2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：拓展之構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問題（學(xué)生版+解析）

第09講：拓展二：構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問題

目錄

類型一：構(gòu)造/(x)=x"(x)或/(乃=當(dāng)(晝2,且-0)型........2

類型二：構(gòu)造2x)=e""(x)或B(x)=g?(〃eZ,且/件0)型.......3

類型三：構(gòu)造廠(尤)=/(x)sinx或/(力=小工型...................4

sinx

類型四：構(gòu)造*x)=/(x)cosx或尸(x)=3型..................19

cosX

類型五：根據(jù)不等式(求解目標(biāo))構(gòu)造具體函數(shù)...............6

1、兩個(gè)基本還原

①/'(x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)r②r(x)g(：)-儼)g'(x)=[曠了

[g(X)]g(x)

2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)

①*"'(x)+叭刈=[<f(x)r高頻考點(diǎn)1：ev[/,(x)+/(x)]=[eV(x)T

②尤"T[xf(x)+叭創(chuàng)=[xnf(x)y

高頻考點(diǎn)1：礦(%)+/(%)=H(x)]'高頻考點(diǎn)2x[V，(x)+2/(x)]=[x2/(^)r

③"叭叫綽r高頻考點(diǎn)]:-x)?、哦臑?/p>

eeee

xf'(x)-nf(x)"(x)

高頻考點(diǎn)1：礦(x)；"x)=t/Wr高頻考點(diǎn)2靖⑴[2/(x)=t/Mr

XXXX

⑤/'(%)sinx+/(x)cos%="(%)sinx]f

⑥/'(%)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx\r

序號條件構(gòu)造函數(shù)

1尸(x)g(x)+f(x)g'(x)>0尸(x)=/(x)g(x)

2r(x)+/(x)<oF(x)=eV(x)

3f'(x)+nf(x)<0F(x)=era/(x)

4xf'(x)+f(x)>0尸(x)=xf(x)

5W)+2f(x)<0產(chǎn)(無)=尤"(%)

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7f\x)sin%+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8f\x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=f(x)cosx

3、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)

①&丁3=［卑r高頻考點(diǎn)小)丁⑴二必當(dāng),

eeee

②也6-叭x)=f(x)

4n+1LJin」

高頻考點(diǎn)1：W)-/(A-)=:/(￡)],高頻考點(diǎn)2：-W)-2/(-X-)=[/Wr

XXXX

③/'(%)sin%—/(%)cos%=C，

“sin2xsinx

⑥尸(x)cos%+/(%)sin%=[/(,,

cos2Xcosx

高頻考點(diǎn)

類型一：構(gòu)造尸(琦=尤"/(尤)或F(x)=/^(〃eZ,且"W0)型

X

典型例題

例題1.(23-24高二下?天津?階段練習(xí))已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足

xf'(x)-f(x)<0,且(2)=2,則/(叫-1>0的解集是()

A.(^?,ln2)B.(In2,-H?)C.(0,e2)D.(e2,+co)

例題2.(23-24高三上?江蘇南通?期末)已知函數(shù)/⑺及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域均為(0,+8),

若對''(x)<2/(無)，則()

A.4e2〃2)<16/(e)<e2〃4)B.e2/(4)<4e7(2)<16/(e)

C.e2/(4)<16f(e)<4e7(2)D.16f(e)<e7(4)<4e7(2)

例題3.(22-23高二下?重慶榮昌?期中)定義在R上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且當(dāng)

x<0時(shí)，#,(x)+2/(x)<0.則()

A.迪〉綽

B.9/(3)>/(1)

4e2

D,迪>9

C.4/(-2)<9/(-3)

9e2

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高三上?天津?期中）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)丁=/（尤）的導(dǎo)函數(shù)為y=/'（x）,當(dāng)

XNO時(shí)，,八x）+—＜0,^a=|/^|^=-2f（-2）,c=ln1f^ln^,則〃也c的大小關(guān)

系正確的是（）

A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.c＜a＜b

2.（23-24高三上?江西南昌?階段練習(xí)）若函數(shù)y=f（x）滿足4''（x）〉-八%）在R上恒成立,

且貝!J（）

A.叭b）＞bf（a）B.af（a）＞bf（b）

C.af（a）＜bf（b）D.af[b）＜bf{a）

3.（多選）（23-24高二下?福建莆田?開學(xué)考試）已知尸（龍）為函數(shù)〃尤）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，

