《直線與平面垂直的判定》教學設計

PAGE直線與平面垂直的判定（一）教學目標1．知識與技能（1）使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；（2）使學生掌握直線和平面所成的角求法；（3）培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納、概括結論.2．過程與方法（1）通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；（2）探究判定直線與平面垂直的方法.3．情態(tài)、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知.（二）教學重點、難點重點：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；（2）直線和平面所成的角.難點：直線與平面垂直判定定理的探究.教學過程教學內容師生互動設計意圖新課導入問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？師投影問題，學生回答.生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷.復習鞏固探索新知一、直線和平面垂直的定義、畫法如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做垂足.畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認識，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來嗎？師：在陽光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關系如何？生：旗桿與地面內任意一條經(jīng)B的直線垂直.師：那么旗桿所在直線與平面內不經(jīng)過B點的直線位置關系如何，依據(jù)是什么？（圖）生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義.師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？……師：能否將任意直線改為無數(shù)條直線？學生找一反例說明.培養(yǎng)學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論.探索新知二、直線和平面垂直的判定1．試驗如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？2．直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？師：下面請同學們準備一塊三角形的小紙片，我們一起來做一個實驗，（投影問題）.學生動手實驗，然后回答問題.生：當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直.師：此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線？生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.師：怎么證明？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD……師：直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.培養(yǎng)學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論.典例剖析例1如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.證明：在平面內作兩條相交直線m、n.因為直線a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知a⊥m，a⊥n.又因為b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因為，m、n是兩條相交直線，b⊥.師：要證b⊥，需證b與內任意一條直線的垂直，又a∥b，問題轉化為a與面內任意直線m垂直，這個結論顯然成立.學生依圖及分析寫出證明過程.……師：此結論可以直接利用，判定直線和平面垂直.鞏固所知識培養(yǎng)學生轉化化歸能力、書寫表達能力.探索新知二、直線和平面所成的角如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0°的角.教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的.借助多媒體講授，提高上課效率.典例剖析例2如圖，在正方體ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.解：連結BC1交B1C于點O，連結A1O.設正方體的棱長為a，因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.又因為BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中，，，所以，∠BA1O=30°因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關鍵在于過B點作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內的射影就知道了，怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢？生：連結BC1即可.師：能證明嗎？學生分析，教師板書，共同完成求解過程.點拔關鍵點，突破難點，示范書寫及解題步驟.隨堂練習1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC.2．過△ABC所在平面外一點P，作PO⊥，垂足為O，連接PA

，PB，PC.（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的心.（2）若PA=PB=PC，則點O是△ABC的心.（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，則點O是△ABC的.心.3．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？學生獨立完成答案：1．略2．（1）AB邊的中點；（2）點O是△ABC的外心；（3）點O是△ABC的垂心.3．不一定平行.4．AC⊥BD.鞏固所學知識歸納總結1．直線和平面垂直的定義判定2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.3．線線垂直線面垂直學生歸納總結教師補充鞏固學習成果，使學生逐步養(yǎng)成愛總結，會總結的習慣和能力.課后作業(yè)2.7第一課時習案學生獨立完成強化知識提升能力備選例題例1如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M為BD中點，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．【解析】連結AM∵AB=AD，CB=CD，M為BD中點．∴BD⊥AM，BD⊥CM．又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．≠≠∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．≠≠又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉化為另一個線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉化，螺旋式往復，最終使問題得到解決．例2已知棱長為1的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1【解析】取CD的中點F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．由已知正方體，易知EO⊥ABC1D