2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計案例1.2.2獨(dú)立性檢驗(yàn)1.2.3獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想1.2.4獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用學(xué)案含解析北師大版選修1-2

PAGE2．2獨(dú)立性檢驗(yàn)2．3獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想2．4獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第6頁[自主梳理]一、2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A1)；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B1).通過視察得到下表所示數(shù)據(jù)：BAB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d并將形如此表的表格稱為2×2列聯(lián)表．依據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)推斷兩個變量A，B是否獨(dú)立的問題稱為2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)．若eq\f(a,n)＝________________，則可以認(rèn)為A1與B1獨(dú)立；若eq\f(b,n)＝________________，則可以認(rèn)為A1與B2獨(dú)立；若eq\f(c,n)＝________________，則可以認(rèn)為A2與B1獨(dú)立；若eq\f(d,n)＝________________，則可以認(rèn)為A2與B2獨(dú)立．二、獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法統(tǒng)計學(xué)中，常用χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)的大小對變量的獨(dú)立性進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)當(dāng)χ2≤2.706時，沒有充分證據(jù)判定變量A、B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A、B是沒有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)χ2>2.706時，有________的把握判定變量A、B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)χ2>3.841時，有________的把握判定變量A、B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)χ2>6.635時，有________的把握判定變量A、B有關(guān)聯(lián)．[雙基自測]1．下面是2×2列聯(lián)表：y1y2合計x1a2173x272027合計b41100則表中a、b處的值分別為()A．94、96 B．52、40C．52、59 D．59、522．分類變量X和Y的列聯(lián)表如下，則()Y1Y2總計X1aba＋bX2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X與Y的關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)[自主梳理]一、eq\f(a＋ca＋b,n2)eq\f(a＋bb＋d,n2)eq\f(a＋cc＋d,n2)eq\f(b＋dc＋d,n2)二、(2)90%(3)95%(4)99[雙基自測]1．C∵a＋21＝73，∴a＝52.∴b＝a＋7＝52＋7＝59.2．C∵χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，∴(ad－bc)2越大，χ2越大，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第7頁探究一2×2列聯(lián)表[例1]在調(diào)查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，試作出性別與色盲的列聯(lián)表．[解析]依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：色盲性別患色盲不患色盲總計男38442480女6514520總計449561000分清類別是作列聯(lián)表的關(guān)鍵步驟，對所給數(shù)據(jù)要明確屬于那一類．1．某學(xué)校對高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)覺：在平常的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情驚慌，性特別向的594名學(xué)生中在考前心情驚慌的有213人．試作出2×2列聯(lián)表．解析：列聯(lián)表如下：性格狀況考前心情是否驚慌性格內(nèi)向性特別向總計考前心情驚慌332213545考前心情不驚慌94381475總計4265941020探究二獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用[例2]某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系較大？其他科目數(shù)學(xué)物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級此次考試中數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人．[解析](1)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理數(shù)學(xué)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計優(yōu)秀228132360非優(yōu)秀143737880總計3718691240利用上表數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1240×228×737－143×1322,371×869×360×880)≈270.1143.(2)列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計優(yōu)秀225135360非優(yōu)秀156724880總計3818591240利用上表數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1240×225×724－156×1352,381×859×360×880)≈240.6112.(3)列出數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：總分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計優(yōu)秀26793360非優(yōu)秀99781880總計3668741240利用上表數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1240×267×781－99×932,366×874×360×880)≈486.1225由以上分析知：數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系．由于各自的χ2值均大于6.635，由此說明有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但與總分關(guān)系最大，物理其次．2．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否須要志愿者供應(yīng)幫助，用簡潔隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否須要志愿者男女須要4030不須要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否須要志愿者供應(yīng)幫助與性別有關(guān)？(3)依據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例？說明理由.附：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解析：(1)調(diào)查的500位老年人中有70位須要志愿者供應(yīng)幫助，因此該地區(qū)老年人中，須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)×100%＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否須要幫助與性別有關(guān)．(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否須要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中須要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采納分層抽樣方法，比采納簡潔隨機(jī)抽樣方法更好．統(tǒng)計與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題[典例](本題滿分12分)我校為了了解高二年級學(xué)生參與體育活動的狀況，隨機(jī)抽取了100名高二年級學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均參與體育活動時間的頻率分布直方圖：將日均參與體育活動時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為參與體育活動的“主動分子”．依據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料回答是否有95%的把握判定參與體育活動的“主動分子”與性別有關(guān)？非主動分子主動分子總計男1545女總計[解析]由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“主動分子”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非主動分子主動分子總計男301545女451055總計75251006分由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算，得：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33