上海市楊浦某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高三年級(jí)上學(xué)期

高三開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

2024.9

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫

結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.

1.不等式|2x-l|>l的解集是.

2.已知集合尸=五gw。1,Q=(a,+oo),若PuQ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

3.若平面向量N=(3,4),|B|=2,a-b=-6,則向量2,B的夾角為.

4.在(x+2)〃的展開式中(其中〃是正整數(shù))，各項(xiàng)的系數(shù)和為729,則一項(xiàng)的系數(shù)為.

5.已知函數(shù)y=/(%)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ex+3x-2,當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=.

6.已知z=2+i(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程Jr之一4%+加=0的一個(gè)根，則Im(加?亍)=

+00(1

7.等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=3,公差為d,若%=4,則X備

n-117

8.已知。，(3,7是不同的平面，/,m,〃是不同的直線，下列命題中:

(1)若a上夕,二口，=/，m.LI,則加J_/?；(2)若。〃9，mua,nu0,則加〃〃；

(3)若/_La,-m,11Im,則2，,且夕_L/；(4)若a_L，，/_L，，a[\y-I,則

所有真命題的序號(hào)是.

9.己知尸(能,6)是第二象限角a終邊上的一個(gè)點(diǎn)，且tan2a=—24——，將。尸繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兀;至

OP',則點(diǎn)尸'的坐標(biāo)為.

10.如圖，沿東西方向相距4海里的兩個(gè)小島/,B,島上按照了信號(hào)接收塔，艦艇尸沿著某種確定的圓錐

曲線軌跡航行，A,8是曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)P在小島8正北方向《處時(shí)，測(cè)得距小島23海里.當(dāng)艦艇航行至

小島B西偏南60°的月處時(shí)，測(cè)得距小島51.5海里.在以線段N8中點(diǎn)為圓心，1海里為半徑的圓形海域

內(nèi)布滿暗礁(不包含邊界)，艦艇P在航行的過程中，會(huì)放下巡邏船0,巡邏船在以總為直徑的圓域內(nèi)全

面巡邏，艦長認(rèn)為不會(huì)有觸礁的風(fēng)險(xiǎn)，理由是

AB產(chǎn)

P,

21

11.已知正數(shù)Q,b,c滿足c<l,a+b=4,則一+------的最小值為___________.

abbc（X-c）

12.已知數(shù)列｛%｝是有無窮項(xiàng)的等差數(shù)列，>0,公差d>0,若滿足條件：①38是數(shù)列｛%｝的項(xiàng)；②

對(duì)任意的正整數(shù)加，〃（m不n）,都存在正整數(shù)左，使得用“％,=歿.則滿足這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)是

__________種.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑，

xX

13.函數(shù)/（x）=sinW+cosm的最小正周期是（）

/271371

A.6兀B.3兀C.—D.——

32

14.下列函數(shù)在區(qū)間（0,+00）上為嚴(yán)格減函數(shù)的是（）

A.y=cosxB.y=2因C.y=x~2=x2-1

15.在正方體中，|ZB|=3,點(diǎn)￡是線段上靠近點(diǎn)4的三等分點(diǎn)，在三角形4Ao

內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P（包括邊界）則|上4|十|尸￡|的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.3G

16.已知點(diǎn)尸，0分別是拋物線C:r=4x和圓￡：/+/—10》+21=0上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線。的焦點(diǎn)

為F,則2|尸。|+|的最小值為（）

A.6B.2+2V5C.4GD.4+2V3

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的

規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟

17.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

已知等差數(shù)列｛%｝的公差d>0,前”項(xiàng)和為S“，且%%=—5,58=-16.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

Qn-2k_］

(2)若〃=：'-化eN*),求數(shù)列上｝的前2〃項(xiàng)和七.

18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

對(duì)于函數(shù)/(X),若其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)無滿足/(-X)=-/(x),則稱f(x)為“準(zhǔn)奇函數(shù)”.

(1)已知函數(shù)/(%)=上‘，試問/(X)是否為“準(zhǔn)奇函數(shù)”？說明理由：

X+1

(2)若g(x)=3'+用為定義在［-1,1］上的“準(zhǔn)奇函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

19.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

如圖，在圓錐P。中，NC為圓錐底面的直徑，8為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)。在線段3c上，

AC=2AB=6,CD=2DB.

(1)證明：AD，平面2。尸；

(2)若圓錐P0的側(cè)面積為18兀，求二面角0-AP-/的余弦值.

20.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

己知函數(shù)/(》)=2*+2，其中。為實(shí)常數(shù).

