初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：直線與圓知識歸納與題型突破

第一章直線與圓（題型清單）

01考點(diǎn)歸納

考點(diǎn)一、直線的方程

考點(diǎn)二、兩條直線的位置關(guān)系

考點(diǎn)三、圓的方程

考點(diǎn)四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

02知識速記

一、直線的方程

1.直線的傾斜角

一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，如果這條直線與X軸相交，將X軸繞著它們

的交點(diǎn)按m逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的團(tuán)最小正角記為0,則稱e為這條直線的國

傾斜角;傾斜角的取值范圍是⑷-0,兀）.

2.直線的斜率

⑴一般地，如果直線/的傾斜角為仇則當(dāng)8290°時，稱k=囪tan6為直線/的斜率:當(dāng)。

=90°時，稱直線/的斜率不存在.

（2）若A（X1,竺），B（X2,"）是直線/上兩個不同的點(diǎn)，則當(dāng)X1W尤2時，直線/的斜率為左=國

"當(dāng)X1=X2時，直線I的斜率不存在.

%2-XI

（3）設(shè)A（xi,yi）,B（X2>>2）（其中XI#X2）是直線/上的兩點(diǎn)，則向量AB=（無2—尤1,”一經(jīng)）以

及與它平行的向量都是直線的團(tuán)方向向量.若直線/的斜率為左，它的一個方向向量的坐標(biāo)為

r.V

（u,V）,則左=理工

3.直線方程的五種形式

名稱幾何要素方程形式適用范圍

點(diǎn)斜式點(diǎn)(%o,yo),斜率k回y—yo=Z(%-%o)

與X軸不垂直

斜截式斜率k,

縱截距6

點(diǎn)(xi,yi),

點(diǎn)(X2,丁2),工一期

兩點(diǎn)式0—與坐標(biāo)軸不垂直

XIWx2,-券―yi~~12-的

yiW"

縱、橫截距，不過原點(diǎn)且不垂直于

截距式M工+.=]

aWO,坐標(biāo)軸

Ax+By+C=O

一般式所有直線

(AW0或3/0)

常用結(jié)論

1.經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)Pi(xi,yi),「2(x2,丁2)的直線都可以用方程(y—yi)(x2—xi)=(x

表示.

2.直線的傾斜角a和斜率左之間的對應(yīng)關(guān)系

a0°0°<a<90°90°90°<a<180°

k0k>o不存在RO

二、兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

A\x~\~B\y-\-Ci=0(A?+B?7^0),A?x~\~Biy~\~

方程y=k\x-\-b\,y=k2X~\~b2

C2=O(A3+展WO)

相交m-w左2A\Bi—A2H1WO

垂直k\ki=\2\—\國4—2+—1—2=0

<A1B2~A2B1=O,

51c2—82。WO

平行B]%1=左2且。1W》2

A1B2—A2B\=0,

或<

A1C2—A2clWO

重合團(tuán)―=匕且bi=b2AxBi—AiBx=B1C2—B2cl=4。2—A2c1=0

(1)當(dāng)直線/1,/2不重合且斜率都不存在時，l\〃b.

(2)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，Zi±/2.

2.兩直線的位置關(guān)系與方程組解的關(guān)系

方程組L“的解一組無數(shù)組無解

[A2X+Biy+Q=0

直線人與/2的公共點(diǎn)的個數(shù)一個無數(shù)個零個

直線/1與/2的位置關(guān)系相交重合國平行

3.三種距離公式

⑴兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)P1（X1,yi）,P2（X2,>2）間的距離公式為|尸1。2尸團(tuán)、/（X2—XI）?+（丫2一丫1）」

