橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展32橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題（精講+精練）

、知識點梳理

一、橢圓、雙曲線中的焦點三角形面積公式

A

1.如圖1所示，K、F2是橢圓的焦點，設(shè)P為橢圓上任意一點，記3%=9，貝uAPF居的面積Stan-.

證明：如圖，由余弦定理知出國、|尸珊+歸閭2_2儼周次用cose=4c?.①

由橢圓定義知：|「￡|+|尸段=%,

2tan

則②?2一①得1Pz訃|尸碼——,/.SAF|P/?2=^\PF^\PF2\sma=~Y~~——sina=b^■

當a=90°時,S工RPF?=b?tan45°=b2.

b2

2.如圖2所示，F(xiàn)、、F是雙曲線的焦點，設(shè)P為雙曲線上任意一點，記"PF。=9,貝IJ，式迷的面積S=

29'

tan—

2

證明：如圖，由余弦定理知2|夕周|尸閭85&=|尸娟2+上閭2_忻閶2,

21MliPB|cosa=（|咫|-|巡『+2］尸耳歸國一國工「，

2|「劇PK|costz=(2a)2+2|尸7磯尸閶—(Ze),

2b2b2

2|Pf；||P^|(cosa-l)=4(a2-c2),附廳局=

…a咽,

b

5y附=；|PK11P閶sina=a?2sin羨cos￡=.

~2sin2—tan-,

22

當a=90°時，3四嗨=/tan45°=Z?2.

二、橢圓、雙曲線的焦點三角形中的離心率

1.如圖1所示，在焦點三角形背景下求橢圓的離心率，一般結(jié)合橢圓的定義，關(guān)鍵是運用已知條件研究出

APKB的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.

八一c2c用丹|sinZFPF,

公式：e=—=——=?---：~：---p=-------------------------=-----------

a2a|「國+|P周sinZPFiF2+sinZPF^

2.如圖2所示，在焦點三角形背景下求雙曲線的離心率，一般結(jié)合雙曲線的定義，關(guān)鍵是運用已知條件研究

出APRF?的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.

八一c2c|￡閭sinZFPF,

工L■e=_—___—___!____!___—____________J_______

,~a~2a~||PF；|-|Pf；||-|sinZPf；f；-sinZPF,f；|,

二、題型精講精練

22

【典例1】設(shè)耳、B是橢圓a+\=1的兩個焦點，點P在橢圓上，/￡尸耳=60。，則//記的面積為

【解析】由焦點三角形面積公式，S.=b2tan-=4xtan30°=^.

23

2

【典例2】已知雙曲線一匕=1的左、右焦點分別為月、F2，點P在C上，且N￡尸8=60。，貝隈出8

的面積為.

【解析】由焦點三角形面積公式，S.pFF='=^^=36.

A12.0tan30°

tan—

2

【典例3】（2018?新課標II卷）已知耳、F2是橢圓C的兩個焦點，尸是橢圓C上的一點，若尸片，尸后，

且/尸耳￡=60。，則C的離心率為（）

A.1--B.2->/3C.^^D.73-1

22

【解析】解法1：如圖，PF、1PF?，"*=60。,故可設(shè)忸1|=2,則|尸耳|=百，|尸引=1,

2

所以C的離心率6==\/3-1.

附|+附|+1

sinNG時sin90。

nNPKE=300ne==百-1.

sinN尸百鳥+sinNPg耳sin300+sin60°

【典例4］已知小F,是雙曲線C:「-2=l的左、右焦點，點尸在C上，PF,±PF,,且/尸￡居=30。,

ab

則雙曲線C的離心率為.

【解析】解法1：如圖,由題意，不妨設(shè)|尸用1=1,則|小|=百，比4=2,

閨周

所以e=

解法2：如圖，由題意，ZPF^=60°,^FXPF2=90°,所以e=

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.橢圓中的焦點三角形

①離心率公式的直接應(yīng)用

一、填空題

22

1.設(shè)耳、月是橢圓。：1+當=1（。>6>0）的左、右焦點，P在C上且尸耳,彳軸，若/月尸耳=30。，則橢圓

ah

C的離心率為.