(1)若/(0)=7,解關(guān)于x的方程/(x)=5；

(2)討論函數(shù)/(x)的奇偶性;

(3)當(dāng)a=l時(shí)，用定義證明函數(shù)/(x)在［0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，并解不等式/(2x)〉/(x+l).

21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

中國古典園林洞門、洞窗具有增添園林意境，豐富園林文化內(nèi)涵的作用，門、窗裝飾圖案成為園林建筑中

具有文化價(jià)值以及文化內(nèi)涵的裝飾.如圖1所示的一種橢圓洞窗，由橢圓G和圓G組成，R,8是橢圓

的兩個(gè)焦點(diǎn)，圓&以線段公鳥為直徑，

圖1圖2圖3

(1)設(shè)計(jì)如圖所示的洞窗，橢圓。的離心率應(yīng)滿足怎樣的范圍？

(2)經(jīng)測(cè)量橢圓的長軸為4分米，焦距為2分米.

(i)從片射出的任意一束光線片Z照在左側(cè)距橢圓中心4墳?zāi)沟呢Q直墻壁上，如圖2所示.建模小組的同

學(xué)用長繩拉出橢圓洞窗的切線8為切點(diǎn)，然后用量角器探究猜測(cè)NN片5是定值，請(qǐng)幫他們證明上述

猜想.

(ii)建模小組的同學(xué)想設(shè)計(jì)一個(gè)如圖3的四邊形裝飾，滿足：點(diǎn)尸是q上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P,。關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，過尸和。分別做圓的切我，交于R,S,求四邊形裝飾PRQS面積S的取值范圍.

2024-2025學(xué)年上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高三年級(jí)上學(xué)期高三

開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷參考答案

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題

每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.

1.【答案】(-oo,0)U(l,+oo)

【解析】|2》一1|〉1=2》一1〉1或2》一1<一1=>》>1或》<0.

2.【答案】(―叫―1)

Y-L1

【解析】--<0^-1<x<2,?:PuQ、

x—2

3

3.【答案】7i-arccos-

5

【解析】|不|=5,曰|=2,

————3—3

5-Z7=|5|x|Z7|xcos〈1,6〉=一6ncos(a,b)=--n〈5,6〉=兀-arccos].

4.【答案】60

【解析】由題意知3〃=729n〃=6,則一項(xiàng)的系數(shù)為亡x2?=60.

5.【答案】-e*+3%+2

【解析】設(shè)x<0,則—x>0,則/(x)=—/(—x)=—3x—2)=—"，+3%+2.

6.【答案】-5

【解析】由題意知另一個(gè)根為2—/,則(2+z)(2—z)=5=機(jī)，

Im(m-z)=Im(5(2-z))=Im(10-5z)=-5.

3

7.【答案】-

4

1

Id、73

【解析】a2d^d=~,y==±=±.

3a1+]-n-\14

/0=1IqJ1__，

3

8.【答案】(3)(4)

【解析】(1)錯(cuò)誤，直線加需要屬于平面a；(2)兩直線還可以是異面，故錯(cuò)誤；

(3)正確；(4)正確.

9.【答案】(—拒,70)

【解析】設(shè)P(x,y),

tan2。=----=----------ntana--(舍)，tana-——=-n加=一8,

71-tan2a34m

34

/.OP=10,sina=~,cosa=——

55

nx=lOcosa--二10cosacos〃+sinasin巴=-V2

I4jI44j

ny=lOsina--二10sinacos--sin—cosa=7行.

I4jI44J

10.【答案】無論尸在何處，以必為直徑的圓均與布滿暗礁的圓外切

【解析】以45所在的軸為x軸，45的垂直平分線為〉軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

4(—2,0),5(2,0),由題意知4<=5,BP]=3,APX-BPX=2,

22

AP2=A/4+1.5-2x4xl.5xcos600=1,BP2=^,AP2-BP,=2,

則可知艦艇航行的軌跡方程是雙曲線，且a=l,c=2nb=道，

則方程為——1-=1(x21),暗礁區(qū)域的圓心為0(0,0),半徑為1,

%+2%'

設(shè)尸(工,為)，以依為直徑的圓域內(nèi)全面巡邏，設(shè)圓心為C,則圓心C

則

oc=jo+2］卜;=『+4/+4+3(x；-1)=產(chǎn)+4/+1=2/+1

則無論尸在何處，以PB為直徑的圓均與布滿暗礁的圓外切.

11.【答案】2

【解析】由題意知c(l-c)W［竺/J=；,當(dāng)c=1■時(shí)取等號(hào)，故

2124a+b—4191111+?

