2024-2025版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1.2不等式的性質(zhì)學(xué)案新人教A版必修5

PAGE第2課時不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.駕馭不等式的性質(zhì)及其成立的條件.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模)2.能利用不等式的性質(zhì)比較大小、證明不等式.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)】導(dǎo)思不等式有哪些性質(zhì)?不等式的性質(zhì)名稱式子表示性質(zhì)1對稱性a>b?b<a性質(zhì)2傳遞性a>b,b>c?a>c性質(zhì)3可加性a>b?a+c>b+c性質(zhì)4可乘性a>b,c>0?ac>bca>b,c<0?ac<bc性質(zhì)5同向不等式可加a>b,c>d?a+c>b+d性質(zhì)6同向同正不等式可乘QUOTE?ac>bd性質(zhì)7正數(shù)不等式乘方a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1)性質(zhì)8正數(shù)不等式開方a>b>0?QUOTE>QUOTE(n∈N,n≥2)若a,b∈R,a>b,那么a3>b3肯定成立嗎?提示:肯定成立,因為函數(shù)f(x)=x3在R上是增函數(shù),所以a>b時,a3>b3.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)若a>b,則ac2>bc2. ()(2)若a>b,c>d,則ac>bd. ()(3)若a>b,則an>bn(n∈N,n≥1). ()提示:(1)×.當(dāng)c=0時不成立.(2)×.同向同正不等式可乘.(3)×.當(dāng)a>b>0時成立.2.已知a>b,c>d,且cd≠0,則 ()A.ad>bc B.ac>bcC.a-c>b-d D.a+c>b+d【解析】選D.a,b,c,d的符號未確定,解除A,B兩項;同向不等式相減,結(jié)果未必是同向不等式,解除C項,故選D項.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)若|a|<|b|,則QUOTE

QUOTE(n∈N且n>1).【解析】因為|b|>|a|≥0,所以由不等式的性質(zhì)可得QUOTE<QUOTE.答案:<【關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)】類型一利用不等式的性質(zhì)推斷不等式(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)1.下列命題中,正確的是 ()A.若a>b,c>d,則a>cB.若ac>bc,則a>bC.若QUOTE<QUOTE,則a<bD.若a>b,則|a|>|b|2.若a,b,c∈R,a>b,則下列不等式成立的是 ()A.QUOTE<QUOTEB.a2>b2C.QUOTE>QUOTED.a|c|>b|c|3.若QUOTE<QUOTE<0,則下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b中,正確的不等式有個.

【解析】1.選C.因為QUOTE<QUOTE,又c2>0,所以a<b.2.選C.若a>b,且ab>0,則QUOTE<QUOTE,A中少條件ab>0,故A不成立.若a>b>0,則a2>b2,B中少條件b>0,故B不成立.因為a>b,且QUOTE>0,所以QUOTE>QUOTE,故C成立.D中少條件c≠0,故D不成立.3.由QUOTE<QUOTE<0,得a<0,b<0,故a+b<0且ab>0,所以a+b<ab,即①正確;由QUOTE<QUOTE<0,得QUOTE>QUOTE,兩邊同乘|ab|,得|b|>|a|,故②錯誤;由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,那么a>b,故③錯誤.答案:1運用不等式的性質(zhì)推斷真假的技巧(1)首先要留意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).(2)解決有關(guān)不等式選擇題時,也可采納特值法進行解除,留意取值肯定要遵循以下原則:一是滿意題設(shè)條件;二是取值要簡潔,便于驗證計算.【補償訓(xùn)練】1.若a<b<0,則下列結(jié)論正確的是 ()A.a2<b2 B.ab<b2C.QUOTE<QUOTE D.ac>bc【解析】選C.當(dāng)a<b<0時,a2>b2,故A錯誤,當(dāng)a<b<0時,ab>b2,故B錯誤,當(dāng)a<b<0時,0<QUOTE<1,QUOTE>1,則QUOTE<QUOTE成立,當(dāng)c=0時,ac>bc不成立,故D錯誤.2.設(shè)a>1>b>-1,b≠0,則下列不等式中恒成立的是 ()A.QUOTE<QUOTE B.QUOTE>QUOTE C.a>b2 D.a2>2b【解析】選C.當(dāng)a=2,b=-QUOTE時,滿意條件.但QUOTE<QUOTE不成立,故A錯誤;當(dāng)a>1>b>0時,QUOTE<QUOTE,故B錯誤;因為1>b>-1,b≠0,所以0<b2<1,則a>b2,故C正確;當(dāng)a=1.1,b=0.9時,滿意條件,但a2>2b不成立,故D錯誤.類型二利用不等式的性質(zhì)證明不等式(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】已知c>a>b>0,求證:QUOTE>QUOTE.四步內(nèi)容理解題意條件:c>a>b>0;結(jié)論:QUOTE>QUOTE.思路探求思路1:①如何證明QUOTE<QUOTE?②由QUOTE<QUOTE怎樣得到QUOTE<QUOTE?思路2:要證QUOTE>QUOTE可先證明哪一個不等式.書寫表達方法一:因為c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.由QUOTE?QUOTE<QUOTE,?QUOTE?QUOTE>QUOTE;方法二:由c>a>b>0得c-b>c-a>0,又a>b>0,所以a(c-b)>b(c-a)>0,又QUOTE>0,得QUOTE>QUOTE.題后反思證明本題關(guān)鍵是分母怎樣變換出來,第一步先證明什么.利用不等式的性質(zhì)證明不等式的兩留意(1)記準(zhǔn)、記熟:利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題肯定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用.(2)留意條件:應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時,應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不行省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.1.a>b>0,c<0求證:QUOTE>QUOTE.【證明】因為a>b>0,所以ab>0,QUOTE>0.于是a·QUOTE>b·QUOTE,即QUOTE>QUOTE.由c<0,得QUOTE>QUOTE.2.已知a>b>0,c<d<0,e<0.求證:QUOTE>QUOTE.【證明】因為c<d<0,所以-c>-d>0,又因為a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<QUOTE<QUOTE,又因為e<0,所以QUOTE>QUOTE.【拓展延長】利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要留意的問題(1)恰當(dāng)設(shè)計解題步驟,合理利用不等式的性質(zhì).(2)運用不等式的性質(zhì)時要切實留意不等式性質(zhì)的前提條件,如由a>b及c>d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b2等.【拓展訓(xùn)練】若a>b>0,c<d<0,e<0,求證:QUOTE>QUOTE.【解題指南】結(jié)合不等式的性質(zhì)化簡證明.【證明】因為c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,則(a-c)2>(b-d)2>0,即QUOTE<QUOTE,又e<0,所以QUOTE>QUOTE.【補償訓(xùn)練】若bc-ad≥0,bd>0,求證:QUOTE≤QUOTE.【證明】QUOTE?QUOTE≥QUOTE?QUOTE+1≥QUOTE+1?QUOTE≥QUOTE?QUOTE≤QUOTE.類型三利用不等式的性質(zhì)求范圍(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)角度1利用性質(zhì)干脆求范圍

