

A(0,0,276),B(2^/3,0,0),C(-V3,3,0),O1石，-3,0),

設(shè)網(wǎng)2行cos仇20sin6,0),9e[0,2時(shí)，

故方=(272cos0,2A/2sin0,-2^,BC=(-373,3,0),

設(shè)直線”與直線2C所成角為a,

APBC

-6辰。,夕6Ain0=工布(

網(wǎng)網(wǎng)40x62I3jL22

,JI

又ae0,-,故ae

故答案為：2退-2夜,

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.)

17.(202”黑龍江?勃利縣高級(jí)中學(xué)高二期中)已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),3(-l,l,2),C(-3,0,4),設(shè)

a=AB,b=AC.

(1)Z,石的夾角。的余弦值;

(2)若向量場(chǎng)+瓦。-2B互相垂直，求實(shí)數(shù)上的值;

(3)若向量22-瓦￡-23共線，求實(shí)數(shù)4的值.

【答案】(1)-—；(2)4=-°或％=2；(3)4=1或4=-1.

102

【詳解】(1)已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),8(T』,2),C(T0,4),

(2)若向量法+32￡-2石互相垂直，

又1(1,1,0)3=(-1,0,2),貝"

解得：左=一|或左=2

(3)向量2%—瓦2—共線，又￡=(1,1,0),6=(—1,0,2)

A+14-2…

當(dāng)2-0時(shí),------=——.?.?!=]

1+Z1-22

當(dāng)a=-1時(shí)，Xa-b=(Q-1,-2),?-AS=(0,1,2),成立,

當(dāng)4=0時(shí)，Aa-b=(1,0,-2),a-Ab=(1,1,0),不成立，

故：4=1或2=-1

18.(2022?湖南?高三開學(xué)考試)如圖，在三棱柱A8C-A與G中，平面ABC,平面

ACC,A,^ABC=90°,AB=BC,四邊形ACQA是菱形，N^AC=60。，。是AC的中點(diǎn).

(1)證明：8C，平面與。4；

⑵求直線04與平面OBG所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)回

10

(1)連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛CGA是菱形，則AC=AA，

因?yàn)镹A,AC=60。，故1c為等邊三角形，所以AO_LAC.

因?yàn)槠矫鍭BCJ_平面ACC0,平面AACGc平面ABC=AC,AQu平面A4CC,

所以4。，平面ABC,

?.?BCu平面ABC,所以AOLBC.

因?yàn)槎鶤〃BA,/ABC=90。，所以3C_La31.

又所以3C,平面瓦。4,.

(2)連接8。，因?yàn)?A2C=901A5=2C,。是AC的中點(diǎn)，所以30LAC.

又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ACC|A,平面ABCp平面AC￡A=AC,20u平面ABC,

所以2。_L平面ACC】A.

設(shè)AC=2,因?yàn)锳OLBC,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4、。4、。8所在直線分別為乂乂2軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

0A=(1,0,0),O<=(-1.M1),M=(-2,50).

設(shè)平面OB|G的法向量是4=(%2，%"2),

n-OC]=-2x?+y/3y?=0廠

則_J一廠，取w=6，可得為=

n-OBX=-x2+J3y2+z2=0

設(shè)直線Q4與平面04G所成角為e

所以sin。=1Icos^OA,或=匕[=卓=曾，

'”網(wǎng)同回10

直線。4與平面。片G所成角的正弦值是叵.

10

19.(2022?安徽省宣城中學(xué)高二期末)如圖，在圓錐尸。中，已知尸0=2,。。的直徑AB=2,點(diǎn)C是AB的

中點(diǎn)，點(diǎn)。為4C中點(diǎn).

(1)證明：AC,平面POO；

(2)求二面角A-PC—3的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)逑

9

⑴連接0C,如圖所示：

因?yàn)椤?=OC,。為AC的中點(diǎn)，所以AC_LO￡).

又尸。，底面OQACu底面o。，所以ACJLPO.

因?yàn)镺D,PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC，平面POD

(2)

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，03,OC,OP所在的直線分別為無(wú)軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則4(—1,0,0),3(1,0,0),C(0,1,0),尸(0,0,2).

1.~^p—Q%+24=0

^p_,即

{0-Ji+2Z]=0

令4=1,則%=-2,%=2,所以4=(-2,2,1)

%■BC=0-x,+%=0

設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量為兀=5,％,z?)，則有，，一，即

-%+2z=0)

n2-CP=02

令%=2,貝!|馬=2/2=1,所以％=(2,2,1)

__4?%11

所以|cos〈%,力2)|=I—II—I

J4+4+1J4+4+19'

所以sin

故二面角A-PC-3的正弦值為逑.

9

20.(2022?江蘇淮安?高二期中)如圖，在棱長(zhǎng)是2的正方體A5CD-AqG2中，￡為。。的中點(diǎn).

⑴求證：EB1±AD1-

(2)求異面直線D.E與A與所成角的余弦值;

⑶求點(diǎn)耳到平面的距離.

【答案】⑴證明見解析

巫

10

(1)解：因?yàn)檎襟wABCD-棱長(zhǎng)為2,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,DC,￡>2所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則有￡>(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),"(0,0,2),

A(2,0,2),4(222),G(0,2,2).

因?yàn)镋為。的中點(diǎn)，所以E(0,L0),

函=(2,1,2)，宿=(一2,0,2),

所以藥礪=2x(-2)+lx0+2x2=0,

所以函_L皿，即EB|_LA。；

(2)解：因?yàn)槁?(0,1,0)-(0,0,2)=(0,1,-2),函=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),

2-4J10

所以cos<印項(xiàng)>="強(qiáng)

V5XA/810

\DlE\\AB1\

因?yàn)楫惷嬷本€RE與AB,所成角是銳角,

所以異面直線QE與A與所成角的余弦值是包.

10

(3)解：設(shè)平面ADg的法向量是m=(羽y,z),則根_LAD],m±AE

m?AD1=0

即《

m?AE=0'

又礪=(0,0,2)-(2,0,0)=(-2,0,2),AE=(0,1,0)-(2,0,0)=(-2,1,0),

—2尤+2z=0

所以令光=1,貝!Jy=2,Z=1,

-2x+y=0

所以菊=(1,2,1),又西=(2,1,2),

所以點(diǎn)耳到平面ARE的距離d==12+浮=底.

\m\，6

21.(2022?湖南郴州?高二期末)如圖，直三棱柱ABC-A與G中，A3c是邊長(zhǎng)為2的正三角形，。為A3的

中點(diǎn).

(1)證明：C。，平面42與4；

(2)若直線8c與平面AB4A所成的角的正切值為平，求平面A3G與平面ABG夾角的余弦值.

【答案】([)證明見解析；(2)

【詳解】(1):ABC是正三角形，。為AB的中點(diǎn)，

:.CO±AB.

又「ABC-A4G是直三棱柱，

M1平面ABC,

AAt±CO.

又=A,

平面.

(2)連接。片，由(1)知CO,平面ABBIA，

???直線與平面AB圈4所成的角為NC用。，

tanZCB.O=—.

5

???△A5C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，貝UCO=G，

:.OB、=#).

在直角中，OB=1,OBi=75,

BB[=2.

建立如圖所示坐標(biāo)系，則以1,0,0),4(—1,0,0),4H2,0),男(1,2,0),Q(0,2,73).

=(-2,2,0),=(-1,2,73),設(shè)平面A8G的法向量為蔡=(x,y,z),則[二2];即

-2x+2y=0一/、

r~，解得平面的法向量為m=百,6,-1.

法=(2,0,0),離=(1,2,3),設(shè)平面AB