黑龍江省友誼縣某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)階段測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

階段測(cè)試卷（二）

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.直線3x+島+5=0的傾斜角為（）

兀兀2兀3兀

A.—B.-C.—D.—

6434

2.已知直線4：x+ay-2=0J2：（。+1）%一"+1=0,若p:l[〃（2；q：a=-2,則）是“的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.己知直線+y—。+2=0與圓C：（x—2）2+（y+l）2=9交于48兩點(diǎn)，則當(dāng)弦48最短時(shí)，直線/

的方程為（）

A.3x+y+l=0B,X+2J+3=0

C.2x+j=0D.x+y+l=0

4.己知平面a內(nèi)有兩點(diǎn)〃（l,—l,2）,N（a,3,3）,平面a的一個(gè)法向量為方=（6,-3,6）,則。=（）

A.4B.3C.2D.1

5.在平面直角坐標(biāo)系中，分別是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以"N為直徑的圓與直線

3x+4y—10=0相切，則該圓半徑的最小值為（）

13

A.—B.1C.—D.2

22

6.點(diǎn)尸為x軸上的點(diǎn)，2（1,2）,8（3,4）,以4民尸為頂點(diǎn)的三角形的面積為8,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（7,0）或（―9,0）B.（7,0）或（―11,0）C.（7,0）或（9,0）D.（—11,0）或（―9,0）

7.棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-481GA中，尸是3G中點(diǎn)，則異面直線尸。與48所成角的余弦值是

（）

A.@B.正C.叵D.正

6633

8.點(diǎn)尸是以48為直徑的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，尸到48的距離分別為XJ,則x+>+中的最大值為

（）

A.2V2B.3V2C.2+2V2D.2+3V2

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線4：x—y—l=0,動(dòng)直線4：（左+1卜+勿+左=0（左eR）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（）

A.不存在左，使得4的傾斜角為90。

B.存在實(shí)數(shù)上，使得4與4沒(méi)有公共點(diǎn)

C.對(duì)任意的左,4與4都不重合

D.對(duì)任意的左，與4都不垂直

10.如圖，平行六面體45C。-其中，以頂點(diǎn)Z為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角

都是60°，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.|/Ci卜6^/6

B.鶯，麗

C向量麻與五4的夾角是60°.

D.異面直線BDi與AC所成的角的余弦值為旦.

3

11.已知圓C:（x—2）2+/=4,直線/:（m+l）x+2y—3—機(jī)=O（meR）,貝！|（）

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)（1,1）

B.存在實(shí)數(shù)加，使得直線/與圓。沒(méi)有公共點(diǎn)

C.當(dāng)〃i=-3時(shí)，圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

D.圓C與圓/+/—2x+8y+l=0恰有兩條公切線

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線（:（2a-l）x-（a-2）j+l=0,直線4：（a+l）x—2y—1=0.若1/2,則實(shí)數(shù)a的值為

13.定義@區(qū)3=|劃2—展3.若向量1=（1,—2,3）,向量B為單位向量，則2區(qū)3的取值范圍是.

14.已知圓G:_4依+2y+1=0與圓&：/+/+20—1=0的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)P,則點(diǎn)

尸坐標(biāo)為,|PG「+歸。2『的最小值為.（第一空2分.第二空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）已知點(diǎn)2（3,4）,求下列直線的方程：

（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)幺（3,4）,且在x軸上的截距是N軸上截距的2倍的直線的方程，

（2）光線自點(diǎn)幺（3,4）射到〉軸的點(diǎn)8（0,1）后被〉軸反射，求反射光線所在生線的方程.

16.（15分）已知圓M:（x—1）2+（＞-2）2=4,直線/過(guò)點(diǎn)2（3,2）.

（1）若直線/被圓M所截得的弦長(zhǎng)為26，求直線/的方程，

（2）若直線/與圓M交于另一點(diǎn)8,與x軸交于點(diǎn)C,且Z為5c的中點(diǎn)，求直線/的方程.

17.（15分）在①圓過(guò)點(diǎn)。（―9,2）；②圓心在直線x—歹+1=0上；③半徑不大于10的圓與直線

2x-了-10君=0相切，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并進(jìn)行求解.

已知圓￡過(guò)點(diǎn)幺（1,12）,8（7,10）,且.

（1）求圓￡的方程；

（2）已知點(diǎn)C（一2,0）,。（2,—20）,在圓￡上是否存在點(diǎn)尸，使得尸尸。2=258?若存在，求出點(diǎn)

尸的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（17分）如圖，四棱錐E—48c。中，/E_L平面〃

BC,AE=AB=BC=2,AD=1,過(guò)40的平面分別與棱￡8,￡C交于點(diǎn)

（1）求證，AD〃MN；

（2）記二面角/—ON—￡的大小為6,求cos。的最大值.