（2）點(diǎn)到直線的距離公式

點(diǎn)Po(xo,yo)到直線/：Ax+By+C=Q的距離d=a

''一十廿

⑶兩平行直線間的距離公式

兩條平行直線Ax+By+Ci=0與Ax+By+C=Q間的距離d=國華二0力

''-A2/A2+B-

三、圓的方程

1.圓的定義與方程

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于ID定長的點(diǎn)的］

［圓的定義1集合叫做圓.定點(diǎn)是圓心，工長>圓的

一］兩點(diǎn)間距半徑

離公式

［圓的高隹方程1（%-。）2+（>-6）2=產(chǎn)（7>0）,表示以國］3,6）為圓

心，以囪「為半徑的圓

開配

整方x2+y2+Z）x+￡y+F=O（7）24-￡2>4F）,表示以

悒1的一般方程）―?國卜名，-同為圓心，以叵|~^JD2+E2-4F

為半徑的圓

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—a）2+（y—。）2=/（廠>0）,圓心C的坐標(biāo)為（a,b）,半徑為r,設(shè)M的坐

標(biāo)為（xo,yo）.

（X0—。）2+（yo—/?）2團(tuán)=戶今點(diǎn)在圓上

三種情況(xo—a)?+(yo—/?)2_0>^<4點(diǎn)在圓外

(x()—a)2+(yo-。)2叵]<戶0點(diǎn)在圓內(nèi)

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(元—〃)2+()7—/?)2=戶，直線/：Ax-\-By+C=O,圓心C(Q,6)到直線/的距離為d,

(%-〃)2+(y-人)2=戶，

由,41nl「八消去M或％)，得到關(guān)于武或丁)的一元二次方程，其判別式為4

{Ax+By+C=Q,

位置關(guān)系相離相切相交

金

圖形

方程觀點(diǎn)/田<0/團(tuán)=0JE>0

量化

幾何觀點(diǎn)d{H>rd區(qū)］=2d\S\<r

2.圓與圓的位置關(guān)系

已知兩圓Ci：(%—xi)2+(y—yi)2=r^,

C2：(%—%2)2+(、一丁2)2=2則圓心距d=|CC2|=團(tuán)\/"(加一％2)2+(yi—\2)2.

則兩圓C1,。2有以下位置關(guān)系：

位置公切線

圓心距與半徑的關(guān)系圖示

關(guān)系條數(shù)

外離叵］d>ri+rz0￡)4

內(nèi)含回d<|〃一十|0

相交呵72l<d<〃+n黨2

內(nèi)切IH］d=|ri—rz|電1

外切一一=力+及3?3

03題型歸納

題型一直線的方程

例題：11.過點(diǎn)尸卜石,1),傾斜角為60。的直線方程是()

A.y/3x+y+4=0B.X-A/3Y+2^3=0

C.A/3X-_y+4=0D.x+y/3y+2y/3=0

【答案】C

【分析】首先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程.

【詳解】由傾斜角為60。知，直線的斜率為百，又直線過點(diǎn)網(wǎng)-石』)，

所以直線方程為＞-1=有(尤+6),化簡得gx-y+4=0.

故選：C.

12.過點(diǎn)(-3,0)和(0,4),的直線的一般式方程為()

A.4x+3y+12=0B.4x+3y-12=0

C.4x-3y+12=0D.4x-3y-12=0

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用直線的截距式方程求得直線的方程，再化為一般式方程，即可求解.

【詳解】由直線過點(diǎn)(-3,0)和(0,4),可得直線的截距式得直線方程為=+二=1,

-34

整理得4x-3y+12=0,即直線的一般式方程為4元-3y+12=0.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

11.已知直線/的傾斜角為60。，且在＞軸上的截距為T,則直線/的一般式方程是()

A.尤=0B.x-y/3y+4=0

C.y/3x-y+4=0D.y/3x—y-4=0

【答案】D

【分析】

由斜截式方程求解即可.

【詳解】由直線的傾斜角可得直線的斜率上=tan60。=若，

所以直線的方程為了=后-4,即直線的一般方程為：氐-y-4=0.

故選：D.

12.過點(diǎn)P(2,3),且傾斜角為90。的直線方程為()

A.無=2B.x=3C.y=2D.y=3

【答案】A

【分析】根據(jù)傾斜角為90。的直線的方程形式，即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)尸。3)的直線傾斜角為90。，即直線垂直于x軸，

所以直線方程為x=2,

故選：A.