【答案】2-6

【解析】如圖，ZF1PF2=30°S.PF1±X,故可設(shè)尸8=2,則|尸團=6，忸區(qū)|=1，

所以橢圓C的離心率e=1歲夕=一1^=2-退.

歸司+|P周2+73

ZEPF.=30。

解法2：如圖,12n/PBE=60。

PFXLFXF2

sinZ^PT^sin30。

=2-四

sinZPF^+sinZPF^sin900+sin60°

2.在~4BC中，ABLAC,tanZABC=-,則以8、C為焦點，且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為

3

【答案】巫

4

【解析】如圖，不妨設(shè)AB=3,AC=1,

BCTip

則BC=Jid,所以e

A8+AC一丁

解法2：如圖，tanZABC--sinZABC=—sinZACB=

31010

_sinZBAC_叵

e~sinZABC+sinZACB"丁,

22

3.過橢圓A+2=1(“>6>0)的左焦點月作無軸的垂線交橢圓于A、B兩點，橢圓的右焦點為F?,若

ab

cosNA凡B=-,則橢圓的離心率為.

-8

【答案】上也

3

【解析】解法1：如圖，

1177

cosZAFB=cos2ZAFF=-=>l-2sin92ZAFF=-=>ZsinZAFF=

22l2121V|AK|

34-77

不妨設(shè)但周=近,\AF\=4,則陽用=3,所以e

2+國一4+小一3

解法2：如圖，cosZAFB=cos2AAFF=-

22X8

n1-2sin2NA與耳=；=>sinNA與耳=

3

=>sinZF{AF2=COSZAF2I\=—

3

sinNFAF244-A/7

Ne=1

sinZAF{F2+sinZAF2FI、+幣3

彳

4.在AABC中，AB=2,BC=1,且60。4NABC490。，若以8、C為焦點的橢圓經(jīng)過點A,則該橢圓的離

心率的取值范圍為

【答案】[A/5-2,2-A/3]

【解析】解析：如圖，設(shè)NABC=6（60。40490。）

貝!IAC2=AB2+BC2-ZAB-BC-cosZABC=5-4cos6,

60°<0<9O°^O<cos0<-^y/3<AC<s/5,

2

BC

而e--,所以e-24eV2-瓜

AB+AC2+AC

5.在AR4B中，PA±AB,tanZPBA=~,則以A、B為焦點,且經(jīng)過點P的橢圓的離心率為

2

x/5-1

【答案】

2

【解析】如圖，由題意，不妨設(shè)|尸司=1,

網(wǎng)26-1

則|A同=2,\PB\=45,所以e=

|尸川+|尸同-1+退—2

4

=1（。>6>0）的左、右焦點，點P在C上，且=45。，cosZPF2Ft

則橢圓C的離心率為

【答案】5-30

【解析】如圖，cos/PRE=：nsinNPg￡=1,

NFFB=180°-/PRF]-NPF2K=135。一ZPF^,

76

所以sinN大「瑪=sin(135。-ZPF26)=sin135。cosZPF2々一cos135。sinZPF2F}=3-

故e=--------sm/.時---------=5-30.

sinAPFXF2+sinAPF2FX

AB=也,BC=l,若以8、C為焦點的橢圓經(jīng)過點A,則該橢圓的離心率為

【答案】鋁

【解析】AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=1

=AC=U橢圓的離心率-端片=4.

22

8.過橢圓C:二+==1（。>6>0）的左焦點尸作無軸的垂線交橢圓C于A、8兩點，若AABO是等腰直角三

ab

角形，則橢圓c的離心率為.