有了（X）-0恒成立，則下列不等式一定成立的是（）

類型二:構(gòu)造2x）=e*（x）或2防=堂（〃核，且〃W0）型

e

典型例題

例題1.（23-24高二下?河北石家莊?階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)/（尤），其導(dǎo)函數(shù)為

廣⑺,且/（x）＜/（x）,則（）

A./（2024）＞/（2023）B./（2024）＞ef（2023）

C.y（2024）＜/（2023）D./（2024）＜e2/（2023）

例題2.（2024?貴州貴陽,一模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（無），其導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,且滿足

r（x）-2/（x）＜0,*0）=1,則（）

A.e2/（-l）＜lB./（l）＞e2

C.D./⑴＜吟）

例題3.23-24高三?寧夏石嘴山?期中）已知函數(shù)/（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為/（無），若/（%）＜2-（x）

恒成立，且，(ln4)=2,則不等式『⑺>"的解集是()

A.(In2,+oo)B.(21n2,+oo)C.(^o,ln2)D.(-00,2In2)

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二上?江蘇宿遷?期末)函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x恒有

r(x)-/(x)>o,則()

A./(-1)>0B./(3)>eA(2)

C.的出<e%0D.蛆3)>〃4)

2.(22-23高三下?江西南昌?階段練習(xí))已知定義在(-2,2)上的函數(shù)“X)滿足

/(x)+e4'/(-x)=0/(l)=e2,尸(x)為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)尤《0,2)時(shí)，f'(x)>2f(x),則不

等式e2x42-x)<e4的解集為()

A.(—1,1)B.(—1,2)

C.(1,4)D.(1,5)

3.(22-23高二下?河南洛陽?期末)已知尸(x)是定義在R上的函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，對于任

意的實(shí)數(shù)x,都有"x)=g?,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)+r(x)>0.若〃a+l"e2"T〃3a),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

1inr1r

A.B.一-

L24j|_42_

(11T1)(1]「1)

C.l-oo,--U-?+°°ID.l-oo,--u-,+ooI

類型三：構(gòu)造％x)=/(x)sinx或％x)=3型

sinx

典型例題

例題1.(22-23高二下?四川成都,期末)記函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為7'(x),若/(x)為奇函數(shù)，且

當(dāng)x]-時(shí)恒有了(%)。。$兀+/'(兀)5皿工>0成立，則()

IjrIT）

例題3.（2023高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=f（x）對于任意的姬卜萬,滿足

/'（x）cos尤+〃x）sinx＞0（其中/（力是函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）

A./（0）＞V2/QB.行/A/，：］

U⑸部巾D.〃。）＞2/用

練透核心考點(diǎn)

1.（22-23高二下?陜西咸陽?期中）已知廣（x）是函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)，/（%）-/（-%）=0,且

對于任意的xe］o,楙］有廣（x）cosx+/（x）sinx＞0.請你試用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的

單調(diào)性判斷下列不等式一定成立的是（）

2.（22-23高二下,四川成者B?期末）記函數(shù)Ax）的導(dǎo)函數(shù)為了'（%）,若/（尤）為奇函數(shù)，且當(dāng)

方€卜去0）時(shí)恒有/（無）＜f'（x）tanx成立，則（）

3.（22-23高二下,山東聊城?階段練習(xí)）定義在（0,日上的函數(shù)〃x）,已知了'⑺是它的導(dǎo)函

數(shù)，且恒有cos%"'（x）+sinx?/（%）＜0成立，則有（）

D.局與＜也吟）

類型五：根據(jù)不等式（求解目標(biāo)）構(gòu)造具體函數(shù)

典型例題

例題1.（23-24高二上?山西運(yùn)城?期末）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/⑺滿足

Xx—I

/(x)-/(-x)=xe^+—,當(dāng)xvO時(shí)，/(%)+—^>0,若實(shí)數(shù)〃滿足

ee

/(2?)-f(a+2)-2ae-2a+ae-a-2+2e-a-2<0,則〃的取值范圍為()

"2I

A.一于之B.[2,+oo)

C.u[2,+oo)D.(-oo,2]

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知定義在(O,+句上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若廣⑺>(,

/^=3,則關(guān)于x的不等式3/1。-10>2x的解集為()