19.（17分）已知圓。：/+3-1）2=4,Z（a,b）為圓C上一點(diǎn).

（1）求打工的取值范圍；

a

（2）圓。：/+（了+1）2=廠2&>0）的圓心為。，與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，〃為圓C上相異于〃、N的

點(diǎn)，直線HM,HN分別與J軸交于點(diǎn)尸、0,求S7cHp-SVCHQ的最大值.

階段測(cè)試卷（二）數(shù)學(xué)

參考答案及評(píng)分意見(jiàn)

1.C【解析】由3》+6y+5=0得了=—后一半，設(shè)其傾斜角為a,ae[0㈤，所以斜率

I—乙兒

k=-V3=tana，故傾斜角為]二—.故選C.

2.B【解析】若/i〃4，則1x（—。）一。（。+1）=0,解得a=0或。=一2,?,.）乙％夕=>夕,「?夕是夕的必

要不充分條件.故選B.

3.D【解析】因?yàn)?:a（x-l）+y+2=0,所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)。（1,一2）,又因?yàn)榍?/p>

（1—2）2+（—2+1）2=2<9,所以。點(diǎn)在圓C內(nèi)，故當(dāng)。C，/時(shí)，弦48最短，設(shè)直線/的斜率為左，則

2-1

=-1,所以直線/的方程為y+2=—（x-l）即x+y+l=0.故選D.

-1-(-2)

4.C【解析】因?yàn)楹樱╨,—l,2）,N（a,3,3）,所以加=（a—1,4,1）,因?yàn)槠矫鎍的一個(gè)法向量為

H=（6,-3,6）,所以萬(wàn)工荻，則心加=6（a—l）—3x4+6=0,解得a=2.故選C.

5.B【解析】:"N是直徑，/河9=90°,.,.點(diǎn)0在圓上，過(guò)O作如垂直直線3x+4y—10=0,交

點(diǎn)為，

???圓與直線3x+4y—10=0相切，,要使圓的半徑最小，此時(shí)8為圓的直徑即可，由O到直線

-10

3x+4y—10=0的距離為乙^^=2,則圓的半徑1.故選B.

V32+42

6.A【解析】設(shè)尸（x,0）,易知直線48的方程為x—歹+1=0,點(diǎn)尸到直線48的距離

,\AB\=242,所以S=gx2/xml

=8,解得x=—9或x=7,所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（7,0）

或（-9,0）.故選A.

7.A【解析】如圖，連接4G，取4G的中點(diǎn)。，連接尸0,DQ,A[D,DCi，BD,

???V4c田中，尸,0分別為4G、BG的中點(diǎn)，，尸0〃4民尸0=；4氏二/。尸0（或其補(bǔ)角）就是異

面直線PD與AXB所成角，：正方體ABCD-451GA的棱長(zhǎng)為2,:MBDCX中,

BD=BC{=DCX=2V2,可得DP=g~BD=娓,同理可得VPQ。中,

PQ4A'B=6'票**r*即異面直線9與45所

成角的余弦值是@.故選A.

6

8.C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)尸是以48為直徑的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以尸4,尸8,因?yàn)槭?8的距離分別為

~i、

兀

x,y,所以Vy2=4,令x=2cose,y=2sin。0e0—，所以

+52JJ

x-\-y+xy=2cos。+2sin6+4sin6cos。,令，=sin6^+cos<9=

c”一1

r=l+2sin9cos。，所以sin6cos9=------，所以

2

2

x+y+xy=2t+4x^-=2t+2t-2=2(t+^\-1,因?yàn)?e[l,&],所以當(dāng)/=血時(shí),

》+了+中取得最大值2><（近）2+2及—2=2啦+2.故選?.

9.ABC【解析】對(duì)于A,當(dāng)k=0時(shí)，，2的方程為x=0,故傾斜角是90°，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,兩直線總

有公共點(diǎn)（0,-1）,8錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)左=-；時(shí)，兩直線的方程都是y=x-1,故重合，C錯(cuò)誤；對(duì)于

D,由于1?(左+1)+(—1)?左=1。0,故兩直線不垂直，D正確.故選ABC.