【答案】史匚

2

【解析】如圖，設(shè)橢圓C的右焦點為耳，AABO是等腰直角三角形—AFO也是等腰直角三角形，不妨設(shè)

\AF\=\OF\=1,貝!|忸41=2,3周=百,

2_A/5-1

所以橢圓C的離心率6=閨用

M+KI1+75-2

解法2：AABO是等腰直角三角形.AFO也是等腰直角三角形，

/72

n|AF|=|（?F|n-=c^>b2=ac

=ac^>c2+ac-a2=0^e2+e-l=0^e=,

2

22_

9.設(shè)耳、瑞是橢圓。號+方段。*>。）的左、右焦點，過月且斜率為由的直線/與橢圓C交于A、B

兩點，AF2A.FXF2,則橢圓C的離心率為.

【答案】2-73

【解析】解法1：如圖，直線鉆的斜率為招nNA「心=60。，

又48_1片《，所以乙48￡=90。，AF{AF2=30°,

不妨設(shè)區(qū)居|=1,則|A司=2,\AF2\=y/3,

出閱

所以橢圓C的離心率6=餐=2-瓜

Rl+I^l

解法2：如圖，直線AB的斜率為由nNA片工=60。，

又A8_L耳耳，所以NA8￡=90。，N￡A8=30。，

故橢圓C的離心率e=-------疝4伍----------=2-瓜

sinZAF{F2+smZAF2Fx

2

+%=1（。>匕>0）的左、右焦點，以片鳥為直徑的圓與橢圓的4個交點和第、F2

恰好構(gòu)成一個正六邊形，則橢圓E的離心率為

【答案】73-1

【解析】如圖，由題意，8CD耳是正六邊形，所以44￡工=60。，NA8耳=30。，N￡A8=90。，故橢

圓E的離心率e--------sm/.和-------=A/3-1.

sinZAF{F2+sinZAF2F1

。>萬>0）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P在第一象限，外居是橢圓c

若X

的左、右焦點，|。尸|=|。刃,,則橢圓C的離心率的取值范圍為

3

【答案】小一1

I2」

【解析】如圖，\OP\=\OF2\=>\OP\=^\FlF2\=>PFl±PF2

顯然四邊形因。鳥是矩形，所以|0胤=|尸用，

由題意,耨咚

所以

設(shè)/尸石耳貝!a=.走

=<z,Jtan產(chǎn)居|所以a230。，

12歸居|3

又點P在第一象限，所以|尸國<|尸耳

故tanacl,即a<45°,所以30°Wa<45°,

橢圓C的離心率

_sin/居PB_________1_________]_]

sinZPF{F2+sinZPF2FXsin（7+sin（90°-a）sina+cosa0sin（y+45。）

由30。4。<45?？傻?5?！?+45。<90。，所以二；夜<$皿a+45。）<1,故與<eW#>-l.

②綜合應(yīng)用

一、單選題

1.設(shè)用，鳥為橢圓C:1+y2=l的兩個焦點，點尸在C上，若居.朋:0,則|尸/訃|尸囚=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△Pf；工的面積，即可解出；

方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出.

【詳解】方法一：因為圖?質(zhì)=0,所以/咐招=90。，

從而凡眸=〃tan45=l=：x|尸胤JP周，所以1mHp閶=2.

故選：B.

方法二：

因為西?兩=0,所以/時工=90。，由橢圓方程可知，c2=5-i=4nc=2,

所以|P圖2+|尸詞2=但用2=不=16,又歸外+歸國=2。=26，平方得：

\PFf+|尸球+2|尸制尸閶=16+2|尸耳歸周=20,所以1mHp閶=2.

故選：B.

22

2.已知￡、尸2是橢圓C：a+/=l(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且兩，%.若△尸時的

面積為9,則實數(shù)6的值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.

【詳解】由題意，|PK|+|P閭=2a,S^=~\PF\-\PF^=9,即|尸耳卜|尸閶=18,\PF^+\PF^=^,

整理可得(附|+|P閭)2-2閥口尸囿=4/,4a2-36=4c2,貝!|〃一。2=9,解得6=3.

