高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)大題沖關(guān)（六）概率與隨機(jī)變量及其分布列

高考大題沖關(guān)系列(6)]高考中概率、隨機(jī)變量及分布列的熱點(diǎn)題型

命題動(dòng)向：在高考的解答題中，對概率與隨機(jī)變量及其分布相結(jié)合的綜合問

題的考查既是熱點(diǎn)又是重點(diǎn)，是高考必考的內(nèi)容，并且常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合，設(shè)計(jì)成

包含概率計(jì)算、概率分布列、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差、統(tǒng)計(jì)圖表的識別等知

識的綜合題.以考生比較熟悉的實(shí)際應(yīng)用問題為載體，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識和

基本方法分析問題和解決問題的能力.

題型1求離散型隨機(jī)變量的均值與方差

例1(2021.新高考I卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問

題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,

若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問

題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確

得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.已

知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且

能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(D若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,20,100.

P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=o.8x(l-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8x0.6

=0.48.

故隨機(jī)變量X的分布列如下：

X020100

p0.20.320.48

(2)設(shè)小明先回答B(yǎng)類問題，記y為小明的累計(jì)得分，

則隨機(jī)變量y的所有可能取值為o,so,wo,

P(r=0)=1-0.6=0.4,P(y=80)=o,6x(l-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6x0.8

=0.48.

故E(Y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

由(1)知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

因?yàn)镋(F)>E(X),故應(yīng)先回答B(yǎng)類問題.

?沖關(guān)策呦

離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨

機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布

等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式

求解，而對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注

意離散型隨機(jī)變量的取值與概率的對應(yīng).

變式訓(xùn)練1(2024.保定開學(xué)考試)2015年5月，國務(wù)院印發(fā)《中國制造2025》,

是我國由制造業(yè)大國轉(zhuǎn)向制造業(yè)強(qiáng)國戰(zhàn)略的行動(dòng)綱領(lǐng).經(jīng)過多年的發(fā)展，我國制

造業(yè)的水平有了很大的提高，出現(xiàn)了一批在國際上有影響的制造企業(yè).我國的造

船業(yè)、光伏產(chǎn)業(yè)、5G等已經(jīng)在國際上處于領(lǐng)先地位，我國的精密制造也有了長足

發(fā)展.已知某精密設(shè)備制造企業(yè)生產(chǎn)某種零件，根據(jù)長期檢測結(jié)果，得知生產(chǎn)該

零件的生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(64,100),且質(zhì)量指標(biāo)值在［54,

84］內(nèi)的零件稱為優(yōu)等品.

⑴求該企業(yè)生產(chǎn)的零件為優(yōu)等品的概率(結(jié)果精確到0.01)；

(2)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取5件，隨機(jī)變量y表示抽取的5件中優(yōu)

等品的個(gè)數(shù)，求y的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

附：若X?N@,tr),貝ij一oWXW〃+0戶0.6827,尸色一+

2(7)-0.9545,P(ju-+3亦0.9973.

解(1)由題意知，X?N(64,100),則〃=64,<7=10,54=〃—%84=〃+2/

由+(T)~0.6827,

P(ju-+2加0.9545,

得「(54WXW84)=P(54WXW64)+P(64^X<84)=1x0.6827+^0.9545-0.82.

故該企業(yè)生產(chǎn)的零件為優(yōu)等品的概率為0.82.

(2?的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

p(y=0)=(1—0.82)5,

P(Y=l)=dx0.82X(l-0.82)4,

P(y=2)=CsX0.822X(l-0.82)3,

P(y=3)=dX0.823X(1-0.82)2,

P(Y=4)=C&X0.824X(l-0.82),

p(y=5)=0.825,

則y的分布列為

Y012

P(1-0.82)50X0.82X(1—0.82)4CgX0.822x(1—0.82"

Y345

PCgX0.823x(1—0.82)2CiX0.824X(1-0.82)0.825

由y?8(5,0.82),則E(y)=5x0.82=4.1,D(Y)=5x0.82x(l-0.82)=0.738.

題型2概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

例2(2022.新高考n卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某

種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

頻率/組距

0.023

0.020

0.017

0.002

0.001

0102030405060708090年齡/歲

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值為代表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人

口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),

求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者

的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)

解⑴平均年齡X=(5x0.001+15X0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)由于患者的年齡位于區(qū)間［20,70)是由患者的年齡位于區(qū)間［20,30),［30,

40),［40,50),［50,60),［60,70)組成的,

所以所求概率P=(0.012+0.017x2+0.023+0.020)x10=0.89.

(3)設(shè)從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間［40,50)為事件A,患這種疾病為事

件3,則P(A)=16%,

由頻率分布直方圖知，這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［40,50)的概率為

0.023x10=0.23,

結(jié)合該地區(qū)這種疾病的患病率為04％,可得P(A3)=0.1%X0.23=0.00023,

所以從該地區(qū)任選一人，若年齡位于區(qū)間［40,50),則此人患這種疾病的概

P(AB)0.00023

率為P(B\A)%0.0014.

