函數(shù)的基本概念及其性質(zhì)（解析式定義域值域）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破（新高考專用）

專題2-1函數(shù)的基本概念（解析式，定義域，值域）

近4年考情（2020-2024）

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

函數(shù)的解析式與定義域、值域問

2021年浙江卷：第12題，5分題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.從近

（1）了解函數(shù)的含義，會求

幾年的高考情況來看，鬲考對函

簡單函數(shù)的定義域和值域

年浙江卷：第題，分?jǐn)?shù)的概念考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)

2022145（2）會根據(jù)不同的需要選擇

容、頻率、題型、難度均變化不

恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D象法、列表

大，函數(shù)的解析式在高考中較少

年北京卷：第題，分法、解析法）表示函數(shù)

2023115單獨(dú)考查，多在解答題中出現(xiàn).

（3）了解簡單的分段函數(shù)，

曲考對本節(jié)的考查不會有大的

并會應(yīng)用

2024年上海卷，第2題,5分變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、

值域及最值為主.

模塊一卜熱點(diǎn)題型解讀（目錄）

［題型1］函數(shù)的概念.......................................................................2

【題型2】同一函數(shù)的判斷.................................................................3

【題型3】已知函數(shù)類型求函數(shù)的解析式（待定系數(shù)法求解析式）.............................4

【題型4】建立方程組求解析式（方程思想）.................................................4

【題型5】求嵌套函數(shù)的解析式（換元或配湊）..............................................5

【題型6】求具體函數(shù)的定義域..............................................................6

【題型7】已知定義域求參數(shù)................................................................7

【題型8】抽象函數(shù)的定義域問題............................................................8

【題型9】分離常數(shù)法求值域................................................................9

【題型10］換元法求函數(shù)的值域.............................................................9

【題型11］對勾函數(shù)值域問題..............................................................10

【題型12］已知值域求參數(shù)范圍............................................................11

【題型13］分段函數(shù)及其應(yīng)用..............................................................12

模塊二,，核心題型?舉一反三

［題型1］函數(shù)的概念

基礎(chǔ)知識

一般地，設(shè)A、B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系力在集合8中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱力A—8為從集合A到集合8的一個(gè)

函數(shù)，記作y=fix）.

1.下列關(guān)系中是函數(shù)關(guān)系的是（）

A.等邊三角形的邊長和周長關(guān)系B.電腦的銷售額和利潤的關(guān)系

C.玉米的產(chǎn)量和施肥量的關(guān)系D.日光燈的產(chǎn)量和單位生產(chǎn)成本關(guān)系

2.下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系y=/（x）的是（）

A.3B.4C.5D.6

【鞏固練習(xí)1）下列圖象中，能表示函數(shù)y=/（x）圖象的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①③

【鞏固練習(xí)2】設(shè)集合M={x|0Wx42},N={y|04y42}.下列四個(gè)圖象中能表示從集合加到集合

N的函數(shù)關(guān)系的有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【題型2】同一函數(shù)的判斷

基礎(chǔ)知識

兩個(gè)函數(shù)相同需要滿足的條件是：1.定義域相同;2.解析式相同.

aII（BBMiI11

4.（2024?重慶?二模）下列函數(shù)中，與y=》是相同的函數(shù)是

A.y=Vx2B.y=IglOx

x2------------------------------

C.y=-D.y=1（x-1）2+1

【鞏固練習(xí)1]（2024?山東?一模）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A./(%)=elnx,g(x)=x

B./W=^，5(X)=X-2

C-"x)=|^,g(x)=sinx

D./(%)=\x\,g{x)=y[x^

【鞏固練習(xí)21(2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測)下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是()

x2

A./(%)=x,g(x)=-B.f(x)=x(xG/?);<g(x)=x(xGZ)

c.7■(久)=|x|,g(x)=D.f(x)=x,g(x)=(?)2

【題型3】已知函數(shù)類型求函數(shù)的解析式（待定系數(shù)法求解析式）

基礎(chǔ)知識

待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）可用待定系數(shù)法來求解.

5.若二次函數(shù)7U）滿足/（x+D—八x）=2x,且犬0）=2.求/（X）的解析式

【鞏固練習(xí)1】已知二次函數(shù)滿足〃x+l）=〃x）—2x+2,且"0）=2.求的解析式

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/■（久）=———2x+3,貝U/（x+1）=

【鞏固練習(xí)3】（2024?廣東東莞?二模）已知函數(shù)/（久）=a%一b（a〉0）,/（/（%））=4x-3,則

f(2)=

【題型4】建立方程組求解析式（方程思想）

基礎(chǔ)知識

已知關(guān)于/U）與或式㈤等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過

解方程組求出於:）.

6.（廣東深圳實(shí)驗(yàn)校考）已知函數(shù)尸〃x）滿足2/（X）+"；|=2X,xeR且xwO,則

/W=■

1Y

【鞏固練習(xí)1】(廣東廣雅中學(xué)?？?已知/(與=4,貝葉(x)=_________.

X1-x

【鞏固練習(xí)2】若對任意實(shí)數(shù)x,均有/(x)-2f(-x)=9x+2,求人尤).