故選：A.

22

3.己知耳，F(xiàn)?分別為橢圓C:j+*=l的兩個焦點，尸為橢圓C上的一點，則△2￡居內(nèi)切圓半徑的最大

1612

值為（）

A.6B.逑C.空D.72

33

【答案】C

【分析】由橢圓定義得到（以咫鳥=|尸耳|+|下閱+閨閶=2。+2。=12,從而利用面積列出方程，得到

6r=2區(qū)區(qū)4月，求出罵的內(nèi)切圓半徑的最大值.

【詳解】設(shè)△尸片耳內(nèi)切圓的半徑為,，

由題意得：a=4,6=26，c=J16-12=2,故國司=4,

因為尸為橢圓C上的一點，故回歸。=2百，

所以C""2=|W|+|P閭+|耳閶=2o+2c=12,

又=5由耳卜|詞=5金咫弓,r,

貝！16r=2|y/w46,所以半.

故選：C

22

4.已知點P在橢圓C:=+當=1（。>6>0）上，點0B分別為橢圓C的左、右焦點，并滿足|OP|=|O周,AOP片

ab

面積等于4,則從等于（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)。尸|=。團，得到尸，耳心三點共圓，且尸耳,尸工，再根據(jù)△。即面積等于4,結(jié)合橢圓的定

義求解.

【詳解】如圖所示：

由條件可知10Pl=。耳|=|。第I，P,片,用三點共圓.

且以寓居I為直徑.故口口尸工.

設(shè)|P￡|=聞尸閶=〃,

22mn

則/+n=（2c）,SAOPFI=|S/曬=|-1=4,

解得mn=16.

因為點夕在橢圓上，

所以機+〃=2a,

聯(lián)立以上式子可解得：

2222

4Q2=4c+32,b=a—c=S9

故選：C.

5.已知一個離心率為g,長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為F1,F1,在橢圓上存在一個點P,使得/耳至=60。,

設(shè)△耳尸耳的內(nèi)切圓半徑為廠，則廠的值為（）

A.正B.正C.—D.且

6323

【答案】D

【分析】在△刊例中，利用余弦定理求得忸居用="再由

山"2=:閥H*，sin60。=］（閥|+|叫+山閭）求解.

【詳解】解：因為橢圓的離心率為3，長軸長為4,

所以。=2,c=l,

在△尸;例中，由余弦定理得：閨6「=|期「+|相「-2|尸耳］.歸7訃COS60。，

=（附|+|%『-3閥卜歸閭,

解得|尸耳卜|%|=4,

所以尸/訃sin6（r=gr（|尸胤+上閭+內(nèi)丹），

1,731八7

一x4x二一?二—rx（4+2）,

222v7

解得「=3，

3

故選：D

6.已知耳(―c,0),g(c,0)是橢圓E的兩個焦點，尸是E上的一點，若西.%=(),且則E的

離心率為()

N.巫B.逅C.正D.正

5322

【答案】C

【分析】由圖?困=0得焦點三角形為直角三角形，結(jié)合勾股定理與橢圓定義可得|WH%|=2a2-2c2,

2

再由面積公式S^PFi=^\PFi\-\PF2\=c可得齊次方程，進而求出離心率

【詳解】由兩?理=0得兩，抽，貝!］閨尸「+優(yōu)尸『=山區(qū)「=4°2,

由橢圓定義可知：忸尸|+內(nèi)尸|=2%

所以(忸P|+］名尸］『=4〃，即閨斤+因用+2|超卜歸國=4〃，

所以歸周?〔尸閶=26-2°2,

又邑耳和尸名|=02,所以4―°2=C2,即/=202,

故E的離心率為￡=克.

a2

故選：C.

