數(shù)理統(tǒng)計(jì) - 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

PAGE2第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、基本內(nèi)容與公式1.一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的概率分布為：數(shù)學(xué)期望：（絕對(duì)收斂）方差：均方差：連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為:數(shù)學(xué)期望：（絕對(duì)收斂）方差：均方差：2.一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的概率分布為：的數(shù)學(xué)期望：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,則的數(shù)學(xué)期望：一維隨機(jī)變量數(shù)字特征的性質(zhì)；；（為常數(shù)）；；；4.幾種重要分布的數(shù)字特征0-1分布：兩項(xiàng)分布：泊松分布：均勻分布：指數(shù)分布：正態(tài)分布：二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的概率分布為，，,.連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，為邊緣分布，，，二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的概率分布為，的數(shù)學(xué)期望為：連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，的數(shù)學(xué)期望為：7.二維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)若獨(dú)立,有若獨(dú)立,有8.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差：相關(guān)系數(shù)：與不相關(guān)；與負(fù)相關(guān)；與正相關(guān)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)若相互獨(dú)立,有；若相互獨(dú)立，有，不相關(guān)；反之若，不相關(guān)，但未必獨(dú)立。與有線性關(guān)系對(duì)服從二維正態(tài)分布的隨機(jī)變量，相互獨(dú)立不相關(guān)注：教學(xué)基本要求理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的定義和意義。會(huì)計(jì)算離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差、均方差。會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。熟練掌握兩點(diǎn)分布、兩項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。會(huì)計(jì)算二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差。會(huì)計(jì)算二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差理解協(xié)方差的定義，掌握協(xié)方差的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算協(xié)方差。理解相關(guān)系數(shù)的定義，掌握相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算相關(guān)系數(shù)。理解兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立與不相關(guān)之間的關(guān)系。三、典型例題分析例１設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊目標(biāo)的概率為，求的數(shù)學(xué)期望。解：因?yàn)椤Ｓ深}意：，于是，。例2設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且。隨機(jī)變量，求。解：由題意，得；；；于是，有；。例3按規(guī)定，某車站每天8:00~9:00和9:00~10:00之間都恰有一輛客車到站,但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立.其規(guī)律為8:00~9:00到站時(shí)間9:00~10:00到站時(shí)間8:109:108:309:308:509:50概率1/52/52/5一旅客8:20到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.解：設(shè)旅客的候車時(shí)間為。該旅客乘9：10的車，意味著:00~9:00，這班車在8:10開(kāi)走了。候車時(shí)間50分鐘，對(duì)應(yīng)的概率為“第一班車8:10開(kāi)走，第二班車9:10開(kāi)，兩事件同時(shí)發(fā)生的概率”，即。他候車70分鐘、90分鐘對(duì)應(yīng)的概率類似處理。于是候車的分布律為：1030507090因此其數(shù)學(xué)期望為（分）。例4某射手每次射中目標(biāo)的概率為,現(xiàn)帶有5發(fā)子彈準(zhǔn)備對(duì)一目標(biāo)連續(xù)射擊（每次打一發(fā)），一旦射中或子彈打完了就立刻轉(zhuǎn)移到別的地方。問(wèn)他在轉(zhuǎn)移前平均射擊幾次？解：設(shè)表示在轉(zhuǎn)移前射擊的次數(shù)，則的概率分布為：12345于是，所求平均射擊次數(shù)為：例5某人有9把鑰匙，其中只有一把能打開(kāi)一門。今任取一把試開(kāi)，不能打開(kāi)者除去，求打開(kāi)此門所需要試開(kāi)次數(shù)（記為隨機(jī)變量）的數(shù)學(xué)期望和方差。解：的可能取值為：1，2，…，9于是；；；；…………；于是，的概率分布為：；其數(shù)學(xué)期望為：；；。例6設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求。解：是偶函數(shù)）例7已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù),求解：由隨機(jī)變量的分布函數(shù)，得其概率密度為：；于是，；；。例8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：，且已知，求常數(shù)。解：由；由，即；由，即；解上述方程組，得。例9設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：，求。解：由X的分布律得：于是，；。。例10假設(shè)公共汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、30分、50分發(fā)車，某乘客不知發(fā)車的時(shí)間，在每小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)車站是隨機(jī)的，求乘客到車站等車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。解：由于乘客在每小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)車站是隨機(jī)的，因此可以認(rèn)為乘客到達(dá)車站的時(shí)刻為中的均勻分布，于是其分布密度為：；顯然，乘客等候時(shí)間是其到達(dá)車站時(shí)刻的函數(shù)，可用如下公式表示：于是，。例11對(duì)圓的直徑作近似測(cè)量，設(shè)其值均勻地分布在區(qū)間內(nèi)，求圓面積的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)圓的直徑為隨機(jī)變量，面積為隨機(jī)變量的函數(shù)；由于服從均勻分布，所以的分布密度為：于是，。例12過(guò)半徑為R的圓周上一點(diǎn)任意作這圓的弦。求這些弦的平均長(zhǎng)度。解：設(shè)弦與直徑的夾角為隨機(jī)變量，則弦長(zhǎng)為的函數(shù)，。因?yàn)榉纳系木鶆蚍植?，所以的分布密度為：于是，。?3設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：0101求：的數(shù)學(xué)期望。解：由二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律得：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0001所以，.例14設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：01001問(wèn)與是否獨(dú)立？是否相關(guān)？解：由二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律可得與的邊緣分布律：； 由于，所以與不獨(dú)立。于是。由的聯(lián)合分布,可得:,所以，；于是相關(guān)系數(shù)，所以與不相關(guān)。例15將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以，分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則，的相關(guān)系數(shù)等于（）-1；B）0；C）；D）1解：由題意知，，于是與線性相關(guān)，而且，因此，應(yīng)選A。例16設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為：求：解：由二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，得關(guān)于的邊緣分布律：；于是，；；；;.例17設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為：判別與是否獨(dú)立？是否相關(guān)？（2）求。解：（1）由聯(lián)合分布，得關(guān)于與的邊緣分布：因?yàn)椋凰裕c不獨(dú)立。，，，于是，，所以，與不相關(guān)。，，，，；。例18設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且，試求的概率密度。解：因?yàn)榉恼龖B(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，所以只需確定的數(shù)學(xué)期望與方差即可求出的概率密度。而，，與獨(dú)立，所以，的概率密度。例19設(shè)，問(wèn)與是否相關(guān)？解：因?yàn)椋挥捎?，于是，，所以，故與不相關(guān)。例20設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且它們的密度函數(shù)分別