13.已知直線I過點(diǎn)尸(2,0)，且直線I的傾斜角為直線x-^y+3=0的傾斜角的2倍，則直線/的方程為()

A.x+\/3y-\/3=0B.x-\/3y-'j3=0

C.+y-括=0D.>/3x-y-A/3=0

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求得直線/的傾斜角為60。，得到/的斜率為左=6,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.

【詳解】設(shè)直線x-6y+3=0的傾斜角為a,其中0。V<180。，

由直線y=且無+g,可得斜率為勺=且，即tanc=3,可得e=30。，

根據(jù)題意，可得直線/的傾斜角為2a=60。，所以直線/的斜率為左=tan60。=石，

因?yàn)橹本€/經(jīng)過點(diǎn)尸(2,近)，可得直線/的方程為y-g=g(x-2),即6尤7-百=0.

故選:D

題型二直線方程的綜合應(yīng)用

3

例題：21.已知直線3x+4y=6與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為則》=()

A.6B.6或—6

C.-6D.2或12

【答案】B

【分析】求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，再利用面積公式解方程可得.

bh

【詳解】令x=o,得y=g；令y=0,得x=j

1bb3

故與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為s='Xwx§=5,解得b=±6.

故選：B

22.直線/：2x-y+l=0與>軸的交點(diǎn)為A,把直線/繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到直線,則直線/'的方

程為（）

A.2x+y—l=OB.3x-y+l=0

C.3x+y-l=0D.x+3y-3=0

【答案】c

【分析】設(shè)直線/：2x-y+l=0的傾斜角為凡可得tan6=2,從而利用兩角和的正切公式求出直線/'的斜

率，由直線的點(diǎn)斜式方程，即可得答案.

【詳解】設(shè)直線/：2x—y+l=0的傾斜角為a0。4。＜180。，則tan6=2,

由題意可得40,1）,直線/'的傾斜角為，+45。,

則直線廠的斜率為3（。+4力黑黑!tan6+12+1

1-tan01-2

所以直線/'的方程為y—1=—3(i—0),即3%+y—1=0,

故選：C

鞏固訓(xùn)練

21.直線丘-y+1-3左=0,當(dāng)左變動時，所有直線都通過定點(diǎn)（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

【答案】A

/、\x—3=0

【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為：（x-3）左-y+l=0,然后令（y+i=o,解方程即可求解.

【詳解】解：直線方程轉(zhuǎn)化為：（x-3）"y+l=0,

x—3=0

令,C，解得x=3,y=l,

-y+i=o

所以直線過定點(diǎn)（3,1）,

故選：A.

22.若直線/:%+6+石=0與直線x+y-3=。的交點(diǎn)位于第二象限，則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

715兀713兀兀兀兀3兀兀3兀

A.B.；C.U；D.

3,~66T3722T了7

【答案】D

【分析】首先確定直線/所過定點(diǎn)及直線x+y-3=。與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可確定滿足題意的臨界狀態(tài),

結(jié)合直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】由題意知：直線/:尤+外+括=0恒過定點(diǎn)A卜石,0卜

直線x+y-3=0與軸分別交于點(diǎn)3（3,0）,C（0,3）；

在平面直角坐標(biāo)系中作出直線x+y-3=0如下圖所示，

結(jié)合圖象可知：若直線/與直線x+y-3=0交點(diǎn)位于第二象限，則臨界狀態(tài)為如圖所示的44位置，其中4過

點(diǎn)AC,6與直線x+y—3=0平行；

3—0/-jr

0++=6'8=T，"傾斜角為1，4傾斜角為彳，

二.直線/傾斜角的取值范圍為

故選：D.

23.已知直線/過點(diǎn)（0,4）,且與直線石x-y+4=0及無軸圍成等腰三角形，則/的方程為（）

A.y/3x+j—4=0B.尤+-4石=0

C.x-y/iy+4y/3=0D.y-4=0或x-gy+46=0

【答案】D

【分析】根據(jù)直線/所過點(diǎn)、傾斜角以及等腰三角形等知識求得正確答案.

