人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊課時作業(yè)5：7 5 正態(tài)分布練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE17．5正態(tài)分布基礎(chǔ)達標一、選擇題1．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，則P(0≤X≤1)＝()A．0.85 B．0.70C．0.35 D．0.15〖解析〗P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.〖答案〗C2．某廠生產(chǎn)的零件外徑X～N(10，0.04)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測得其外徑分別為9.9cm，9.3cm，則可認為()A．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常B．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常C．上午、下午生產(chǎn)情況均正常D．上午、下午生產(chǎn)情況均異?！冀馕觥揭驕y量值X為隨機變量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，記I＝〖μ－3σ，μ＋3σ〗＝〖9.4，10.6〗，則9.9∈I，9.3?I.故選A.〖答案〗A3．設(shè)隨機變量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，則實數(shù)a的值為()A．3 B．4C．5 D．6〖解析〗因為隨機變量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正態(tài)分布密度曲線的對稱性(對稱軸是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.〖答案〗B4．在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A．2386 B．2718C．3414 D．4772〖解析〗由P(－1≤X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.34135，則陰影部分的面積為0.34135，故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10000×0.34135≈3414.〖答案〗C5．設(shè)X～N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)＝0.02275，那么向正方形OABC中隨機投擲20000個點，則落入陰影部分點的個數(shù)的估計值為()附：(隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)．A．12076 B．13173C．14056 D．7539〖解析〗由題意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)≈0.02275，∴P(－1<X<3)≈1－0.02275×2＝0.9545，∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0<X<1)＝eq\f(1,2)P(0<X<2)≈0.34135，故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為20000×(1－0.34135)＝13173.〖答案〗B二、填空題6．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，則P(X<2)＝__________．〖解析〗由題意知曲線關(guān)于x＝2對稱，因此P(X<2)＝eq\f(1,2).〖答案〗eq\f(1,2)7．設(shè)隨機變量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，則P(2<X<4)＝__________．〖解析〗由X～N(3，1)，得μ＝3，所以P(3<X<4)＝eq\f(1,2)－p，即P(2<X<4)＝2P(3<X<4)＝1－2p.〖答案〗1－2p8．某市有48000名學生，一次考試后數(shù)學成績服從正態(tài)分布，平均分為80，標準差為10，從理論上講，在80分到90分之間有__________人．〖解析〗設(shè)X表示該市學生的數(shù)學成績，則X～N(80，102)，則P(80－10<X≤80＋10)≈0.6827.所以在80分到90分之間的人數(shù)為48000×eq\f(1,2)×0.6827≈16385(人)．〖答案〗16385三、解答題9．設(shè)X～N(3，42)，試求：(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．解∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，∴P(7≤X≤11)＝eq\f(1,2)〖P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)〗＝eq\f(1,2)〖P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，∴P(X＞11)＝eq\f(1,2)〖1－P(－5≤X≤11)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(3－8≤X≤3＋8)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.10．某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5，1)；第二條路線較長不擁擠，X服從N(6，0.16)．若有一天他出發(fā)時離點名時間還有7分鐘，問他應選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分鐘，問他應選哪一條路線？解還有7分鐘時：若選第一條路線，即X～N(5，1)，能及時到達的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)．若選第二條路線，即X～N(6，0.16)，能及時到達的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)．因為P1<P2，所以應選第二條路線．同理，還有6.5分鐘時，應選第一條路線．能力提升11．(多空題)已知某正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,2)，x∈(－∞，＋∞)，則函數(shù)f(x)的極值點為__________，X落在區(qū)間(2，3〗內(nèi)的概率為__________．〖解析〗由正態(tài)分布的概率密度函數(shù)知μ＝1，σ＝1，所以總體分布密度曲線關(guān)于直線x＝1對稱，且在x＝1處取得最大值．根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的特點可知x＝1為f(x)的極大值點．由X～N(1，1)知P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)〖P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－2×1<X≤1＋2×1)－P(1－1<X≤1＋1)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.〖答案〗x＝10.135912．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間〖187.8，212.2〗的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，從而P〖187.8≤Z≤212.2〗＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.6827.②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間〖187.8，212.2〗的概率為0.6827，依題意知X～B(100，0.6827)，所以E(X)＝100×0.6827＝68.27.創(chuàng)新猜想13．(多選題)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)>P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)>P(Y≥t)〖解析〗由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B正確；當t為任意正數(shù)時，由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正確，D錯．〖答案〗BC14．(多選題)某次我市高三教學質(zhì)量檢