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人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例,了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實(shí)例,會(huì)通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性.知識(shí)點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系1.相關(guān)關(guān)系的定義:兩個(gè)變量有關(guān)系,但沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系.思考相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?〖答案〗不是.函數(shù)關(guān)系是唯一確定的關(guān)系.2.相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān).①正相關(guān):當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì);②負(fù)相關(guān):當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì).(2)按變量間是否有線(xiàn)性特征分為線(xiàn)性相關(guān)和非線(xiàn)性相關(guān)(曲線(xiàn)相關(guān)).①線(xiàn)性相關(guān):如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線(xiàn)附近,我們稱(chēng)這兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān);②非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān):如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線(xiàn)性相關(guān),我們稱(chēng)這兩個(gè)變量非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān).知識(shí)點(diǎn)二相關(guān)關(guān)系的刻畫(huà)1.散點(diǎn)圖:為了直觀描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征,把每對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái),由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖,叫做散點(diǎn)圖.2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)我們常用樣本相關(guān)系數(shù)r來(lái)確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)的相關(guān)程度,其中r=eq\f(\i\su(i=1,n,)xi-\x\to(x)yi-\x\to(y),\r(\i\su(i=1,n,)xi-\x\to(x)2)\r(\i\su(i=1,n,)yi-\x\to(y)2)).(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為〖-1,1〗.①若r>0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);②若r<0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān);③當(dāng)|r|越接近1時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng);④當(dāng)|r|越接近0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱.1.函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系.(√)2.樣本相關(guān)系數(shù)r越大,兩變量的相關(guān)性越強(qiáng).(×)3.散點(diǎn)圖可以直觀地分析出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)性.(√)4.若變量x,y滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系,則這兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān).(×)一、變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)(多選)下列關(guān)系中,屬于相關(guān)關(guān)系的是()A.正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系B.農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系C.出租車(chē)費(fèi)與行駛的里程D.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系〖答案〗BD〖解析〗A中,正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系;B中,農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但具有相關(guān)關(guān)系;C為確定的函數(shù)關(guān)系;D中,降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系.(2)某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)x與銷(xiāo)售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(單位:百萬(wàn)元):x24568y3040605070①畫(huà)出散點(diǎn)圖;②從散點(diǎn)圖中判斷銷(xiāo)售金額與廣告支出費(fèi)成什么樣的關(guān)系?解①以x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo),y對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo),所作的散點(diǎn)圖如圖所示.②從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告支出費(fèi)與銷(xiāo)售金額之間具有相關(guān)關(guān)系,并且當(dāng)廣告支出費(fèi)由小變大時(shí),銷(xiāo)售金額也大多由小變大,圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線(xiàn)的附近,即x與y成正相關(guān)關(guān)系.反思感悟兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法(1)根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn):借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷.(2)利用散點(diǎn)圖:通過(guò)散點(diǎn)圖,觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律,直觀地進(jìn)行判斷.如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線(xiàn)附近,那么這兩個(gè)變量就是線(xiàn)性相關(guān)的,注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響.跟蹤訓(xùn)練1(多選)在下列所示的四個(gè)圖中,每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是()〖答案〗BC〖解析〗圖A的兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系;圖BC的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系;圖D的兩個(gè)變量之間既不是函數(shù)關(guān)系,也不是相關(guān)關(guān)系.二、樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例2(1)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A,B兩變量的線(xiàn)性相關(guān)性做試驗(yàn),并用回歸分析方法分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r如下表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A,B兩變量有更強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性()A.甲B.乙C.丙D.丁〖答案〗D〖解析〗|r|越接近1,相關(guān)性越強(qiáng),故選D.(2)在一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點(diǎn)圖中,若這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為-1,則所有的樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)滿(mǎn)足的方程可以是()A.y=-eq\f(1,2)x+1 B.y=x-1C.y=x+1 D.y=-x2〖答案〗A〖解析〗∵這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為-1,∴這一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)線(xiàn)性相關(guān),且是負(fù)相關(guān).∴可排除B,C,D,故選A.反思感悟樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)r的絕對(duì)值越接近0,相關(guān)性越弱.(2)r的絕對(duì)值越接近1,相關(guān)性越強(qiáng).