【詳解】設(shè)A（0,4）,直線氐-y+4=0過A（0,4）和彳-[,o],

當(dāng)/:x=O時，直線/、直線石x-y+4=0與x軸圍成的三角形是“03不是等腰三角形.所以直線/的斜率存

在.

設(shè)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為o],

當(dāng)直線/過AC兩點(diǎn)時，|AB|=|AC|,三角形ABC是等腰三角形,

JT

同時由于直線AB的斜率為6,傾斜角為H，所以三角形ABC是等邊三角形,

所以|ACj=|BC|,此時直線/的方程為W4,即瓜+y-4=0,

忑

設(shè)直線/與x軸相交于點(diǎn)￡>,如圖所示，若|/山|=忸。，

則ZADB=V，所以直線A￡）,也即直線/的斜率為且，

對應(yīng)方程為y=gx+4,即x-\[3y+4A/3=0,

綜上直線方程為瓜+y-4=0或了_氐+4屋0,

故選：D

題型三兩條直線的平行與垂直

例題：31.過點(diǎn)。，-3）且與直線x-2y+l=。平行的直線方程是（）

A.x—ly—l=0B.x+2y+5=0

C.2x+y+l=0D.2x—y—5=0

【答案】A

【分析】根據(jù)直線—+By+G=o與Ax+3y+G=。（G彳G）平行，先設(shè)出所求直線方程，代入已知點(diǎn)

的坐標(biāo)，可求待定系數(shù).

【詳解】設(shè)與直線x-2y+l=0平行的直線方程是X—2y+九=0（X71）,

代入點(diǎn)（1,—3）,得1+6+2=0,解得彳=—7,

所以所求的直線方程是x-2y-7=0.

故選:A

32.若直線4：辦+2y-1=0與直線（。一1）尤一y-g=0垂直，則實(shí)數(shù)。的取值是（）

A.〃=—1或a=2B.a=—1

2

C.a=2D.a=—

3

【答案】A

【分析】由兩直線垂直的條件，列方程求實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】直線4：以+2y-l=。與直線4：（a-l）x-y-；=0垂直,

則有。（。-1）-2=。，解得a=-1或a=2,

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

31.已知直線乙：〃優(yōu)+y+l=0,4：3x+（w+2）y+3m=0,若〃/右，則根的值為（）

A.1B.—3C.1或一3D.-1或3

【答案】B

【分析】根據(jù)直線平行得到方程，求出〃?=-3或1,檢驗(yàn)后得到答案.

【詳解】由題意得利+2）-3=0,解得〃?=-3或1,

當(dāng)〃?=-3時，直線4：-3x+y+l=0,4：3x-y-9=0,兩直線平行，滿足要求.

當(dāng)〃?=1時，直線4：x+y+l=0,/?：x+y+l=0,兩直線重合，舍去，

故選：B

32.若直線/1:2x+〃zy+4=0與4：3x-6y+l=0互相垂直，則加的值為（）

A.1B.-IC.2D.-2

【答案】A

【分析】由兩直線互相垂直的條件，列方程求機(jī)的值.

【詳解】若直線4：2x+my+4=0與"：3無一6>+1=?；ハ啻怪?，

貝！|有2*3+（-6）〃?=0,解得相=1.

故選：A

33.若直線/經(jīng)過點(diǎn)A（a-2,-l）和3（-°-2,1）,且與斜率為的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值是（）

【答案】A

【分析】先利用斜率公式表示出KB；再根據(jù)兩直線垂直列出關(guān)系式求解即可.

—1—11

【詳解】由題意得，直線/的斜率必存在，且左鉆=-^——-=—(?^0).

a—2~(~a—2)a'7

因?yàn)橹本€/與斜率為-怖2的直線垂直

所以解得。=一.

3<a)3

故選：A.