22

7.設(shè)O為坐標原點，片,月為橢圓Cr:土+V乙=1的兩個焦點，點P在C上，cos/￡P(guān)"3=，則I。尸|=()

965

A.上B.我C.匕D.叵

5252

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△2月鳥的面積，即可得到點尸的坐標，從而得出|。尸|的值;

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出I尸制1PBi因「+戶圖2,再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即

可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出p用？+|PK「，即可根據(jù)中線定理求出.

【詳解】方法一：設(shè)/￡尸8=240<。<],所以凡％a=b2tan幺F=/tane,

.c八cos26,-sin231-tan203初g,八1

由cosN與尸鳥=cos26=——------------=---------=一，解得：4tan6>=-,

12cos26>+sin26>1+tai?652

由橢圓方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,

所以，=gx|用用xM=（x2gxNJ=6xg,解得：y；=3,

即W=9X『K因此|?？?斤孑=61=與.

故選：B.

方法二：因為|「耳|+忸局=%=6①，|尸制2+歸閭2一2歸即尸閭/耳尸鳥=壞周2,

即附「+|時廣-［孫歸國=12@,聯(lián)立①②，

解得：附歸目=￡，附「+|產(chǎn)研=21,

而所=g（西+*）,所以|OP|=|司卜西+阿|,

即同卜料+明臼時+2聽%+峭=/1+2*鴻=等.

故選：B.

方法三：因為|尸￡|+|尸弱=%=6①，|尸周2+忸歐一2|尸即尸闖/￡尸耳=國用2,

即|Pf；「+|P用2_■|閥歸可=12②，聯(lián)立①②，解得：附『+|尸閭2=21,

由中線定理可知，（2|0P|『+閨用2=2伊葉+歸周［=42,易知閨閶=2石，解得：|。尸卜粵.

故選：B.

8.K，F(xiàn)?是橢圓C的兩個焦點，尸是橢圓C上異于頂點的一點，/是8的內(nèi)切圓圓心，若△尸打工的

面積等于△正月的面積的4倍，則橢圓C的離心率為（）

A.-B.1C.走D.且

3222

【答案】A

【分析】設(shè)P（機,〃），△尸￡居的周長為1,由橢圓的定義可得2a+2c=/,根據(jù)面積法求得△尸￡居的內(nèi)切圓

半徑,，又△尸百居的面積等于△正月的面積的4倍，列出方程可得a，。的關(guān)系，從而可得離心率.

22

【詳解】設(shè)橢圓方程為：3+2=1，耳，B是橢圓c的兩個焦點，P是橢圓c上異于頂點的一點，

ab

設(shè)尸（私小，耳（-c,0）,6（c,0）,AW記的周長為1,由橢圓的定義可得2a+2c=/,

△時的內(nèi)切圓半徑r=竺"g=四旦=四，以班尼=4%他，

I2a+2ca+c

所以（x2cx|〃|=4x!x四x2c,解得：-=1,即離心率e="

22a+ca33

故選：A

22

9.設(shè)B,B是橢圓C：鼻+今=l（a>6>0）的左、右焦點，。為坐標原點，點P在橢圓C上，延長交

ab

若△尸的面積為由從則用=（

橢圓C于點Q且1PBi=|PQ|,

3

B.逑D.還

C.百

33

【答案】B

【分析】利用焦點三角形的面積公式及橢圓的定義可得乙甲迅=5,進一步得△F1PQ為等邊三角形，且

軸，從而可得解.

【詳解】由橢圓的定義，\PFl\+\PF2\=2a,

陷|2+附|2一4°2（|p用+附）-2戶刷P周-4c2

由余弦定理有:

cosZFlPF2=

-2|-刷P^=2\PF}\\PF2\

4/-4c?-21PF1||%|_4/-21PF1||即|

2|P￡||Pg|2\PF1\\PF2\

化簡整理得：2〃=|尸￡||PF2|（COSN片尸8+1）,

又S.ZFPF,

=L\PF[\\PF2\SINt2

由以上兩式可得：

,2〃sin芻絲cos幺理

-sin，P&sm^—cos^—4P6

-cosZf；PF2+r2c。/

2

由S/F位=y向N,2,得與力=b2tan芻詈,：.4F\PF『V

又忸耳|=|尸。，所以AFIPQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知尸。工》軸,

所以包工氈

所以庭I

3

故選：B.