-----1-------------->-----1—二------H——-----|—----——(a+b)

abbc(l-c)abblabb2a2b2a8a

1(b9Q、11[b9a

=-10+-+—>-10+2.-X—=2,當(dāng)6=3a=3時(shí)取等號(hào)，

8(aJ8^\ab)

121

綜上，當(dāng)a=l,b=3,c=土?xí)r，—+--------的最小值為2.

2abZ>c(l-c)

12.【答案】69

【解析】根據(jù)題意，設(shè)尤是數(shù)列｛%｝中的任意一項(xiàng)，則x+d,x+2d均是｛%｝中的項(xiàng)，

設(shè)。加=x(x+d),an=x(x+2d),則?！ㄒ?=x(x+2d)-x(x+d)=xd-(n-m)d,

因?yàn)閐>0,所以x=〃-冽，即數(shù)列｛%｝的每一項(xiàng)均是整數(shù)，

所以數(shù)列｛%｝的每一項(xiàng)均是自然數(shù)，則d為整數(shù)，而d>0,則d是正整數(shù)，

由題意，設(shè)&=38,則歿+i=38+d是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，故38(38+4)是數(shù)列中的項(xiàng)，

設(shè)4=38(38+d),則4—口左=38(38+d)—38=38x37+38d=(s—k)d,

變形可得：(s—左—38>d=38x37,

因?yàn)閟—左—38eN,且deN*,故d是38x37的約數(shù)，

所以d=l、2、19、37、2義19、2x37、19義37、38x37,

當(dāng)d=l時(shí)，ax=38—(A:—l)tf>0,得左=1、2、…、38、39,

故為=38、37、…2、1、0,共39種可能；

當(dāng)d=2時(shí)，%=38—2(左一1)20,得k=1、2、…、18、19、20,

故為=38、36、…2、0,共20種可能；

當(dāng)d=19時(shí)，q=38—19(左一l)d20,得左=1、2、3,

故為=38、19/0,共3種可能；

當(dāng)d=37時(shí)，=38—37(k—l)d>0,得左=1、2,

故％=38、1,共2種可能；

當(dāng)d=38時(shí)，a,=38-38(^-1)67>0,得左=1,故q=38,共1種可能；

當(dāng)d=2x37時(shí)，t/j=38—2x—V)d>0,得左=1,故q=38,共1種可能；

當(dāng)4=19x37時(shí)，4=38-19x37（左—l）d..0,得左=1,故4=38,共1種可能;

當(dāng)d=38x37時(shí)，q=38—38x37(左—l)d20,得k=1,故%=38,共1種可能；

綜上，滿足題意的數(shù)列共有39+20+3+2+2+1+1+1=69種.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.【答案】A

14.【答案】C

【解析】由基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可得C,故選C.

15.【答案】C

【解析】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以'、DC、DA所在直線為x、八z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由正方體的對(duì)稱性可知，平面48。，2(3,0,0),G(0,3,3),￡(3,1,0),

設(shè)/關(guān)于平面48。的對(duì)稱點(diǎn)為"，AQ=(-3,3,3)，AQ=732+32+32=373,

—X—x3x3x3

由等體積法求得A到平面A.BD的距離h=

-x-x3V2x3V2X------

32

—.2——?

AA'=-AQ=(-2,2,2).

設(shè)H(x,y,z),則衣=(x—3/,z)=(—2,2,2),即4(1,2,2),

.-.K?=(-2,1,2),可得|PZ|+|PE|的最小值是，(-2)2+F+2?=3.故選:c.

16.【答案】C

【解析】設(shè)點(diǎn)0的坐標(biāo)為(%,%),7(7,0)是x軸上一點(diǎn)，

由拋物線的性質(zhì)知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),則|QF|=J(x0-1『+了］,\QT\=J(/T)2+口：,

令|QB=2|QT|,則小。一丁+需=2加。-)2+說,

將第=—『+10%—21，代入化簡得”4,即點(diǎn)7(4,0)滿足|。列=2|。7|,

所以2|尸。|+|。尸|=2||+2||=2(|尸。|+|QT|),

,2\17~2VI~4

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為［*|07|=’［全—4)+j,2=^-7i+16>273,

所以2|尸。|+|QF|=2(|尸。|+||)22|PT4G.故選：C.

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫

出必要的步驟.