P(A)16%

?沖關(guān)策略J

概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為高考的一大亮點(diǎn)和熱

點(diǎn).它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交

匯性.統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以

考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之

和相應(yīng)的概率計(jì)算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題.

變式訓(xùn)練2(2023?深圳模擬)某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識競賽,

知識競賽包含預(yù)賽和決賽.

(1)下表為某10位同學(xué)的預(yù)賽成績:

得分939495969798

人數(shù)223111

求該10位同學(xué)預(yù)賽成績的上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))和平均數(shù)；

(2)決賽共有編號為A,B,C,D,E的5道題，學(xué)生甲按照A,B,C,D,E

的順序依次作答，答對的概率依次為率各題作答互不影響，若累計(jì)

答錯(cuò)兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記X為比賽結(jié)束時(shí)學(xué)生甲已作答的題

數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解⑴因?yàn)?0X0.75=7.5,所以上四分位數(shù)為第8個(gè)成績，為96;

93x2+94x2+95x3+96+97+98

平均數(shù)為95.

10

(2)由題意可知,X的所有可能取值為2,3,4,5,

所以P(X=2)=|x|=|,

11121131

P(X=3)32X2+32X2-12-41

111221122112105

P(X=4)-y-v-y—?—y-v-v-_1_-y-v-——--------------

322332233223—36-18'

,八2111111121112111211211

P(X=5)=3X2X2X3+3X2X2X3+3X2X2X3+3X2X2X3+3X2X2X3=36,

所以X的分布列為

X2345

11511

P

641836

…,5=1113467

E(X)=2x-+3+4x-+5x-=—=

題型3概率與線性回歸的綜合問題

例3某人經(jīng)營淡水池塘養(yǎng)草魚，根據(jù)過去40期

5

的養(yǎng)殖檔案，該池塘的養(yǎng)殖重量x(百斤渚E在20百斤4

3

以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且

不超過60百斤的有24期，超過60百斤的有8期.根

023578”百斤

據(jù)統(tǒng)計(jì)，該池塘的草魚重量的增加量M百斤)與使用

某種餌料的質(zhì)量式百斤)之間的關(guān)系如圖所示.

(D根據(jù)數(shù)據(jù)可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，請建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡

=曲+1;如果此人設(shè)想使用某種餌料10百斤時(shí)，草魚重量的增加量須多于5百

斤，請根據(jù)回歸方程計(jì)算，確定此方案是否可行？并說明理由；

(2)養(yǎng)魚的池塘對水質(zhì)含氧量與新鮮度要求較高，某商家為該養(yǎng)殖戶提供收費(fèi)

服務(wù)，即提供不超過3臺(tái)增氧沖水機(jī)，每期養(yǎng)殖使用的增氧沖水機(jī)運(yùn)行臺(tái)數(shù)與魚

塘的魚重量X有如下關(guān)系：

魚的重量（單位：百斤）20Vx<4040WXW60X>60

增氧沖水機(jī)運(yùn)行臺(tái)數(shù)123

若某臺(tái)增氧沖水機(jī)運(yùn)行，則商家每期可獲利5千元；若某臺(tái)增氧沖水機(jī)未運(yùn)

行，則商家每期虧損2千元.視頻率為概率，商家欲使每期增氧沖水機(jī)總利潤的

均值達(dá)到最大，應(yīng)提供幾臺(tái)增氧沖水機(jī)？

AA

附：對于一組數(shù)據(jù)（Xi,yi）,（X2,/）,（Myn）,其經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=6x+

AA

。的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=

S（劣—x}（y~y）Hxiyi—nxy

i=i__：=i

與（若一無）2，4=y_%，

5

解（1）依題意，得F=5,9=4,1（R—亍）（y

—5；）=6,S（巧—x）*2*4=26,

）>=1

5

一2（石一三）（北一夕）n.

所以〃=——5----------------------=—,a=y—bjc=

Z（巧一萬）2

i=1

_3^,37

44-nX5=n9

A337

所以,=育+百，

A67

當(dāng)x=10時(shí)，y=—>5,故此方案可行.

（2）設(shè)盈利為r,提供I臺(tái)，盈利y=5000.

提供2臺(tái)，當(dāng)20Vx<40時(shí)，y=3000,P=1,

4

當(dāng)X240時(shí),Y=10000,P二亍

14

所以E（Y）=不3000+^xlOOOO=8600.

提供3臺(tái)，當(dāng)20Vx<40時(shí)，y=1000,P=j,

3

當(dāng)40WXW60時(shí)，y=8000,尸二手

當(dāng)X>60時(shí)，Y=15000,P=1.

131

所以E(Y)=lOOOx-+8000x-+15000x-=8000.