A.[J-00]B.J[C.[。,￡|D.(2,+oo)

3.(2023?吉林長春?一模)定義域?yàn)镽的函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)記作了'(x),滿足

r(x)-y(x)>3e\f(2)=6e2,則不等式>3xe，的解集為()

A.(2,+GO)B.(-oo,2)C.(3,+co)D.(一叫3)

練透核心考點(diǎn)

1.（22-23高二下?浙江嘉興?期中）已知定義在R上的函數(shù)/*）的導(dǎo)函數(shù)為/''（x）,且滿足

f（x）-f（x）＞0,/（2023）=e2°23,則不等式/（lnx）＜x的解集為（）

A.（貴，+°o）B.（0,e2023）

C.（e2023,+8）D.（04）

2.（22-23高二下?安徽合肥?期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,且滿足

f（x）＞f'（x）+l,f（0）=2023,則不等式片"（力〉葭+2022（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

的解集是（）

A.（2022,+oo）B.（F,2023）C.（0,+8）D.（一。,0）

3.（22-23高二下?湖北孝感?期末）定義在（0,+"）上的函數(shù)〃無）的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,且

卜3一尤2+,「（》）＜（3/-2*+1"⑺恒成立，則必有（）

A./⑴〈組B.3/（1）＜^＜^

v727v727

C＞犯D.3〃1）…犯

v727v727

第09講：拓展二：構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問題

目錄

類型一:構(gòu)造外x)=x"(x)或F(x)=^5eZ,且〃wO)型..........2

X

類型二：構(gòu)造/(x)=*F(x)或P(x)=*(〃eZ,且"0)型.........3

e

類型三：構(gòu)造尸(%)=/(x)sin無或％x)=&型........................4

sinx

類型四：構(gòu)造/(x)=/(x)cosx或/(%)=△皂型.....................19

COSX

類型五：根據(jù)不等式(求解目標(biāo))構(gòu)造具體函數(shù)..................6

1、兩個(gè)基本還原

①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)="(x)g(x)r②八”)以；)一￥")’6)=[書了

[g(x)rg(x)

2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)

①泮"'(％)+叭%)]=[?(無)r高頻考點(diǎn)1：ex[f'(x)+f(x)]=[exf(x)]'

②尸[礦(X)+7/(X)]=[X"(X)T

高頻考點(diǎn)1：礦(%)+/(%)=[#(%)]'高頻考點(diǎn)2x[xf\x)+2/(%)]=[x2f(x)]'

③-⑴丁⑴=[綽r高頻考點(diǎn)1；尸(x)："x)=[答]

eeee

xf\x')-nf{x')/(%),

④-----------=[―

?XJi

高頻考點(diǎn)1：礦⑴/(x)=t/Wr高頻考點(diǎn)2礦(X)二2/(x)=[駕了

XXXX

⑤f\x)sinx+/(x)cos%="(%)sinx]r

⑥/'(%)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]f

序號條件構(gòu)造函數(shù)

1尸(x)g(x)+f(x)g'(x)>0F(x)=/(x)g(x)

2r(%)+/(x)<oF(x)=eV(x)

3f'(x)+nf(x)<0)

4xf'(x)+f(x)>0F(x)=xf(x)

5#V)+2f(x)<0產(chǎn)(%)=xRx)

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7/'(%)sin%+/(x)cos%>0F(x)=f(x)sinx

8f\x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=f(x)cosx

3、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)

①八X)：叭?=［配r高頻考點(diǎn)1：f(x)"(x)

eee

e礦(x)—叭x)_r/(%)-,,

②vn+l~?J

高頻考點(diǎn)1：礦叫/5)=[2^了高頻考點(diǎn)2：#V)-2/(x)=[/(x)r

XXXX

③/'(%)sin%-/(%)cos%=C，

sin2xsinx

f(x)cosx+/(x)sin%/(x)]，

⑥-------------2-----------=L------J

COSXCOSX

高頻考點(diǎn)

類型一：構(gòu)造％x)=x"(x)或E(x)=#(〃eZ,且〃W0)型

.X

典型例題

例題1.(23-24高二下?天津?階段練習(xí))已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(元)滿足

")-〃x)<0,且(2)=2,則止)-1>0的解集是()

A.(r,ln2)B.(In2,-H?)C.(0,e2)D.(e2,+co)

【答案】A

【分析】根據(jù)#'(x)-〃x)<0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=W，判斷其單調(diào)性，將/(e*)-ef。化

為g(e')>g(2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.

