人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：6 2 1　排列

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE16．2排列與組合6.2.1排列課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例理解排列的概念.2.能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.通過學(xué)習(xí)排列的概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究“排列三”是中國福利彩票的一種，它是使用搖獎(jiǎng)機(jī)、搖獎(jiǎng)球進(jìn)行搖獎(jiǎng)的，“排列三”，“排列五”共同搖獎(jiǎng)，一次搖出5個(gè)號(hào)碼，“排列三”的中獎(jiǎng)號(hào)碼為當(dāng)期搖出的全部中獎(jiǎng)號(hào)碼的前3位，“排列五”的中獎(jiǎng)號(hào)碼為當(dāng)期搖出的全部中獎(jiǎng)號(hào)碼，每日進(jìn)行開獎(jiǎng)．問題福彩3D即“排列三”搖出的號(hào)碼的總的結(jié)果數(shù)是多少？〖提示〗以第1位數(shù)為例，第1位的獎(jiǎng)號(hào)是從0到9這10個(gè)數(shù)字中搖出一個(gè)，每個(gè)數(shù)字都有相同概率搖出，所以第1位上就有10種可能，同理第2位、第3位都各有10種可能，前3位總共就有1000種組合方法．排列的定義排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序”一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．拓展深化〖微判斷〗1．在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化．(×)〖提示〗在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列與原來的排列不同．2．在一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)．(√)3．從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列．(×)〖提示〗從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一個(gè)排列．4．從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽的所有不同的選法是一個(gè)排列問題．(√)〖微訓(xùn)練〗1．有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則送法共有()A．5種 B．3種C．60種 D．15種〖解析〗從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)的一種送法，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此，共有送法5×4×3＝60(種)．〖答案〗C2．從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有__________種不同的選法(用數(shù)字作答)．〖解析〗從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，即從5個(gè)不同元素中選出2個(gè)元素進(jìn)行排列，不同的選法種數(shù)為5×4＝20.〖答案〗20〖微思考〗用1，2，3這三個(gè)數(shù)字共可以排成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？123與321是不是相同的排列？〖提示〗共可以得到6個(gè)三位數(shù)，123與321是不同的排列，只有兩個(gè)排列元素相同，順序也相同時(shí)，才是同一個(gè)排列.題型一排列的概念〖例1〗判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信．解(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長與當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)，(5)，(6)屬于排列問題.規(guī)律方法判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的方法〖訓(xùn)練1〗下列問題是排列問題嗎？(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？(2)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？(3)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排3位客人入座，又有多少種方法？解(1)不是；(2)是；(3)第一問不是，第二問是．理由：由于加法運(yùn)算滿足交換律，所以選出的兩個(gè)元素做加法求結(jié)果時(shí)，與兩個(gè)元素的位置無關(guān)，但列除法算式時(shí)，兩個(gè)元素誰作除數(shù)，誰作被除數(shù)不一樣，此時(shí)與位置有關(guān)．選出3個(gè)座位與順序無關(guān)，“入座”問題同“排隊(duì)”，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排3位客人入座是排列問題．題型二排列的列舉問題〖例2〗(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？(2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列．解(1)由題意作“樹狀圖”，如下．故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個(gè)．(2)由題意作“樹狀圖”，如下．故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.規(guī)律方法利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列．〖訓(xùn)練2〗寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法．解由題意作“樹狀圖”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.題型三排列的簡單應(yīng)用〖例3〗用具體數(shù)字表示下列問題．(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，其商的個(gè)數(shù)；(2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)；(3)有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，其分配方案的個(gè)數(shù)．解(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(個(gè))．(2)因?yàn)榻M成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是“0”，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可，共有3×2×1＝6(個(gè))．(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120(個(gè))分配方案．規(guī)律方法要想正確地表示排列問題的排列個(gè)數(shù)，應(yīng)弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個(gè)元素和n(m≤n)個(gè)不同的位置各是什么.〖訓(xùn)練3〗(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法．(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有7×7×7＝343(種)不同的送法.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．排列有兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排成一列”．這里“一定的順序”是指每次取出的元素與它所排的“位置”有關(guān)，所以，取出的元素與“順序”有無關(guān)系就成為判斷問題是否為排列問題的標(biāo)準(zhǔn)．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運(yùn)算可以看作排列問題()A．1 B．3C．2 D．4〖解析〗因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問題．〖答案〗C2．從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙〖解析〗選出兩人，兩人的不同順序都要考慮．〖答案〗C3．某電視臺(tái)一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個(gè)廣告，其中2個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個(gè)商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()A．8種 B．16種C．18種 D．24種〖解析〗可分三步：第一步，排最后一個(gè)商業(yè)廣告，有2種；第二步，在前兩個(gè)位置選一個(gè)排第二個(gè)商業(yè)廣告，有2種；第三步，余下的兩個(gè)排公益宣傳廣告，有2種．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的播放方式共有2×2×2＝8(種)．故選A.〖答案〗A4．8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有__________種不同的種法(用數(shù)字作答)．〖解析〗本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問題，所以不同的種法共有8×7×6×5＝1680(種)．〖答案〗16805．某信號(hào)兵用紅、黃