跟蹤訓(xùn)練2(1)對(duì)變量x,y有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖圖1;對(duì)變量u,v有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A.變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)〖答案〗C〖解析〗由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷,變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān).(2)(多選)對(duì)兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)r,下列說(shuō)法正確的是()A.|r|越大,相關(guān)程度越大B.|r|越小,相關(guān)程度越大C.|r|趨近于0時(shí),沒(méi)有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系D.|r|越接近1時(shí),線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A,|r|越大,相關(guān)程度越大,A正確;對(duì)于B,|r|越小,相關(guān)程度越小,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,|r|趨近于0時(shí),線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系越弱,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,|r|越接近1時(shí),線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng),D正確.綜上,正確的是AD.三、樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用例3某廠(chǎng)的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位:百萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位:百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系:x2468y30405070(1)畫(huà)出(x,y)的散點(diǎn)圖;(2)計(jì)算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù),并刻畫(huà)它們的相關(guān)程度.解(1)畫(huà)出(x,y)的散點(diǎn)圖如圖所示.(2)eq\x\to(x)=5,eq\x\to(y)=47.5,eq\i\su(i=1,4,x)eq\o\al(2,i)=120,eq\i\su(i=1,4,y)eq\o\al(2,i)=9900,eq\i\su(i=1,4,x)iyi=1080,故樣本相關(guān)系數(shù)r=eq\f(\i\su(i=1,4,x)iyi-4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i=1,4,x)\o\al(2,i)-4\x\to(x)2\i\su(i=1,4,y)\o\al(2,i)-4\x\to(y)2))=eq\f(1080-4×5×47.5,\r(120-4×529900-4×47.52))≈0.9827.由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827,可以推斷生產(chǎn)原料耗費(fèi)與銷(xiāo)售額這兩個(gè)變量正線(xiàn)性相關(guān),且相關(guān)程度很高.反思感悟線(xiàn)性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點(diǎn)圖:散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷,其圖象越接近直線(xiàn),相關(guān)性越強(qiáng).(2)樣本相關(guān)系數(shù):樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度,其絕對(duì)值越大,相關(guān)性越強(qiáng).跟蹤訓(xùn)練3假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位:年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位:萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料:x23456y2.23.85.56.57.0計(jì)算y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001,已知eq\i\su(i=1,5,x)eq\o\al(2,i)=90,eq\i\su(i=1,5,y)eq\o\al(2,i)≈140.8,eq\i\su(i=1,5,x)iyi=112.3,eq\r(79)≈8.9,eq\r(2)≈1.4).解∵eq\x\to(x)=eq\f(2+3+4+5+6,5)=4,eq\x\to(y)=eq\f(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0,5)=5.eq\i\su(i=1,5,x)iyi-5eq\x\to(x)eq\x\to(y)=112.3-5×4×5=12.3,eq\i\su(i=1,5,x)eq\o\al(2,i)-5eq\x\to(x)2=90-5×42=10,eq\i\su(i=1,5,y)eq\o\al(2,i)-5eq\x\to(y)2=140.8-125=15.8,∴r=eq\f(\i\su(i=1,5,x)iyi-5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i=1,5,x)\o\al(2,i)-5\x\to(x)2\i\su(i=1,5,y)\o\al(2,i)-5\x\to(y)2))=eq\f(12.3,\r(10×15.8))=eq\f(12.3,\r(158))=eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.1.(多選)下列命題正確的是()A.任意兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系B.圓的周長(zhǎng)與該圓的直徑具有相關(guān)關(guān)系C.某商品的需求量與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系D.當(dāng)兩個(gè)變量相關(guān)且樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān)〖答案〗CD〖解析〗A顯然不對(duì),B是函數(shù)關(guān)系,CD正確.2.若變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.9832,則變量y與x之間()A.不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系B.具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系C.它們的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系還需要進(jìn)一步確定D.不確定〖答案〗B〖解析〗變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.9832,|r|=0.9832接近1,樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大,相關(guān)性越強(qiáng),∴變量y與x之間有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,故選B.3.兩個(gè)變量x,y的樣本相關(guān)系數(shù)r1=0.7859,兩個(gè)變量u,v的樣本相關(guān)系數(shù)r2=-0.9568,則下列判斷正確的是()A.變量x與y正相關(guān),變量u與v負(fù)相關(guān),變量x與y的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)B.變量x與y負(fù)相關(guān),變量u與v正相關(guān),變量x與y的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)C.變量x與y正相關(guān),變量u與v負(fù)相關(guān),變量u與v的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)D.變量x與y負(fù)相關(guān),變量u與v正相關(guān),變量u與v的線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)〖答案〗C〖解析〗由樣本相關(guān)系數(shù)r1=0.7859>0知x與y正相關(guān),由樣本相關(guān)系數(shù)r2=-0.9568<0知u,v負(fù)相關(guān),又|r1|<|r2|,∴變量u與v的線(xiàn)性相關(guān)性比x與y的線(xiàn)性相關(guān)性強(qiáng).故選C.4.據(jù)兩個(gè)變量x,y之間的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖,這兩個(gè)變量是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系________.(填“是”或“否”)〖答案〗否〖解析〗圖中的點(diǎn)分布雜亂,兩個(gè)變量不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.5.部門(mén)所屬的10個(gè)工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價(jià)值與工業(yè)增加值資料如下表(單位:百萬(wàn)元):固定資產(chǎn)價(jià)值33566789910工業(yè)增加值15172528303637424045根據(jù)上表資料計(jì)算的樣本相關(guān)系數(shù)約為_(kāi)_______.〖答案〗0.9918〖解析〗eq\x\to(x)=eq\f(3+3+5+6+6+7+8+9+9+10,10)=6.6,eq\x\to(y)=eq\f(15+17+25+28+30+3
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