【詳解】令g(尤)=心，xe(O,心)，則g，(x)，'(”3<0,

XX

故g(x)=d立在(0,+功上單調(diào)遞減，結(jié)合“2)=2,得8⑵二工⑷句，

x2

由/(e、)-eX>0,得)(e')>i，即g(e。>g(2),「./<2,則x<ln2,

ex

即f(e')-1>0的解集是(3,ln2),

故選：A

例題2.(23-24高三上?江蘇南通?期末)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域均為(0,+8),

若對''(x)<2/(x),則()

A.4e2/(2)<16/(e)<e2/(4)B.e2/(4)<4e7(2)<16/(e)

C.e2/(4)<16/(e)<4e7(2)D.16/(e)<e7(4)<4e7(2)

【答案】C

【分析】

方法一：設(shè)8(切=與，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，從而求解；

方法二：設(shè)/(x)=L特例法得解.

【詳解】

方法一：回#'(x)<2〃x),

設(shè)g⑺=1,則g(力在(0,+功上單調(diào)遞減，

所以g(2)>g(e)>g(4),

...但>至1>jH,gp4e7(2)>16/(e)>e7(4),故C正確.

4e16

方法二：設(shè)〃X)=1,又e2<16<4，，c正確.

故選：c

例題3.(22-23高二下?重慶榮昌?期中)定義在R上的偶函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),且當(dāng)

x<0時(shí)，寸(x)+2/(x)<0.則()

A.半>卑B.9/(3)>/(1)

4e

C.4/(-2)<97(-3)D.牛

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2〃x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，再根據(jù)奇偶性可判斷各選項(xiàng).

【詳解】由當(dāng)尤<0時(shí)，#'(x)+2/(x)<0,

得尤2廣(力+2獷(尤)>0,

設(shè)g(x)=Y/(x)，貝Ug，(x)=x2/，(x)+2V(^)>0,

所以g(X)=在(-8,0)上單調(diào)遞增,

又函數(shù)”X)為偶函數(shù)，

所以g(x)=//(x)為偶函數(shù)，

所以g(X)=在在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+力)上單調(diào)遞減,

所以g(e)<g(2),QPe2/(e)<22/(2),所以學(xué)<理，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

g(3)<g⑴，即32〃3)<12〃1),所以9〃3)<〃1),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

g(—2)>g(—3),BP(-2)2/(-2)>(-3)2/(-3),所以4〃一2)>9〃一3),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

g(e)>g(3)=g(—3),即e2f(e)>(—3"(—3),所以孚>學(xué),D選項(xiàng)正確;

9e-

故選：D.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三上?天津?期中)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=/(尤)的導(dǎo)函數(shù)為y=/(無)，當(dāng)

若"==一2〃一2),c=l中3J

xwO時(shí),rw+—<o,則a,b,c的大小關(guān)

X

系正確的是()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(尤)=4(耳，根據(jù)條件判斷g(無)的奇偶性與單調(diào)性，進(jìn)而比較”,比c的

大小關(guān)系.

【詳解】根據(jù)題意,設(shè)g(x)=W).

因?yàn)閥=/(x)為奇函數(shù)，則g(-x)=(-x)y(-x)=獷(彳)=g(x),即函數(shù)g(x)為偶函數(shù).

當(dāng)尤>0時(shí)，g'(x)=f(x)+xf'(x)=xr(x)+^^]<0,

則函數(shù)g(無)在(0,+8)上為減函數(shù).

a=，6=-2f(—2)=g(—2)=g⑵，c=lng小n；]=g(lnJ=g(ln3),

2

_E—<ln3<2,貝ij有人vc〈a.

故選：B.

2.(23-24高三上,江西南昌?階段練習(xí))若函數(shù)y=〃x)滿足4''(尤)>-/(%)在R上恒成立,

且a>6,貝!J()

A.af(b)>bf(a)B.af[a)>bf(b)

C.af^a)<bf(b)D.af[b)<bf{a)

【答案】B

【分析】

利用求導(dǎo)逆運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)g(x)=4(x),由已知可得g(x)在R上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)

性即可求解.