【鞏固練習(xí)3】已知定義在R上的函數(shù)滿足/(力+^(-力=/+%，則函數(shù)八%)的解析式

〃x)=-

【題型5】求嵌套函數(shù)的解析式(換元或配湊)

基礎(chǔ)知識

換元法：已知復(fù)合函數(shù)式g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.

配湊法：由已知條件式g(x))=F(x),可將尸⑴改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以工替代g(x),便得/(%)

的表達(dá)式.

7.函數(shù)/(%)滿足若f(g(%))=9%+3,g(%)=3%+l,則/(%)=()

A./(%)=3%B./(x)=3

C./(%)=27%+10D./(x)=27x+12

8.若函數(shù)/[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+l,則等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3%

【鞏固練習(xí)i]已知函數(shù)/xi—%)=M(久力0%則/'(￡)=()

A.-^--1(%0)B.

(x-1)2(x-1)2

C.(x-1)2-l('x07)D.(x-1)2'1")

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(x)滿足：/1―￡)=/+。則/0)的解析式為()

A./(%)=x2+2B./(x)=x2

C./(%)=x2+2(%。0)D./(%)=X2—2(%W0)

【鞏固練習(xí)3]設(shè)函數(shù)(1+￡|=2X+1,則的表達(dá)式為()

1+X/\1+X7\X/\

A.------(%。1)B.------(%1)C.-----D.呂…)

1-xx-11+X

【題型6】求具體函數(shù)的定義域

基礎(chǔ)知識

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等

式或不等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.

9.函數(shù)y(x)="3一：+(x—2)°的定義域?yàn)?/p>

(x-1萬

〃2x)

10.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,6］,則函數(shù)，一Jbgj2一x)的定義域?yàn)?/p>

【鞏固練習(xí)1］函數(shù)&)=后的定義域?yàn)?)

A.(-00,3]B.(l,+oo)C.(1,3]D.(-oo,l)U[3,+oo)

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)/(x)=-^—+(2x—1)°的定義域?yàn)?)

y/1-x

【鞏固練習(xí)3】(2。24?山東泰安三模)已知函數(shù)/(")=品，則函數(shù)筌的定義域?yàn)?)

A.(-00,1)B.(-00,-1)

c.(—8,-l)u(—l,0)D.(-8,-l)u(—l,l)

【題型7】已知定義域求參數(shù)

基礎(chǔ)知識

函數(shù)定義域是研究函數(shù)的起點(diǎn)，常涉及到兩大問題：一是求函數(shù)定義域，二是已知函數(shù)的定義

域求參數(shù).

一個(gè)帶參數(shù)的函數(shù)，已知函數(shù)值域求參數(shù)的問題，這類問題就是按照求值域的思路并與已知的

值域建立聯(lián)系求參數(shù)的值，本質(zhì)上是已知不等式的解集求參數(shù)值，解題時(shí)從不等式的角度入手比較

容易.

11.若函數(shù)外嗎=7「的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(0,4]

2X-3

12.若函數(shù)/(x)=/:的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.

7ax+ax+]

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)=dmx2+--3)x+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)入的取值范圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-co,1]u[9,+oo)D.{3}

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(%)=J(a2—1)/+(a+l)x+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

()

A.[-1)|]B.(-00,-1)u[|,+0°)

C.[|，+°°)D.(-co,-l]u[1，+°°)

【鞏固練習(xí)3]已知函數(shù)/(%)的定義域{%|小一4a<Xv小一8}是關(guān)于式的不等式

(x+〃+2)(x—2)>0的解集的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[2+V6,+8)B.(—oo,2]u[2+V6,+00)

C.(2,2+伺D.(2,3]

【題型8】抽象函數(shù)的定義域問題

基礎(chǔ)知識

求抽象函數(shù)定義域的方法

⑴若已知函數(shù)於）的定義域?yàn)閯t復(fù)合函數(shù)月g（x）]的定義域可由不等式aWg（x）@求出.

（2）若已知函數(shù)力g（x）]的定義域?yàn)閇a,勿，則式x）的定義域?yàn)間（x）在尤e[a,b]上的值域.

總結(jié)：抽象函數(shù)的定義域的方法是：整體代換法（括號內(nèi)取值范圍相同）.

13.已知函數(shù)y=〃x+l）的定義域?yàn)榭冢?],則函數(shù)y=〃2x-l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

"11「3"I

A.—,1B.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

14.已知函數(shù)丫=/（》+1）的定義域是[-2,3],則y=/（x—l）的定義域是（）

A.[-2,3]B.[-14]C.[0,5]D.MJ]

15.已知函數(shù)'=/（刈的定義域?yàn)閇-2,3],則函數(shù)y="2x：l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

X+1

33

A.[-?1]B.E-p-DuC-U]C,[-3,7]D.啟-1)5T7]

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)y=/（x—1）的定義域?yàn)榭冢?],則函數(shù)y=/（2x-l）的定義域?yàn)?/p>

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)y=/（x+D的定義域?yàn)閇-L5],則函數(shù)y=f（2d）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,3]B.[2,50]C.[-A/3,^/3]D.[-3,右]