題型四兩條直線的綜合應(yīng)用

例題：41.已知直線4：百x-y+2=0,直線4M，則直線4的傾斜角為()

7c7C27r5兀

A.一B.—C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得直線4的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.

y+2=0的斜率匕

且乙，乙，可知直線的斜率心=-立

一一3

5兀

所以4的傾斜角為?.

0

故選：D.

42.已知直線2彳一3Y一3=。與直線"+勿一4=0平行，則雪（）

b

322D.A

A.——B.——C.-

2332

【答案】B

【分析】利用兩直線平行列式計(jì)算即可.

一8

【詳解】由題意可知，二二，所以==-3,且a豐一

<3.

2-3-3b3

b^-4

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

21

41.已知a>0,b>0,直線4：(?-1)%+^-1=0,4：X+2勿+1=0,且e/2,則_+丁的最小值為

ab

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】利用直線垂直的性質(zhì)與基本不等式可求最小值.

【詳角牟】因?yàn)楣?。?+%=0即a+26=l,

21a+2b122

---1=--------==--------N-----------y-811

故。bababax2b1+26),當(dāng)且僅當(dāng)。=5涉=工時等號成立，

21

故4+：的最小值為8,

ab

故選：C.

42.已知A(4,-3)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為川-2,5),則直線/的方程是()

A.3x—4y—1=0B.3%—4y+l=0C.4x+3y—7=0D.4x+3y+7=0

【答案】B

【分析】

根據(jù)給定條件，求出直線/的斜率及所過的點(diǎn)，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求出方程.

【詳解】依題意，直線的斜率上==^=-:,則直線/的斜率為;，且過點(diǎn)CU),

-2-434

所以直線/的方程是1),即3%-4y+l=0.

故選：B

43.已知線I]-ax+y—2=0,Z2?2x+(a+1)y+2=0,力：-2bx+y+l=0,a,Z?wR,IJII?,k工k,貝！Jb=(

A.-—B.；C.；或一工D.—

2422人44

【答案】B

【分析】由兩直線平行和垂直的條件，列方程求解.

【詳解】已知直線4:tzx+y-2=0,/2:2x+(d!+l)y+2=0,Z3:-2/zx+y+l=0,ti,/7GR,

由/J//2，得〃(a+1)—2=0,且2a+4w0,解得a=l,

由/J。，得-2aZ?+l=0,故〃=；.

故選：B.

題型五圓的方程

例題：51.在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為(1,0),半徑為2的圓的方程是()

A.(x-l)2+/=2B.(x+l)2+/=2

C.(x-l)2+y2=4D.(x+l)2+y2=4

【答案】C

【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程.

【詳解】由題意可得方程為(x-+寸=4.

故選：C.

52.圓(x+l?+(y+2)2=3的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()

A.(-1,-2),6B.(1,2),CC.(-1,-2),3D.(1,2),3

【答案】A

【分析】利用給定圓的方程直接求出圓心坐標(biāo)及半徑即得.

【詳解】圓(x+l?+(y+2)2=3的圓心坐標(biāo)為(-1,-2),半徑為技

故選：A

鞏固訓(xùn)練

51.圓f+y2-2x+4y-4=0的圓心和半徑分別為()

A.(1,2),3B.(-1,2),3C.(1,-2),2D.(1,-2),3

【答案】D

【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心與半徑即可.

【詳解】由x2+y2-2x+4y-4=0o(x-l)2+(y+2)2=9,所以圓心和半徑分別為。,一2),3.

故選：D

52.經(jīng)過點(diǎn)41,2),且以W-M)為圓心的圓的一般方程為()

A.x2+y2+2x-2y—3=0B.x2+y2-2x+2y-3=0

C.x?+y?+2x—2y—7=0D.廠+y——2x+2y—7=0

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，即可求解.

【詳解】由題意得，圓的半徑上=|AB|=J(I+I)2+(2-I)2=K，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=5,

所以圓的一般方程為丁+丁+2%—2〉一3=0.

故選：A.