因?yàn)?600>8000,故應(yīng)提供2臺(tái)增氧沖水機(jī).

本題主要考查概率與回歸方程等知識，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,

注意分析數(shù)據(jù)，定型求解，正確計(jì)算是關(guān)鍵.

-變式訓(xùn)練3抗體藥物的研究是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗

體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研

究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)做了

初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為五單

位：mg),體內(nèi)抗體數(shù)量為y(單位：AU/mL).

12-

10-

101214161820222426A：

10

表中ti=InXi,Si=Inyi.

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇y=c/作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的

經(jīng)驗(yàn)回歸方程，將丁=。/兩邊取對數(shù)，得lny=lnc+Mnx,可以看出Inx與Iny

具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測抗體

藥物攝入量為25mg時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量y的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正

態(tài)分布M0.48,0,032),那這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

AAA

附：①對于一組數(shù)據(jù)3,v/）（z=l,2.n）,其經(jīng)驗(yàn)回歸直線v="/+a的斜

n

￡UiVi-nuv

Az=1A_A_

率和截距的最小二乘估計(jì)分別為夕=F---------1，?=v-Pu；

ZM"〃M2

i=1

②若隨機(jī)變量z?N3,/)，則有PC(z-o<Z<U+<7)-0.6827,P(ju-2O<Z<M+

2(7)-0.9545,P(ju-3a<Z<ju+3。戶0.9974;

③取e-2.7.

解(1)將y=c/兩邊取對數(shù)，得lny=lnc+Mnx,

由題知，5=lny,t=\nx,則經(jīng)驗(yàn)回歸方程變?yōu)閟=lnc+必，

_110110

由表中數(shù)據(jù)可知，s=瓦2產(chǎn)=1.6,7=而斗=1.2,

10―

ZtiSi-10Zs

Ai=129.2-10x1,2x1.6A_A_

所以)=Inc=s-dt=1.6-

34.4—10x1.22

I??-1072

i=1

0.5xl.2=l,

所以s=1+0.5%,即Iny=1+0.51nx=Ine+Inx05=Inex0,5,

故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=ex0-5,

當(dāng)x=25mg時(shí)，y=e-25°-5?2.7X5=13.5AU/mL.

(2)因?yàn)閦服從正態(tài)分布M0.48,0.032),其中〃=o.48,cr=0.03,

所以+2d)=P(0.42WzW0.54Ao.9545,

1-P(0.42WzW0.54)1-0.9545

所以P(z>0.54)=---------:——;---------------、——二,——=0.02275.

故這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為0.02275.

題型4概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題

例4（2022.新高考I卷改編）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)

地居民的衛(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的

病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了

100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù):

生活習(xí)慣

組別

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)依據(jù)小概率值a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾

病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B

P(B|A)P(B|A)

表示事件“選到的人患有該疾病”.一Z---與一二^的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠

P(B|A)P(B|A)

良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

P(A⑻P⑶口)

(i)證明:R

P(A|B)P(A|5)

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),P(A|口)的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出

R的估計(jì)值.

2

2n(ad-be)

附?“-(Q+Z?)(c+d)(Q+C)(b+d)'

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)零假設(shè)Ho：患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣無差異.

n(ad-be)2

"(a+0)(c+d)(a+c)(。+d)

200x(40x90-60x10)2

100X100X50X150

=24>6.635=xo.oio,

依據(jù)小概率值a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷Ho不成立，即認(rèn)為患該疾病群

體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

PP|A)P(B|A)

◎（i）證明：因?yàn)镽

P(B|A)P(B|A)

P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A3)P(A

⑷

PP(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)

P(A⑻P(:⑻P(AB)P⑻P(AB)P(R)

而P(N⑻P(A|B)P⑻

P(AB)P(B)P(AB)

P(AB)P(AB)

P(AB)P(AB)

P(A|5)P(A|B)

所以R=-=—.--------=—.

P(A|B)P(A|B)

402_101

(ii)由已知P(A|B)=而=彳。(用")=礪=而,

_603___909

又P(A⑻=礪=予尸(&|3)=礪=記，

P(A|S)P(A|B)

所以R=-=—.--------=—=6.

P(A|5)P(A|B)

?沖關(guān)策略J

此類題目雖然涉及的知識點(diǎn)較多，但每個(gè)知識點(diǎn)考查程度相對較淺，考查深

度有限，所以解決此類問題，最主要的是正確掌握概率與統(tǒng)計(jì)案例的基本知識，

并能對這些知識點(diǎn)進(jìn)行有效的融合，把統(tǒng)計(jì)圖表中的量轉(zhuǎn)化為概率及分布列求解

中的有用的量是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

變式訓(xùn)練4（2023?全國甲卷）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只

小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.

（1）設(shè)指定的兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）:（已按從小到大排好）

對照組：

17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628