【典例】已知-1<a<b<1,則a-b的取值范圍是.

【思路導(dǎo)引】利用不等式的性質(zhì)構(gòu)造a-b求范圍.【解析】因為-1<a<1,-1<b<1,所以-1<-b<1,所以-1-1<a-b<1+1,所以-2<a-b<2,又a<b,所以a-b<0.答案:(-2,0)將本例的條件改為“-QUOTE≤a<b≤QUOTE”,試求QUOTE的取值范圍.【解析】因為-QUOTE≤a<b≤QUOTE,所以-QUOTE≤QUOTE<QUOTE,-QUOTE<QUOTE≤QUOTE,所以-QUOTE≤-QUOTE<QUOTE,所以-QUOTE≤QUOTE<QUOTE.又a<b,所以QUOTE<0,所以-QUOTE≤QUOTE<0.角度2整體構(gòu)造求范圍

【典例】已知π<α+β<QUOTE,-π<α-β<-QUOTE,則2α-β的取值范圍是.

【思路導(dǎo)引】利用α+β,α-β表示出2α-β后求范圍.【解析】令2α-β=x(α+β)+y(α-β),即2α-β=(x+y)α+(x-y)β,所以QUOTE解得QUOTE因為QUOTE<QUOTE<QUOTE,-QUOTE<QUOTE<-QUOTE,所以-π<2α-β<QUOTE.答案:QUOTE利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系,最終利用一次不等式的性質(zhì)進行運算,求得待求的范圍.(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減),這種轉(zhuǎn)化不是等價變形,假如在解題過程中多次運用這種轉(zhuǎn)化,就有可能擴大其取值范圍.1.若α,β滿意-QUOTE<α<β<QUOTE,則2α-β的取值范圍是 ()A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<πC.-QUOTE<2α-β<QUOTE D.0<2α-β<π【解析】選C.因為-QUOTE<α<QUOTE,所以-π<2α<π,又-QUOTE<β<QUOTE,所以-QUOTE<-β<QUOTE,所以-QUOTE<2α-β<QUOTE.又α-β<0,α<QUOTE,所以2α-β<QUOTE.故-QUOTE<2α-β<QUOTE.2.若-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,則z=4x+2y的范圍是.

【解析】設(shè)4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,則QUOTE,解得a=3,b=1,即4x+2y=3(x+y)+(x-y),因為-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,所以-6≤3(x+y)≤6且-1≤x-y≤1,則-7≤3(x+y)+(x-y)≤7.答案:[-7,7]【課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)】1.若a>b且c∈R,則下列不等式中肯定成立的是 ()A.ac>bc B.a2>b2C.a+c>b+c D.ac2>bc2【解析】選C.對于A,當(dāng)c<0時不成立;對于B,當(dāng)0>a>b時不成立;對于D,當(dāng)c=0時不成立;C正確.2.已知-QUOTE<A<QUOTE,-π<B<QUOTE,則2A-QUOTEB的取值范圍是.

【解析】因為-QUOTE<A<QUOTE,所以-π<2A<π.因為-π<B<QUOTE,所以-QUOTE<-QUOTEB<QUOTE.所以-QUOTE<2A-QUOTEB<QUOTE.答案:QUOTE3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)若a>b>0,c>d>0,則QUOTE

QUOTE.【解析】因為a>b>0,c>d>0,所以ac>bd,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,則QUO