4/、

17.【答案】(1)。〃=2〃—11(2)2/—15+§(4〃—1)

【解析1(1)由生氣=—5,Sg——169可得(%+2d)(/+5d)=—5,8%+28d=—16,

即241+1d=—4,由于d>0,可得4+2d——5,q+5d-1,

解得力=—9,d=2,則氏=一9+2(〃-1)=2〃一11.

an,n=2k—\2〃-11,〃=2^-1/*

⑵b[keN

n2\n=2k2"=2左'

可得數(shù)列出｝的前加項(xiàng)和

T2K=(—9—5—1+3+…+4〃—13)+(4+16+…+4")=；〃(—9+4〃—13)+

=2"-11?+1(4,'-1).

18.【答案】(1)不是；(2)-,—1

3

【解析】(1)要想/(x)為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，存在x滿足/(—x)=—/(x),

只需——=—二上有解，整理得：/+3=0無解，

—X+1x+1

J(x)不是“準(zhǔn)奇函數(shù)”.

(2)因?yàn)間(x)=3工+》為定義在［-1,1］的“準(zhǔn)奇函數(shù)”,

所以+機(jī)=—3"—加在［―1,1］上有解，即2切=—(3,+3一工)在［―1,1］上有解,

令/=3*e—,3,，2機(jī)=一(7+1]在/e—,3上有解,

[3」It)13」

又對(duì)勾函數(shù)＞=7+；在上單調(diào)遞減，在(1,3］上單調(diào)遞增，且”;時(shí)，J=y；/=3時(shí),

10

y=一

3

jmin=1+1=2,y=/+；的值域?yàn)?,y'2mG-y,-2,解得機(jī)e-1,-1

故實(shí)數(shù)加的取值范圍是-3,-1.

3

19.【答案】（1）見解析；（2）

5

【解析】（1）因?yàn)槭矫?8C,BALBC,故以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，

而為無軸正方向，反；為y軸正方向，與而同向的方向?yàn)閦軸正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|OP|=x,

’33/31「336)

故8(0,0,0),2(3,0,0),O-，^―,0,P—,工,x,￡>(0,73,0),

、22J(22,

f33A/3J

貝I」石=(-3,6,0),BO=BP=

122J

因?yàn)槌?團(tuán)=—3x2+Gx迪=0,力.麗=—3x』+Gx述=0,

2222

故4DL80,ADVBP,又BPCBO=B,所以40,平面80P.

（2）由題意，圓錐側(cè)面積S=3兀義尸幺=18兀，所以R4=6,OP=x=3A/3,

由（1）知，赤=（—3,g,0）為平面8。尸的一個(gè)法向量,

設(shè)平面4gp的一個(gè)法向量為玩=（a,b,c）,而方=（3,0,0）,

m-BA=3。=0

故＜_3r-，取6=2,可得比=(0,2—1),

m-BP=-a+—b+3>j3c=0

22

V5

則|cos〈西40〉|=即二面角O-BP-A的余弦值為—.

5

20.【答案】（1）x=l或x=log23；（2）見解析；（3）一00,一；）ua,+00）

【解析】(1)由題意/(0)=1+。=7,r.a=6,/(x)=2A+—,

2X

由2*+(=5可得2工=2或2*=3,.?.1=1或》=1。823.

(2)函數(shù)定義域R,

①當(dāng)/（X）為奇函數(shù)時(shí)，/（—X）=-/（X），

2T+=—(2*+~^~]，(1+<2)+^7J=0,.1a=一1;

②當(dāng)/(x)為偶函數(shù)時(shí)，/(-%)=f(x),

—/="+品，,(I-a)"q[=0，?,■?=1.

③當(dāng)aw±1時(shí)，函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù)，

r

(3)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=2+,任取X],x2e[0,+oo),設(shè)毛<%,

f(xA-f(xA=^+--—2X>--=2X2—2』+-——-

J、乙)，\1/2%22*12*22,

=2*-2X1+2"2*=⑵_2』)(1——i—],

2x2.2不、/12巧.2X})

又2、2—2%〉0,142$<2*,所以1—之、[,、]〉0,故/(%)一/(石)>0，即/(》2)>/(苞)，

函數(shù)/(x)在[0,+oo)上是嚴(yán)格增函數(shù)，因此J(2x)>/(x+1)2x|>|x+l|,

解集為U(1,+℃).

（6、

21.【答案】（1）0,—；(2)(i)見解析；(ii)36,也

I2J3

【解析】（1）由題意可知橢圓滿足b〉c〉On/〉。2_c2〉。2=/〉2c2ne?＜工,

2

故ee0,—.

I2J

(2)(i)由測(cè)量數(shù)據(jù)可得2a=4,2c=2,

22

故G：、+]-=l，片（T,0），墻壁所在直線x=—4

易知直線￡4斜率存在，設(shè)=左（》+1）,可得幺（—4,—3左）,

,