【詳解】

解：設(shè)g(x)=01(尤),則g'(x)=>0,

由礦可知礦(x)+〃x)>0,所以g(x)在R上是增函數(shù),

又a>b,所以g(o)>g(b),即</(0)>妙(，)，

故選：B.

3.(多選)(23-24高二下?福建莆田?開學(xué)考試)已知尸⑺為函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)尤>0時(shí)，

有了(尤)-#'(x)>0恒成立，則下列不等式一定成立的是()

【答案】BD

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=#,其中x>0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)在(0,+e)上的單調(diào)性，結(jié)合單

調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.

f

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/區(qū)，其中x>0,則=-⑴：(x)<0,

所以，函數(shù)g(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，

對于AB選項(xiàng)，即可得A錯(cuò)B對;

對于CD選項(xiàng)，g]￡|>g⑴，即D對，C無法判斷.

故選：BD.

類型二：構(gòu)造1(%)=0造(%)或F(x)=4^(〃eZ,且"0)型

e

典型例題

例題1.(23-24高二下?河北石家莊?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(尤)，其導(dǎo)函數(shù)為

廣㈤,且〃x)<r(x),則c)

A./(2024)>/(2023)B.”2024)>貝2023)

C.y(2024)</(2023)D./(2024)<e2/(2023)

【答案】B

【分析】由題意可構(gòu)造函數(shù)8⑴二引，則g，(x)=,⑺］八->0,求得g(元)為增函數(shù),

從而可求解.

【詳解】由題意得/(x)</'(x),則「(x)-/(x)>0,且定義域?yàn)镽,

所以可構(gòu)造函數(shù)g(x)=",則3Hx),。,

ee

所以g(x)為增函數(shù)，則g(2024)=中學(xué)>g(2023)=平空，

則/(2024)>ef(2023),故B正確.

故選：B.

例題2.(2024?貴州貴陽?一模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X),其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且滿足

/'(x)-2/(x)<0,/(0)=1,貝U()

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2

。?山，D.川)<咱

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=?，，由廣(x)-2〃x)<0得g，(x)<0,進(jìn)而判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性,判斷

各選項(xiàng)不等式.

f(x\,/、(⑴看，—2〃尤)e"

【詳解】依題意令g(x)=+,則g(x)=儲葉2x

因?yàn)閺V⑺-2〃力<0在R上恒成立,

所以g'(x)<o在R上恒成立，

故g(x)在R上單調(diào)遞減,

所以g(—l)>g(。)，==故A不正確;

所以g(l)<g(O),即駕〈平,即/(l)<e2〃0)=e2,故B不正確;

ee

又gI<g(O),即<e,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)間1>g(l),即7GJ/(1),即"1)〈歹

故D正確;

---i-->--n-

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=/學(xué)，利用導(dǎo)數(shù)說明函

數(shù)的單調(diào)性，即可比較函數(shù)值的大小.

例題3.23-24高三?寧夏石嘴山?期中)已知函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為/(尤)，若/(X)<2尸(x)

恒成立，且〃ln4)=2,則不等式y(tǒng)(x)>3的解集是()

A.(In2,-H?)B.(21n2,+co)C.(^?,ln2)D.(TO,21n2)

【答案】B

【分析】根據(jù)已知不等式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】構(gòu)造新函數(shù)g(x)="^ng'(x)=",

e22e2

因?yàn)椤▁)<2「(x)恒成立，

所以g，(x)>0,因此函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

/(ln4)=2

g(ln4)=ln4

Pl萬

由/(x)>e2n^^>l=g(ln4)ng(x)>g(21n2)nx>21n2,

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)不等式構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二上?江蘇宿遷?期末)函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x恒有

r(x)-/(x)>o,則()

A./(-1)>OB./(3)>e/-(2)

C.”佃<”佃D.ef(3)>/(4)

【答案】B

【分析】

首先構(gòu)造函數(shù)g(x)=，h根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷.

【詳解】設(shè)g(x)=￥，則

由條件可知，r(x)-/(x)>0,所以g〈x)>0,則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則"0)=0,即〃-1)<〃0)=0,故A錯(cuò)誤;

由函數(shù)的單調(diào)性可知，/學(xué)〉/目，得/(3)>^(2),故B正確；

ee

由/畢</啰，得助'。卜/⑷，故D錯(cuò)誤.

ee

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x)=#,從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,

判斷選項(xiàng).