53.過46,0)和8(0,-8)兩點(diǎn)的面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-3)2+(y+4)2=10B.(尤+3)?+(>-4)2=100

C.(尤-3)2+(>+4)2=25D.(X+3>+(D2=25

【答案】C

【分析】

求出以AB為直徑的圓的方程可得正確的選項(xiàng).

設(shè)過A(6,0)和3(0,-8)兩點(diǎn)的圓的圓心為加，半徑為R,

則2R==J36+64=10,

故RN5,當(dāng)且僅當(dāng)“為A3中點(diǎn)時等號成立，

故過46,0)和8(0,-8)兩點(diǎn)的圓的面積最小時直徑為AB,

此時圓的圓心為(3,T),故其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3>+(y+4)2=25,

故選：C.

題型六軌跡方程和最值問題

例題：61.已知圓C:(尤-3)2+;/=9,。是圓C上的動點(diǎn)，點(diǎn)E(2,4),若動點(diǎn)M滿足的=2詼，則點(diǎn)M的

軌跡方程為()

A.2x+y+3=0B.xy=9

C.U-l)2+(y-8)2=9D.(x-8)2+(y-l)2=9

【答案】C

【分析】設(shè)M(x,y),D(a,b),由兩？=2理求出代入圓C的方程可得答案.

fx-<7=4-2afa=4-x

【詳解】設(shè)M(x，y),D(a,b),由歷？=2以，得1,。，所以「。,

[y-b=8-2b[p=8-y

又因?yàn)辄c(diǎn)。在圓。：(》-3)2+>2=9上，

所以(4-x-3)2+(8-y)2=9,BP(A:-1)2+(y-8)2=9.

故選：C.

62.已知兩直線y=x+2左與y=-x的交點(diǎn)在圓/+,2=8的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是(

A.—1<左<1B.—2〈左〈2

C.-3<k<3D.-5/2<k<y/2

【答案】B

【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用該交點(diǎn)到圓心的距離小于半徑列式，解不等式可得結(jié)果.

【詳解】由仁=_尤，^\y=k,則兩直線"元+2人與產(chǎn)一%的交點(diǎn)為(-%,%)，

依題意得人2+(-左)2<8,解得-2<左<2.

故選:B.

鞏固訓(xùn)練

61.若點(diǎn)P(x,y)是圓C:f+y2-8x+6y+16=0上一點(diǎn)廁f+y2的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)圓外一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的平方的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】圓Cd+y—g尤+6y+16=0可化為(x-4)2+(y+3『=9.

X2+V表示點(diǎn)尸(x,y)到點(diǎn)0(0,0)的距離的平方，

所以f+y2的最小值為（5-貨=4.

故選：B.

62.已知線段A2的端點(diǎn)8的坐標(biāo)（4,3）,端點(diǎn)A在圓Y+丁=4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡所圍成

圖形的面積（）

9兀

A.4兀B.C.兀D.—

4

【答案】C

【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法求得點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而求得面積.

【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)M（x,y）,AR,%）,

%+4

I-2

又因?yàn)槎它c(diǎn)A在圓/+）?=4上運(yùn)動，所以其+$=4,

BP（2x-4）2+（2y-3）2=4,

整理得：（x-2）2+卜-=1,

所以點(diǎn)M的軌跡方程是以圓心為,半徑為廠=1的圓.

所以該圓的面積為S=7tr2=7i.

故選：C.

63.已知尸為圓M:（尤-6『+卜_"『=i上的一動點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|8|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】-#了=1的圓心為M（石,指），半徑為r=l,

由題意得|OM|=若丫+（幾）2=3>1,故。在圓外，

所以|。尸|的最大值為QM+r=4.

故選：D

題型七圓的切線、弦長

例題：71.直線x—y+l=O被圓/+/+2工一4、=0所截得的弦長為()

A.73B.2A/3C.3D.6

【答案】B

【分析】先求出圓心和半徑，利用弦長與半徑的關(guān)系可得答案.

【詳解】圓/+9+2苫一4了=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+iy+(y-2)2=5,圓心為(—1,2),r=省;

-l-2+l|

圓心到直線的距離為d==垃,所以弦長為Hr?一解=2后與=2>/L

故選：B.