22

10.已知小歹2分別是橢圓E：=+與=1（。>/7>0）的左，右焦點，若在橢圓E上存在點M,使得的

ab

面積等于2/sin/甲鳴，則橢圓E的離心率e的取值范圍為（）

【答案】A

【分析】利用三角形的面積公式，結(jié)合橢圓的定義和基本不等式求解即可.

【詳解】由題意得SVMG弓=；四月卜四閭sin/亭*=2先缶/串叫，

而sin/月M工>0,則有|“用|好|=4巴

由橢圓定義可得2a=|崢1+1”閭"和而^=46,當且僅當口閨=|咋|=26,即。=功時取等號，

于是有貝隆=￡=/一化丫2/，又e<l,即有3We<l,所以橢圓E的離心率e的取值范圍為

a2aY⑴22

哼1）.

故選:A.

22

11.已知《，F(xiàn)?分別是橢圓氏3+2=1（a>6>0）的左、右焦點，點M在橢圓E上，ZFtMF2=0,

ab

△西B的面積為〃sine,則橢圓E的離心率e的取值范圍為（）

【答案】D

【分析】由橢圓的定義與三角形的面積公式即可列出關(guān)于|“耳|,|叫|的方程，利用基本不等式即可列出

關(guān)于a,c的不等式，即可求出離心率e的取值范圍；

【詳解】由橢圓的定義知，|岬|+|年|=2a,

2

S^FiF2=^\MFl\\MF2\sin0=bsmO,

當且僅當|孫卜|加閭=a時取等號，

2b2<a2,故2aL2c24/，即°242c2,

：.e>—,又0<e<l,

2

??--<e<lf

2

故選：D.

22

12.已知居，月是橢圓二+上=1(m>1)的左、右焦點，點A是橢圓上的一個動點，若e的內(nèi)切圓半徑

mm-1

的最大值是心，則橢圓的離心率為()

3

]/?

A.V2-1B.1C.干D.73-1

【答案】B

【分析】依題意可得6,b：c2,設(shè)△4￡心內(nèi)切圓的半徑為,，根據(jù)等面積法得到即可得

到「的最大值，從而求出機，即可求出橢圓的離心率；

22

【詳解】解：由橢圓上+上一=l(m>1),可得/=機，b2=m—19.'.c2=a2-b2=lf貝！Jc=l,

mm-1

如圖,

L哂=5月《|-舊|=；（|4耳|+|"|+|耳月|）〃，

?*-2c-1|=（2tz+2c）-r,則r=向+J%I,

要使A4耳工內(nèi)切圓半徑最大，則需1yAi最大，

?/I%I”b=^m-\,

又A4耳五2內(nèi)切圓半徑的最大值為且，即手=聿=，解得m=4,所以a=2.

33A/m+1

則橢圓的離心率《=￡=：

a2

故選:B.

二、填空題

13.已知橢圓卷+，=1（0＜匕＜3）的兩個焦點分別為耳B，離心率為半，點尸在橢圓上，若麗.%=0,

則叢PRF?的面積為.

【答案】3

【分析】根據(jù)已知可得。=3,'=幾，國鳥|=2#.根據(jù)橢圓的定義有|「￡|+|尸鳥|=6,根據(jù)西.雨=0有

儼片「+|時『=24.即可求出|長訃|「閭=6,進而求出三角形的面積.

因為點尸在橢圓上，由橢圓的定義可得，|「耳|+|正耳|=6,

所以(附|+|?閶丫=陽|川尸用2+2陽卜盧閭=36.

又麗鈍=0,所以△尸7笆為直角三角形，則戶胤2+|尸園2=忸司2=24,

所以1MH尸局=6,所以s△呻附J=3.

