2024-2025學年高中數(shù)學第一章統(tǒng)計案例1.2.2獨立性檢驗1.2.3獨立性檢驗的基本思想1.2.4獨立性檢驗的應用學案含解析北師大版選修1-2

PAGE2．2獨立性檢驗2．3獨立性檢驗的基本思想2．4獨立性檢驗的應用授課提示：對應學生用書第6頁[自主梳理]一、2×2列聯(lián)表設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A1)；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B1).通過視察得到下表所示數(shù)據(jù)：BAB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d并將形如此表的表格稱為2×2列聯(lián)表．依據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)推斷兩個變量A，B是否獨立的問題稱為2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗．若eq\f(a,n)＝________________，則可以認為A1與B1獨立；若eq\f(b,n)＝________________，則可以認為A1與B2獨立；若eq\f(c,n)＝________________，則可以認為A2與B1獨立；若eq\f(d,n)＝________________，則可以認為A2與B2獨立．二、獨立性檢驗的方法統(tǒng)計學中，常用χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)的大小對變量的獨立性進行檢驗．(1)當χ2≤2.706時，沒有充分證據(jù)判定變量A、B有關聯(lián)，可以認為變量A、B是沒有關聯(lián)的；(2)當χ2>2.706時，有________的把握判定變量A、B有關聯(lián)；(3)當χ2>3.841時，有________的把握判定變量A、B有關聯(lián)；(4)當χ2>6.635時，有________的把握判定變量A、B有關聯(lián)．[雙基自測]1．下面是2×2列聯(lián)表：y1y2合計x1a2173x272027合計b41100則表中a、b處的值分別為()A．94、96 B．52、40C．52、59 D．59、522．分類變量X和Y的列聯(lián)表如下，則()Y1Y2總計X1aba＋bX2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X與Y的關系越弱B．ad－bc越大，說明X與Y的關系越強C．(ad－bc)2越大，說明X與Y的關系越強D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y的關系越強[自主梳理]一、eq\f(a＋ca＋b,n2)eq\f(a＋bb＋d,n2)eq\f(a＋cc＋d,n2)eq\f(b＋dc＋d,n2)二、(2)90%(3)95%(4)99[雙基自測]1．C∵a＋21＝73，∴a＝52.∴b＝a＋7＝52＋7＝59.2．C∵χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，∴(ad－bc)2越大，χ2越大，說明X與Y的關系越強.授課提示：對應學生用書第7頁探究一2×2列聯(lián)表[例1]在調查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，試作出性別與色盲的列聯(lián)表．[解析]依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：色盲性別患色盲不患色盲總計男38442480女6514520總計449561000分清類別是作列聯(lián)表的關鍵步驟，對所給數(shù)據(jù)要明確屬于那一類．1．某學校對高三學生作一項調查后發(fā)覺：在平常的模擬考試中，性格內向的426名學生中有332名在考前心情驚慌，性特別向的594名學生中在考前心情驚慌的有213人．試作出2×2列聯(lián)表．解析：列聯(lián)表如下：性格狀況考前心情是否驚慌性格內向性特別向總計考前心情驚慌332213545考前心情不驚慌94381475總計4265941020探究二獨立性檢驗的應用[例2]某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成果優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分也優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學成果優(yōu)秀與物理、化學、總分也優(yōu)秀哪個關系較大？其他科目數(shù)學物理優(yōu)秀化學優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀14315699注：該年級此次考試中數(shù)學成果優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人．[解析](1)列出數(shù)學與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理數(shù)學優(yōu)秀非優(yōu)秀總計優(yōu)秀228132360非優(yōu)秀143737880總計3718691240利用上表數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1240×228×737－143×1322,371×869×360×880)≈270.1143.(2)列出數(shù)學與化學優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學數(shù)學優(yōu)秀非優(yōu)秀總計優(yōu)秀225135360非優(yōu)秀156724880總計3818591240利用上表數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1240×225×724－156×1352,381×859×360×880)≈240.6112.(3)列出數(shù)學與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：總分數(shù)學優(yōu)秀非優(yōu)秀總計優(yōu)秀26793360非優(yōu)秀99781880總計3668741240利用上表數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1240×267×781－99×932,366×874×360×880)≈486.1225由以上分析知：數(shù)學成果優(yōu)秀與物理、化學、總分優(yōu)秀都有關系．由于各自的χ2值均大于6.635，由此說明有99%的把握認為數(shù)學優(yōu)秀與物理、化學、總分優(yōu)秀都有關系，但與總分關系最大，物理其次．2．為調查某地區(qū)老年人是否須要志愿者供應幫助，用簡潔隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：性別是否須要志愿者男女須要4030不須要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，須要志愿者供應幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否須要志愿者供應幫助與性別有關？(3)依據(jù)(2)的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中，須要志愿者供應幫助的老年人的比例？說明理由.附：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解析：(1)調查的500位老年人中有70位須要志愿者供應幫助，因此該地區(qū)老年人中，須要志愿者供應幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)×100%＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否須要幫助與性別有關．(3)由(2)的結論知，該地區(qū)老年人是否須要幫助與性別有關，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中須要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采納分層抽樣方法，比采納簡潔隨機抽樣方法更好．統(tǒng)計與獨立性檢驗的綜合問題[典例](本題滿分12分)我校為了了解高二年級學生參與體育活動的狀況，隨機抽取了100名高二年級學生進行調查．下面是依據(jù)調查結果繪制的學生日均參與體育活動時間的頻率分布直方圖：將日均參與體育活動時間不低于40分鐘的學生稱為參與體育活動的“主動分子”．依據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料回答是否有95%的把握判定參與體育活動的“主動分子”與性別有關？非主動分子主動分子總計男1545女總計[解析]由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“主動分子”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非主動分子主動分子總計男301545女451055總計75251006分由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算，得：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33