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)y=/（2）的定義域是[-1』，則函數(shù)"logs力的定義域是（）

A.[-1,1]B.-1,3C.[1,3]D.[V3,9]

【鞏固練習(xí)4]（2024?陜西西安?一模）若函數(shù)/（￡）的定義域是[0,4],則函數(shù)g（x）=竽的定義域是

A.[0,2]B.(0,2)C.[0,2)D.(0,2]

【題型9】分離常數(shù)法求值域

基礎(chǔ)知識

一次分式函數(shù)：分離常數(shù)法+圖像法，形如〃x）=竺土9（ac/o）的函數(shù)

cx+d

第一步：分離常數(shù)，將分子變?yōu)槌?shù)

a,,ad7ad1ad

，/、ax+b1（cx+d）+0—二ra分離出常數(shù)巴和分子為常數(shù)的分式"一下

/（%）=---------=------------------------—=-+-----—,c------

cx+dcx+dccx+dcx+d

第二步：結(jié)合反比例函數(shù)y=L的值域求函數(shù)/（%）的值域.

CX

16.函數(shù)丁=生口的值域?yàn)?/p>

X

Y—?

【鞏固練習(xí)1】（廣西南寧三中?？迹┤?[。,2],則函數(shù)y="的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,0]B.(-?>,-2]U[0,+w)C.[0,1]D.[-2,1)

3r+2

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)丫=+/的值域?yàn)?/p>

X-1

【題型10]換元法求函數(shù)的值域

基礎(chǔ)知識

求根式型函數(shù)值域：換元法

形如y=ax+b+y/cx+d(acH0)的函數(shù)

第一步：把函數(shù)中的根式Ju+d設(shè)為一個(gè)變量t,并用t表示x,求出t的取值范圍.

第二步：將所求關(guān)于x的函數(shù)變換為關(guān)于t的函數(shù).

第三步：求出y的取值范圍，即所求函數(shù)的值域.

17.函數(shù)f(x)=—x+2五的值域是.

【鞏固練習(xí)1](湖南長沙?高一長郡中學(xué)?？?函數(shù)y=2x+4A/T工的值域?yàn)?)

A.(一8,8]B.(-00,-8]

C.[2,+co)D.[4,+oo)

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)/(x)=2+2,8-十的值域?yàn)?)

A.(-a),4V2]B.[Y0,9]

C.(3,9]D.(-00,8]

【鞏固練習(xí)3】(2024?湖北?三模)函數(shù)y=%—,4%—4的值域?yàn)?).

A.[2-2V2,4]B.[0,4]C.[0,2+2V2]D.[2—2企,2+2回

【題型11]對勾函數(shù)值域問題

基礎(chǔ)知識

h

對于對勾函數(shù)y=or+—(〃,/?>0),是修訂的必修一教材新增的內(nèi)容，在P92頁以探究的形式出現(xiàn)(看

x

課本上好像也沒有叫對勾函數(shù))，可以通過圖像法或構(gòu)造基本不等式來求值域

18.求函數(shù)y=x+的值域.

X

19.求函數(shù)y=2%+'的值域.

x

(1)XG(—J+00)(2)xE.[-3,——]

3

【鞏固練習(xí)1］求函數(shù)＞=%+—+2的值域.

4

【鞏固練習(xí)2］求函數(shù)＞=%+—的值域.

(1)XG(1,+CO)(2)xe(~94)

【題型12］已知值域求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識

這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯(lián)系求參數(shù)的值。這個(gè)例題中，可以通過

判別式法求值域，將值域的范圍轉(zhuǎn)化為判別式一元二次不等式中y的范圍，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)

系求得參數(shù)。

1、雖然這類題型往往是已知值域，但在實(shí)際做題分析時(shí)，仍然從求值域的角度入手分析。

2、辨析值域?yàn)镽或零到正無窮、定義域?yàn)镽之間的區(qū)別

不要死記判別式的情況，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)不一定是二次函數(shù)，我們要get到的是：為了讓值域能達(dá)到

XX,我們內(nèi)層函數(shù)最初提供的范圍，只能多不能少，因?yàn)槭芏x域限制，多的可以舍掉，但是提供

的少了那可就真不夠了。

3、其他一般題型，我們建議多多嘗試數(shù)形結(jié)合。

20.若函數(shù)/(x)=J2尤2_憶+3的值域?yàn)橛?8)，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍是().

A.(-00,-2"]B.(-oo,-2遙]U12#,+oo)

C.|^—2-\/6,25/6JD.^2-$/6,+ooj

21.（2023上.寧波?余姚中學(xué)高一?？迹┮阎瘮?shù)〃x）=log2（2-x）的值域?yàn)椋?85，則函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

【鞏固練習(xí)1】（襄陽市第一中月考）已知函數(shù)/（x）=〃？-4x+3的值域?yàn)椋?,+8），求實(shí)數(shù)上的取

值范圍_____.

【鞏固練習(xí)2】（2023?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考）已知函數(shù)丫=，加+法+c的定義域與值域均為［0』,

則實(shí)數(shù)。的取值為（）

A.-4B.-2C.1D.1

【題型13］分段函數(shù)及其應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，