故答案為：3.

14.尸為橢圓鳥+鼻1上的一點,Ft和F2是其左右焦點，若4尸居=60。,則△片尸尾的面積為_______.

a64

【答案】電i

3

【分析】先利用橢圓定義和余弦定理證明焦點三角形的面積公式，再代入數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】設(shè)N單岑二因尸團=辦儼閭=4閨閶=2°,由橢圓定義加+〃=2〃

在△《尸工中，由余弦定理得病+n2-2mncos0=4c2.

即(m+n)2-2mn-2mncos0=4c2

所以,4/一2mn(l+cos6)=4c?,所以儂=2(LL)=2加

1+cos01+cos0

]I2>2Z?2-2sin—cos—。

2

故SFPF=—mnsm6=----------sin6=--------__2_-^tan—.

△怵221+cos。22

、2cos?！?/p>

2

2

由題知SFPF=btan—=64xtan30°=64x$~=

△6%233

故答案為：生西

3

225

15.設(shè)點尸是橢圓Lr+二=1上的點，耳，尸2是該橢圓的兩個焦點，若△「片耳的面積為:,則

952

sinZFlPF2=.

【答案】|4

【分析】在△尸片耳中，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義建立含cosNfJP鳥的關(guān)系等式，再與三角形面積關(guān)系

聯(lián)立即可求解.

22

【詳解】在橢圓—+[=1中，長半軸。=3,半焦距。=2,由橢圓定義得1尸用+1尸81=2a=6,

在△尸片工中，由余弦定理得：|耳工|2=|「耳|2+|尸蜀、2|尸「||尸工|32耳尸耳,

即；(2c)2=(2a)2-21尸耳I?I尸&I(1+cos/4尸工)，則|尸耳|?|尸刃(1+cosN4尸工)=10,

又△尸打工的面積為g,則;IWMPFJsin/百即|P/"|Pg|sinN耳尸工=5,

2

于是得2sinZFtPF2=l+cosNF",兩邊平方得(1+cosNF、PFj=4sinNF/F。

=4(1-cos3PF2)(1+cos/FiPFJ,

34

解得cosN￡P(guān)E=g,則sin/耳P工=不

4

所以sin/甲第二不

4

故答案為：!

16.已知點P是橢圓卷=1上的點，點片是橢圓的兩個焦點，若△月尸月中有一個角的大小為則

△￡產(chǎn)耳的面積為.

【答案】3指或6石/6括或3白

【分析】由橢圓方程可求得a，。，。；當時，由焦點三角形面積公式可求得工弓的；當々電=三

時，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得|尸制，由三角形面積公式可得結(jié)果.

【詳解】由橢圓方程知：a=5,b=3,則。=亞_廿=4；

若/招尸工=g,貝！IS4?/,=62tan^^=9tang=3百；

=

ZPF1F2~f設(shè)|尸耳|=機，貝！||尸閶=2a—m=10—m，

由余弦定理得：|尸閭2=]尸司2+閨司2一2處耳卜|耳圖85/幽g=病+64—8機=(10—加了，解得：m=3,

??\^=^|'|^|sinZP^=1x3x8x^=6V3;

同理可得：當？PF簿1時，S新強=66.

綜上所述：尸耳的面積為或66.

故答案為：36或6vL

17.已知橢圓工+工=1（。＞6＞0）的兩個焦點分別為耳，工，￡=坐，點P在橢圓上，若畫.%=0,且

△尸月入的面積為4,則橢圓的標準方程為.

【答案】江+上=1

124

【分析】由題意得到鳥為直角三角形.設(shè)|「團=根，\PF2\=n,根據(jù)橢圓的離心率，定義，直角三角

形的面積公式，勾股定理建立方程上GS”的方程組，消元后可求得力力2的值.