72.若直線/：y=履與圓M:/+(y-l)2=i只有一個公共點(diǎn)，貝|］后=()

A.-1B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】

根據(jù)給定條件，可得直線/與圓M相切，再借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，直線/：履-、=。與圓M相切，而圓M的圓心"(0,1),半徑為1,

因此=解得左=0,

y/k2+l

所以左=0.

故選：C

鞏固訓(xùn)練

71.若直線氐一丁+1=0與圓尤2+(y-2)2=4交于點(diǎn)A,B,則|的=()

A.叵B.V15C.也

D.6

22

【答案】B

【分析】利用直線被圓截得的弦長公式求解.

【詳解】圓元?+(y-2)2=4的圓心為(0,2),半徑r=2,

圓心至!J直線V§%_y+]=0的距離為d[1----'

<3+12

所以|A.=2^r2-d-=岳,

故選：B.

72.已知直線/：（2?九+l）x+（lrn）y+M+2=0與圓O：/+/=4相交于A,B兩點(diǎn)，貝！的最小值為（）

A.2&B.2布C.72D.6

【答案】A

【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)，由幾何法可知當(dāng)時，|AB|最小，用勾股定理求出|筋|。

【詳解】將/的方程轉(zhuǎn)化為（2無-y+l）〃?+x+_y+2=0,

令1+二=0解得尤=y=T，即/過定點(diǎn)"（-IT），

當(dāng)ON，/時，圓心到直線I的距離d最大值為=叵，

此時\AB\取得最小值,根據(jù)勾股定理：|AB|=24=2&.

故選：A

73.已知圓O:尤2+9=5,直線/經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,且/與圓。相切，貝心的方程為（）

A.元+2y-5=0B.x-2y+3=0C.2x—y=0D.2x+y—4=0

【答案】A

【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用相切可求答案.

【詳解】顯然斜率不存在時，不合題意；斜率存在時，設(shè)方程為丁-2=左（天-1）,

圓心到直線的距離為d=因?yàn)?與圓。相切，所以4=如，

y/1+k2

即上丑=若，解得左=二，即/的方程為x+2y-5=0.

viZF2

故選：A

題型八直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系綜合

例題：81.已知圓尤?+2無+產(chǎn)=10與圓a：尤2+y2-x_3y=4交于A,8兩點(diǎn)，貝力43|=（）

A.半B.5C.726D.3.73

【答案】C

【分析】求出兩圓的公共弦所在直線方程，再求出弦長即可.

【詳解】圓。1：（%+1）2+產(chǎn)=11的圓心。］（-1,0）,半徑1如，

圓。2：+（丁一；）2=~~的圓心，半徑丁?~，

222222

I002?a-+4），圓°i與圓°2相交，兩圓方程相減得直線AB：x+y=2,

顯然點(diǎn)。2（3,在直線A3上，因此線段A3是圓。2的直徑，

所以|A8|=伍.

故選：C

82.已知點(diǎn)尸［孝，口關(guān)于直線/：y=履的對稱點(diǎn)。落在圓C:（x-l）2+（y-石尸=1上，則"（）

A.1B.3C.J3D.0

3

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱確定。在圓。：必+產(chǎn)=1上.聯(lián)立（x-iy+（y-退y=i,求出。點(diǎn)坐標(biāo)，根

據(jù)對稱知識，即可求得答案.

【詳解】由題可知，直線/經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。，所以|O0=|OP|=1,

則。在圓。：/+?2=1上.

x2+y2=l］

聯(lián)立方程組（5+6司=/兩式相減得片-國任-2），

代入/+丁=1得4/一4x+l=0,;.x=,，貝Uy=3,

22

而P,。關(guān)于直線/:y二點(diǎn)對稱,

711

貝°k=-~r~-l，

KPQ

故選：A

鞏固訓(xùn)練

81.已知圓/+,2=4與圓％2+,2一8%+4,+16=0關(guān)于直線/對稱，則直線/的方程為(