2.(22-23高三下?江西南昌?階段練習(xí))己知定義在(-2,2)上的函數(shù)“X)滿足

/(x)+e4V(-x)=0/(l)=e2,/'(X)為〃x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)xe[0,2)時(shí)，f'(x)>2f[x),則不

等式/"(2-尤)<e“的解集為()

A.(—Ll)B.(—1,2)

C.(1,4)D.(1,5)

【答案】C

【分析】由題意設(shè)g(x)=等,結(jié)合題意可得g(x)+g(-x)=。，即函數(shù)g(x)是定義在R上

的奇函數(shù)，又當(dāng)無e[0,2)時(shí)，〃x)>2/(x),則g，(x)J(x)?3>0,可得g(x)在[0,2)

e

上單調(diào)遞增，在(-2,0]上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性，即可得出答案.

【詳解】令g(x)=43,

e

則/(x)+e4V(-x)=0,即g(%)+g(r)=0,

故函數(shù)g(無)是定義在R上的奇函數(shù),

當(dāng)xe[0,2)時(shí)，f'(x)>2f(x),則gQ)=:叫*)>0,

e

故g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增,在(-2,0]上單調(diào)遞增，

所以g(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增，

又/(l)=e2,則g0)=§=i,

則不等式e?"(2-x)<e“，即綜?=g(2-x)<1=g⑴,

e

(—2v2—x<2

故1,解得l<x<4.

故選：C.

3.(22-23高二下?河南洛陽?期末)已知「(可是定義在R上的函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，對于任

意的實(shí)數(shù)尤,都有當(dāng)天>°時(shí)，/W+rW>o.若〃。+1)e%(3。),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

【答案】B

【分析】令g(x)=e"(x),根據(jù)〃同=七1,可得g(f)=g(x),即g(無)為偶函數(shù)，再

e

根據(jù)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)+r(x)>0,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)在(0,+8)上得單調(diào)性，再根據(jù)

/(a+l)>e2a-7(3a),gpefl+1/(a+l)>e3a/(3a),即g(a+l"g(3a),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)樗陨袭a(chǎn)=二〃耳=6-丫(一到，

令g(x)=e"/(x),則g(—x)=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)+r(x)>0,

所以g'(尤)=e[/(x)+—(切>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知g(力在(-七,0)上單調(diào)遞減,

因?yàn)椤癮+1)*2"/(3a),

所以網(wǎng)/(4+1)23"/(34),

所以g(a+l)2g(3a),gp|a+l|>|3a|,即(a+1)229a

BP8a2-2a-l<0,則(4a+l)(2a—1)VO,

解得故數(shù)a的取值范圍為：

，乙_14■乙—

故選：B.

類型三：構(gòu)造/(%)=/(x)sinx或％%)=以2型

sinx

典型例題

例題1.(22-23高二下?四川成都?期末)記函數(shù)/")的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若Ax)為奇函數(shù)，且

當(dāng)無［一5,。)時(shí)恒有/(x)cos%+/'(%)sinx>0成立，貝!J()

【答案】B

【分析】根據(jù)f(x)cos%+/(x)sinX>0,構(gòu)造函數(shù)g(九)=/(%)sinx,利用其單調(diào)性結(jié)合f(九)

奇函數(shù)性質(zhì)比較.

【詳解】令g(x)=/(%)sinx,貝！Jg'(x)=/(x)cosx+/'(x)sinx,

當(dāng)工￡'I,。］時(shí)恒有/(x)cosx+/(x)sinx>0,所以g'⑴>。，

則g(x)=〃x)sinx在［go］上單調(diào)遞增，

所以d4M一口則一“〕一］>一生1口即小。⑸卜口選項(xiàng)人錯(cuò)

誤；

g［W>g1口則-"HF*］-1，即嫄>-何閭選項(xiàng)B正確;

,又/(x)為奇函數(shù)，所以<

71

,選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?期末)已知函數(shù)/(無)的定義域?yàn)?0,兀)，其導(dǎo)函數(shù)是/'(x).

若對任意的xe(0,兀)有尸(x)sinx-/(x)cosr<0，則關(guān)于x的不等式/(%)>2嗎)sinx的解集

為()

A.(0,g)B.(0,-)C.D.(―,it)

3636

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=^H,利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)

sinx

性求解不等式即得.