【詳解】由題可知工="，.?.2/=3C2,

a3

又.2=廿+°2,代入上式整理得/=3"，

由國?朗=0得△刊轉(zhuǎn)為直角三角形.

又△尸/例的面積為4,設(shè)「同=加，|尸聞=〃，

m2+n2=（2c）2,

m+n=2a,

1,=12,

貝叫一mn=4,解得\2A

2[b=4,

a2=3Z?2,

a2=b2+c2,

22

所以橢圓的標準方程為—+^=1.

124

18.已知橢圓C：Y+W=i的焦點為耳，F(xiàn),,第一象限點P在C上，且兩?%=3,則△尸片鳥的內(nèi)切圓

434

半徑為.

【答案】|

【分析】由題意列方程組解出尸點坐標，由面積與周長關(guān)系求內(nèi)切圓半徑

【詳解】由已知條件得"=4,段=3,02="_廿=1,則可（T,0）,%（1,0）.

設(shè)點P的坐標為（馬,“），則用=（一1隹=（1-Xpf）

斯.亞＞芯+$-1=：,即￡+#='①，

\,第一象限點P在C上，

222

工則”+”=1,即$=4-.②，

433

聯(lián)立解得人=;3

由橢圓的定義得附d+B可=2。=4

設(shè)△產(chǎn)/但的內(nèi)切圓半徑為r,則以取=：*3|+|尸段+區(qū)司）=3.

13

又.：s2g=52°%=3,

31

3r=—,即廠=—.

22

故答案為：g

19.已知橢圓。：捺+，=1（。＞人＞0）的兩個焦點分別為耳、F2,離心率為手，點尸在橢圓上，若

6朋=60。,且△尸￡鳥的面積為則C的方程為.

【答案】4+4=1

o5

【分析】利用橢圓的定義、余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可求得"的值，結(jié)合橢圓的離心率可求得"的

值，即可得出橢圓C的方程.

【詳解】設(shè)忸耳卜力,I尸閭=”,由橢圓的定義可得利+〃=2a,

由余弦定理可得4c2=|片用2=|—2|Pf；口尸閭cos60。=療+/_m

=(m+n)2—3mn=4a2—3mn,

gcpi4(a—0)4b之|j|.|_1.AC。_A/34b~_y/3

所以，iriTi--------------=----->TIU*SArp——sin60=—x------=—b=73,

33P122433

所以，b2=39又因為e=￡=?=Jl—3,可得〃2=6.

dyayClydl

因此，橢圓c的方程為Y+?=l.

63

22

故答案為：—+3=1.

o3

20.與B是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓。上異于頂點的一點，/是鳥的內(nèi)切圓圓心，若久乙的

面積等于△與工的面積的3倍，則橢圓。的離心率為.

【答案】I

【分析】先由S4PRF2=3s△/尸2求得力=3乃,再利用SAPF'F2=S△/尸2+S△嗎p+SAiPF2求得a=2c，即可求出離

由于橢圓關(guān)于原點對稱，不妨設(shè)點。在x軸上方.設(shè)點2縱坐標為力，點/縱坐標為力，內(nèi)切圓半徑為小

橢圓長軸長為2%焦距為2c,

則S△兩尸2=豆丁尸,閨閭==3乂,丹?出耳，得力,=3%,又S△P耳B=S△幣「2+S2IF\P+S叢IPF?9

即:力?閨瑪尸用，又％=，，化簡得力=%(區(qū)段+|尸胤+|尸馬)，即

3x2c=2c+2〃，

解得a=2c,可得離心率為上c=1

a2

故答案為：

22

21.已知橢圓C：W+guM。＞人＞。)的左、右焦點分別為月，居，若橢圓c上存在點M使三角形吟片的

面積為標?,則橢圓C的離心率e的取值范圍是.

【答案】與1

【解析】設(shè)M(x,y)則閨耳際=+1=標2,可得|y|=①e(o,6],再結(jié)合

/C

b2=a2-c2即可求e=二得范圍.