人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊課時作業(yè)5：6 3 2 二項式系數(shù)的性質練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.3.2二項式系數(shù)的性質基礎達標一、選擇題1．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))eq\s\up12(n)(n∈N*)的展開式中只有第6項系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項為()A．210 B．252C．462 D．10〖解析〗由于展開式中只有第6項的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項式系數(shù)，所以展開式項數(shù)為11，從而n＝10，所以展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)x30－5k.令30－5k＝0，得k＝6，于是得其常數(shù)項為Ceq\o\al(6,10)＝210.〖答案〗A2．已知關于x的二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(n)展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為()A．1 B．±1C．2 D．±2〖解析〗由條件知2n＝32，即n＝5，在通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,5)akxeq\f(15－5k,6)中，令15－5k＝0，得k＝3.所以常數(shù)項為Ceq\o\al(3,5)a3＝80，解得a＝2.〖答案〗C3．(x－1)11的展開式中，x的奇次冪項的系數(shù)之和是()A．2048 B．－1023C．－1024 D．1024〖解析〗(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，則－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②eq\f(②－①,2)＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1024，即為所求系數(shù)之和．〖答案〗D4．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a8的值為()A．10 B．45C．－9 D．－45〖解析〗x10＝〖1＋(x－1)〗10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝Ceq\o\al(8,10)＝Ceq\o\al(2,10)＝45.〖答案〗B5．設eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式的各項系數(shù)和為M，二項式系數(shù)和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為()A．－150 B．150C．300 D．－300〖解析〗由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4，所以展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)(5x)4－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k54－kCeq\o\al(k,4)x4－eq\f(3,2)k，令4－eq\f(3k,2)＝1，得k＝2，所以展開式中x的系數(shù)為(－1)2×52Ceq\o\al(2,4)＝150.〖答案〗B二、填空題6．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一個單調遞增數(shù)列，則k的最大值是__________．〖解析〗(1＋x)n展開式的各項系數(shù)為其二項式系數(shù)，當n＝10時，展開式的中間項第六項的二項式系數(shù)最大，故k的最大值為6.〖答案〗67．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))eq\s\up12(n)的展開式中，所有奇數(shù)項系數(shù)之和為1024，則中間項系數(shù)是__________．〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))eq\s\up12(n)展開式的各項系數(shù)為其二項式系數(shù)．∵二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為2n，而所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和與所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，故由題意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴展開式共12項，中間項為第六項、第七項，其系數(shù)為Ceq\o\al(5,11)＝Ceq\o\al(6,11)＝462.〖答案〗4628．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝__________．〖解析〗令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴l(xiāng)og2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.〖答案〗7三、解答題9．設(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解(1)令x＝0，則a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100，①所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.②與①式聯(lián)立相減得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f(（2－\r(3)）100－（2＋\r(3)）100,2).(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－eq\r(3))100·(2＋eq\r(3))100＝1.(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋eq\r(3)x)100的展開式中各項系數(shù)的和，在(2＋eq\r(3)x)100的展開式中，令x＝1，可得各項系數(shù)的和為(2＋eq\r(3))100，即|a0|＋|a1|＋…＋|a100|＝(2＋eq\r(3))100.10．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\s\up12(n)展開式的二項式系數(shù)之和為256.(1)求n；(2)若展開式中常數(shù)項為eq\f(35,8)，求m的值；(3)若(x＋m)n展開式中系數(shù)最大項只有第6項和第7項，求m的取值情況．解(1)二項式系數(shù)之和為2n＝256，可得n＝8.(2)設常數(shù)項為第k＋1項，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)x8－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,8)mkx8－2k，故8－2k＝0，即k＝4，則Ceq\o\al(4,8)m4＝eq\f(35,8)，解得m＝±eq\f(1,2).(3)易知m>0，設第k＋1項系數(shù)最大．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,8)mk≥Ceq\o\al(k－1,8)mk－1，,Ceq\o\al(k,8)mk≥Ceq\o\al(k＋1,8)mk＋1，))，化簡可求得eq\f(8m－1,m＋1)≤k≤eq\f(9m,m＋1).由于只有第6項和第7項系數(shù)最大，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＜\f(8m－1,m＋1)≤5，,6≤\f(9m,m＋1)＜7，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＜m≤2，,2≤m＜\f(7,2).))所以m只能等于2.能力提升11．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為()A．10 B．20C．30 D．120〖解析〗由2n＝64，得n＝6，∴展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k(0≤k≤6，k∈N)．由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.〖答案〗B12．在(2x－3y)10的展開式中，求：(1)各項的二項式系數(shù)的和；(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和；(3)各項系數(shù)之和；(4)奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和．解在(2x－3y)10的展開式中：(1)各項的二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024.(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝29＝512.偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(3,10)＋…＋Ceq\o\al(9,10)＝29＝512.(3)設(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各項系數(shù)之和即為a0＋a1＋a2＋…＋a10.令(*)中x＝y(tǒng)＝1，得各項系數(shù)之和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇數(shù)項系數(shù)的和為a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶數(shù)項系數(shù)的和為a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇數(shù)項系數(shù)的和為eq\f(1＋510,2)；①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶數(shù)項系數(shù)的和為eq\f(1－510,2).創(chuàng)新猜想13．(多選題)下列關于(a－b)10的說法，正確的是()A．展開式中的二項式系數(shù)之和是1024B．展開式的第6項的二項式系數(shù)最大C．展開式的第5項或第7項的二項式系數(shù)最大D．展開式中第6項的系數(shù)最小〖解析〗由二項式系數(shù)的性質知二項式系數(shù)之和Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024，故A正確；二項式系數(shù)最大的項為Ceq\o\al(