10.AB【解析】設(shè)方="詬=3,數(shù)=]，因?yàn)楦鳁l棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是60°，所以

a-b-b-c—c-a=6x6xcos60°=18?因?yàn)?G=a+b+c,所以,

\AC\=J(/+B+C)2=^2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a=73x36+3x2x18=6指，故A正確；

由RD=b-a<所以NG,BZ)=^a+b+c^-^b-a^=b2-a2+c-b-c-a=

36-36+18-18=0,所以布，麗，故B正確；因?yàn)槁?B-己，且|萬(wàn)同=6,所以

/—?—>\伍-cj'CbN-c~18-361

cos(gC,44]~*=尸~^=——=-T>所以其夾角為120。，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

'/\b-c\-\c\\b-c\-\c\6x62

2

BDX=c-a+b,AC=a+6,^\=^(c-a+b)=736+36+36-2x18-2x18+2x18=672,

因卜J伍+BJ=736+36+2x18=6瓜

^-^C=(c-a+^).(a+^)=P-a2+c-a+c-6=36-36+18+18=

36,所以cos(西,—+廠36旦,故D錯(cuò)誤.故選AB.

\/\c-a+b\^\a+b\672x6736

/、(x—1=0[x=l

H.ACD【解析】對(duì)于A,直線/的方程為(x—l)加+x+2y-3=0,由《+2__】，直線

/過(guò)定點(diǎn)（1,1）,A正確；對(duì)于B,又（l—2）2+F=2<4,即定點(diǎn)（U）在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相交，有

兩個(gè)交點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，直線/:x-y=0,圓心C（2,0）到直線/的距離為

=V2,而圓C半徑為2,且2-8<1因此恰有2個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1,C正確；對(duì)

于D,圓x?+72-2x+8y+1=0化為(x—I)?+(y+4)2=16,圓x?+y?-2x+8y+1=0的圓心為

(1,-4),半徑為4,兩圓圓心距為(/',則4—2=2<d'=,(1—2)2+(—4—0)2=舊<4+2=6,兩圓

相交，因此它們有兩條公切線，D正確.故選ACD.

12.1或—：【解析】因?yàn)橹本€4：(2a—l)x—(a—2萬(wàn)+1=0,直線4：(a+l)x—2〉—1=0,且

LU,所以(2"1)(。+1)+[-("2)](-2)=0,解得°=1或a=_(故答案為1或

13.[14-714,14+714]【解析】由題意知同=?,忖=1.設(shè)(扇如>==，則

22

a?b=\a|-a-b=|s|-|5|-|6|cos^=14一VfZcos。.又6e[0,TI],則cos6^e[-1,1],故

方(8)3￡[14_9,14+9].故答案為[14_曰,14+7^].

2

14.(；,—1]；A【解析】由G：/+/—4區(qū)+2了+1=0,C2:x+/+2Ay-l=0,可得

1

2x+y=0x——

2Ax—jv+ky—1—0,即左(2x+y)+(—y—1)=0,所以<,解得彳2,所以點(diǎn)

—y—1=0

J=—1

Pt'—"；又G(2￡—l)C(。，-左)，則

+(—1+左)2=5左2-4左+'=5^左一2]+--,所以當(dāng)左=一時(shí),

215)105

°,72

|PG『+|PG|取最小值為歷，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)左=《時(shí)，兩個(gè)方程均表示圓，且兩圓相交，滿(mǎn)足題意.故答案

15.解：(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足在x軸上的截距是歹軸上截距的2倍，

此時(shí)直線方程為^=丘，將2(3,4)代入，可得左=；化簡(jiǎn)可得4x—3歹=0;

XV

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為一+4=1,且。=26,

ab

即1--=1,將幺(3,4)代入，可得1—=1,解得b=—,

2bb2bb2

上+上=1

則直線方程為1111,化簡(jiǎn)可得x+2y—ll=0；

綜上，直線方程為4x—3y=0或x+2y—ll=0

(2)點(diǎn)4關(guān)于〉軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為H(-3,4),

由題意可知，反射光線所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Z'(-3,4)與8(0,1),

所以反射光線所在的直線斜率為左=*、=-1,

AB-3-0

則反射光線所在的直線方程為N-1=-1(》-0),化簡(jiǎn)可得x+歹-1=0

16.解：(1)由題意可知，圓M的圓心為“(1,2),半徑「=2,

若直線/被圓M所截得的弦長(zhǎng)為2G，則圓心到直線的距離為d=Vr2-3=1

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，/:x=3與圓相切，不符合題意，舍去；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線/：>一2=左(》一3),即Ax—y+2—3無(wú)=0,

\k-2+2-3k\

可得d=/=1,所以左=±—,

■+i3

則直線/方程為Gx—3y+6-36=0或Gx+3y-6-3括=0

(2)設(shè)C&0),因?yàn)閆為5c中點(diǎn),則8(67,4),

由8在圓M上得(6—1―1>+(4—2)2=4,解得t=5,

則C(5,0),所以直線=

即直線/的方程為x+y—5=0.