【詳解】令函數(shù)g(x)=dH，xe(0㈤，求導(dǎo)得g，(x)=/'⑺sin":/⑺°°s”<。,

sinxsinx

y(_)

因此函數(shù)g(x)在(0,71)上單調(diào)遞減，不等式/(%)>2/Asiruo幺包>一&,

6sinx工

6

即g(無)>g(%，解得。<x<.

所以原不等式的解集為(0,9).

O

故選：B

2.(22-23高二下?四川成者B?期末)記函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),若Ax)為奇函數(shù)，且當(dāng)

【答案】B

【分析】根據(jù)/(x)cos尤+/'(x)sinX>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(%)sinx,利用其單調(diào)性結(jié)合/")

奇函數(shù)性質(zhì)比較.

【詳解】令g(x)=〃x)sinx,貝Ug〈x)=y(x)cosx+r(x)sinx,

當(dāng)工力一:。1寸恒有/(x)cosx+/(x)sinx>0,所以g'(x)>0,

則g(x)=/(%)sinx在

所以g>g

誤;

g>g

g<g

類型四：構(gòu)造/(x)=/(x)cosx或網(wǎng)x)=3型

COSX

典型例題

例題1.(2023高二上?寧夏石嘴山?期末)定義在里J上的函數(shù)/(X),/'⑺是它的導(dǎo)函數(shù),

且恒有尸00>〃力4011》成立.則()

A.鬲["</國B.V3/(l)<2cosl./^

C扃閨>2同D.⑸部佃

【答案】A

【分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)cosx,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，一一判斷各選項(xiàng),

即得到結(jié)論.

【詳解】

當(dāng)尤e[0,]),cosx>0

則不等式尸(力>/(x)-tan%等價(jià)為:⑺>/(龍).北；,

即cos即，(%)一sinxf(x)>0,

設(shè)g(x)=/(%)cosx,

貝ljg'(x)=cosV'(%)一sinxf(x)>0,

即函數(shù)g(x)在［o,3上單調(diào)遞增，

Tl

g(l)>g

2cosl-/(l)>73/^j,得不出何⑴<2cosl"《J,故B錯(cuò)誤.

扃故C錯(cuò)誤.

故D錯(cuò)誤.

故選：A.

例題2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知定義在［-■|,日上的函數(shù)/(尤)滿足〃f)=〃x)，當(dāng)

To,?時(shí)，不等式/(x)sinx+「(x)cosx<0恒成立(尸⑺為止)的導(dǎo)函數(shù))，若

67cosl=/(-1),bcos；=/(-ln&),c=2/fjj,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)G(X)=￡(D,分析函數(shù)G(X)的奇偶性及其在(0,外上的單調(diào)性，可得出

a=G(l),6=C=G［W］，結(jié)合函數(shù)G(x)在卜g］上的單調(diào)性可得出0、b、。的大

小關(guān)系.

【詳解】由題意得函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)G(X)=￡5,

COSX

/f(x)cosx+/(x)sinx

所以G'(x)=仃(明

IcosxJcos2x

易知當(dāng)時(shí)，G'(x)<0,所以函數(shù)G(x)在(0,北上單調(diào)遞減.

因?yàn)閍cosl=/(—l)=/(l),則a=?=G(l),

cosl

1

，則6==G

cos—

2

71

且c=2/二G

71

cos—

3

M0<!<l<j<p

因?yàn)楹瘮?shù)G(尤)在上單調(diào)遞減，

71

所以GI>G(1)>G,即〃>4>C,

故選：C.

7171

例題3.(2023高三上?江蘇南通?階段練習(xí))已知函數(shù)丁=〃力對于任意的俎滿足

2,2

t(x)cos尤+〃x)sinx>0(其中尸(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是()

A.f(O)>V2/QB.血/■［一

U扃口小D.〃。)>2同

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=3,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可比較函

數(shù)值大小.

【詳解】設(shè)g(x)=4立，則g，(x)=「(x)cosx：〃x)sinx>0,則g")在，弓,弓］上單調(diào)遞

增，

對于A,工⑼化簡得〃0)<&d",故A錯(cuò)誤；

,故B錯(cuò)誤;

對于D,<—,化簡得了(。)<2/故D錯(cuò)誤.

cos0cos-

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)不等式構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵是將