17.解：(1)若選①，設(shè)圓￡的方程為x2+y2+Qx+4+尸=0,

l+144+D+12E+F=0,

由已知可得<49+100+7D+10E+F=0,

81+4-9￡>+2￡+F=0,

解得。=-2,E=-4,F=-95,

所以圓￡的方程為f+j?—2x—4y—95=0.

若選②，由已知得4s的中點(diǎn)為(4,11),直線4s的斜率為-；，

所以48的垂直平分線的方程為y-ll=3(x—4),即);=3x—1.

y=3x-l,

因?yàn)閳A心在直線x—歹+1=0上，所以聯(lián)立方程「,八

x=l

解得所以圓心￡的坐標(biāo)為(1,2),半徑為4^=10,

所以圓￡的方程為(x—1)2+3—2)2=100

若選③，設(shè)圓的方程為(x—a)2+3—6)2=產(chǎn)，

因?yàn)閳A￡過(guò)點(diǎn)/(1,12),8(7,10),

卜1一4+(12—4=產(chǎn)，

(7-a)~+(10-6)~=廠.

因?yàn)閳A與直線2x—y—10岔=0相切，

|2"b—10為

所以?,」=「,解得。=11=2/=10,

百+(—Ip

所以圓￡的方程為(X—1)2+3—2)2=100

(2)設(shè)尸(x,y),由已知

PC-+PD2=(x+2)2+/+(x-2)2+(v+20)2=2x2+2/+40v+408=258,

所以Y+「+20了+75=0,即/+(y+1Op=25,

所以點(diǎn)尸在圓川：/+°；+10)2=25上，圓M的圓心M的坐標(biāo)為(0,—10),半徑么=5.

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓E：(x—iy+(y—2)2=100上，圓￡的圓心￡的坐標(biāo)為(1,2),半徑「=10,

又ME=&+\22=Vi后/-4=5/+。=15，

所以r-4<ME<r+i\,

所以圓M與圓E相交，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以符合題意的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)是2

18.解：(1)證明：因?yàn)?D〃8c4DU平面8CE,8Cu平面5CE,

所以4?！ㄆ矫?CE,

因?yàn)檫^(guò)AD的平面分別與棱EB,EC交于M,N,

所以4。〃"N；

（2）因?yàn)閆E，平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以民4E1.AD,

又因?yàn)?8,4。，所以/民4￡,兩兩互相垂直,

如圖，以4為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系4-孫z,

則8（2,0,0）,C（2,0,2）,￡（0,2,0）,。（0,0,1）

所以麗=（0,_2,1）,反=（2,-2,2）,赤=（一2,2,0）,

AD=（0,0,1）,

設(shè)前=4礪,4e[0,1],則而=益+兩=（2,0,0）+

2（-2,2,0）=（2-22,22,0）,

設(shè)平面/ND即平面ZM?的法向量為玩=（石,必,句）,

m-AD=a=0,

<——?,、解得馬=0,

m-^M=（2-22）x1+22j1=0,

令x=X,則y=X-l,于是應(yīng)=（4,4一1,0）,

設(shè)平面END即平面ECD的法向量為H=（X2,J2,Z2）,

n-EC=2X2—2y2+2z2=0

則<，令為=1，則Z2=2,、2=-1，

n-ED=-2y2+z2=0

于是拓=（一1,1,2）,

2x(-l)+2-l

限“2+("1)2

V3_V6

因?yàn)閄e[0,l],所以cos〈泣萬(wàn)〉e~T~~6~

根據(jù)應(yīng)=（42T,0）,力=（T」,2）的方向判斷可得。=兀一〈玩,方＞,

V6A/3

所以COS?￡

i/?

故當(dāng)彳=—時(shí)，cos9的最大值為組

23

19.解：（1）方法一可看做動(dòng)點(diǎn)/（。8）與定點(diǎn)。（0,-2）確定的直線的斜率,

a

176+2

此時(shí)k/D~,

a

過(guò)。點(diǎn)的直線可設(shè)為^+2=左（％-0）,即紅一^一2=0,

圓。半徑為2,當(dāng)。點(diǎn)到直線的距離為2時(shí)，直線與圓。相切,

=2,解得k=+-

2

的取值范圍為［-叫—gU、;

貝ijkAD即

a222