中考數(shù)學(xué)重難題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：綜合與實(shí)踐（原卷版+解析）

專(zhuān)題29綜合與實(shí)踐

1.(重慶中考真題)在AABC中，AB=AC,。是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接A。，將AD繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得NZME+4AC=180°.

(1)如圖1,當(dāng)/fiAC=90°時(shí)，連接BE,交AC于點(diǎn)若BE平分NABC,BD=2,

求AF的長(zhǎng)；

(2)如圖2,連接3E,取BE的中點(diǎn)G,連接AG.猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的猜想；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。G,CE.若NBAC=120。，當(dāng)BD>CD,

ZAEC=150°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD-DG.

CE

2.(湖南中考真題)如圖，在RtZiABC中，點(diǎn)P為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將ZkABP沿直

線AP折疊，使得點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為3',連接A3',CB',BB'，PB'.

(1)如圖①，若「B'_LAC,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若A6=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

PC

(3)如圖③，若NACB=30°,是否存在點(diǎn)P,使得A6=CB'.若存在，求此時(shí)——的

BC

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

C...

-W

/4~-AB

%

②③備用圖

3.(江蘇中考真題)己知正方形ABCD與正方形AEFG,正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

(1)如圖①，連接BG、CF,求——的值；

BG

⑵當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE,分別去CF、BE的中點(diǎn)M、N,連接MN、

試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶連接BE、BF,分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q,連接QN,AE=6,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段QN掃過(guò)的

面積.

圖②

4.問(wèn)題提出：

(1)在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,ZACB的平分線交AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D分別作

DE±AC,DFXBC,垂足分別E、F,在圖1中與線段CE相等的線段是；

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,AB是半圓0的直徑，AB=8,P是AB上一點(diǎn)，且尸3=224,連接PA,PB,

NAPB的平分線交AB于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C分別作CELAP,CFXBP,垂足分別為E、F,求線段CF

的長(zhǎng)；

問(wèn)題解決：

如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖，已知。。的直徑AB=70m,點(diǎn)C在上，

且CA=CB.P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D,連接AD、BD,過(guò)點(diǎn)P分別作PE_L

AD,PF±BD,垂足分別為E、F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是

戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長(zhǎng)為x(m),陰影部分的面積為y(m2).

①求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理.試

求當(dāng)AP=30m時(shí)，室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形PEDF)的面積.

5.(2019?陜西)問(wèn)題提出:

(1)如圖1,已知AABC,試確定一點(diǎn)D,使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)平行四邊形；

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AB=4,BC=10,若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的△BPC,

且使

ZBPC=90°,求滿足條件的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離；

問(wèn)題解決：

(3)如圖3,有一座塔A,按規(guī)定，要以塔A為對(duì)稱(chēng)中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平

行四邊形的景區(qū)BCDE.根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn)B是定點(diǎn)，點(diǎn)B到塔A的距離為50米，Z

CBE=120°,那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)BCDE?若可以，

求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.(塔A的占地面積忽

略不計(jì))

圖1圖2圖3

6.(2019?江西)在圖1,2,3中，已知oABCD,NABC=120°,點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn),

連接AE,以AE為邊向上作菱形AEFG,且NEAG=120

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，ZCEF=°；

(2)如圖2,連接AF.

①填空：ZFAD__________ZEAB(填“=”)；

②求證：點(diǎn)F在/ABC的平分線上.

(3)如圖3,連接EG,DG,并延長(zhǎng)DG交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,當(dāng)四邊形AEGH是平行四邊形

7.某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外

側(cè)作多邊形，它們的面積5，S2,S3之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：

圖2

類(lèi)比探究

(1)如圖2,在RtAABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,8C為斜邊向外側(cè)作RtAABD,

RtAACE,RtABCF,若Z1=Z2=Z3,則面積可，S2,邑之間的關(guān)系式

為；

推廣驗(yàn)證

(2)如圖3,在品公45。中，為斜邊，分別以A5AC8C為邊向外側(cè)作任意AABD,

AACE,ASCF,滿足N1=N2=N3,ZD=ZE=ZF,貝U(1)中所得關(guān)系式是否仍

然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在五邊形ABCDE中，ZA=ZE=ZC=105°,NABC=90°,AB=2?

DE=2,點(diǎn)P在AE上,ZABP=30°,PE=也,求五邊形ABCDE的面積.

圖4

8.【學(xué)習(xí)概念】有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱(chēng)為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱(chēng)

為對(duì)余線.

【理解運(yùn)用】

(1)如圖1,對(duì)余四邊形中，AB=5,BC=6,CD=4,連接AC,若AC=AB,求sin/CAD的

值.

(2)如圖2,凸四邊形中，AD=BD,AB±AC,當(dāng)2CD2+CB2=CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否

為對(duì)余四邊形，證明你的結(jié)論.

【拓展提升】在平面直角坐標(biāo)中，A(—1,0),B(3,0),C(l,2),四邊形ABCD是對(duì)余四邊

AF

形，點(diǎn)E在對(duì)余線BD上，且位于AABC內(nèi)部，ZAEC=90°+ZABC,設(shè)——=u,點(diǎn)D的

BE

縱坐標(biāo)為t,請(qǐng)直接寫(xiě)出u與t的函數(shù)解析式.

9.如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,NA=30°,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)

點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、0P,將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,

連接BQ.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成

立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑶如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，若/BP0=45°,AC=/，請(qǐng)直接寫(xiě)出BQ的長(zhǎng).

10.【性質(zhì)探究】

如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AE平分/BAC,交BC于點(diǎn)E.作DFLAE于點(diǎn)H,

分別交AB,AC于點(diǎn)F,G.

(1)判斷4AFG的形狀并說(shuō)明理由;

(2)求證:BF=20G.

【遷移應(yīng)用】

（3）記△DGO的面積為Si,ZXDBF的面積為S2,當(dāng)％=工時(shí)，求42的值；

S23AB

【拓展延伸】

（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F,【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)EF,當(dāng)ABEF的面積為矩

形ABCD面積的工時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出tan/BAE的值.

10

n.【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，/C=ND=90°,點(diǎn)E在邊CD上，ZAEB=90°.求

、丁AEDE

證:=.

EBCB

【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，NC=ND=90°，點(diǎn)E在邊CD上，當(dāng)點(diǎn)F在AD延長(zhǎng)

線上，NFEG=NAEB=90°，且——=——，連接BG交CD于點(diǎn)H.求證：BH=GH.

EGEB

【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，ZAEB+ZDEC=180°,且——=—,過(guò)E作

EBEC

EF交AD于點(diǎn)F,使/EFA=/AEB,延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G,求證：BG=CG.

12.小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）

的平面圖形，/ACB與/ECD恰好為對(duì)頂角，ZABC=ZCDE=90°,連接BD,AB=BD,點(diǎn)

F是線段CE上一點(diǎn).

探究發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2））,小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：BD

±DF.你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？.（填“是”或“否”）

拓展延伸：

(2)將(1)中的條件與結(jié)論互換，即：若BDLDF,則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn).請(qǐng)判

斷此結(jié)論是否成立.若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決：

(3)若AB=6,CE=9,求AD的長(zhǎng).

13.在AABC中，/BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D在邊BC上，DE_LDA且DE=DA.AE交BC于點(diǎn)

F,連接CE.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)AD=AF時(shí)，①求證：BD=CF；②推斷：ZACE=0；

(2)探究證明：如圖2,當(dāng)ADWAF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄?ACE的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由；

FF1

(3)拓展運(yùn)用：如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)——=-時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線，交AE于

AF3

1A

點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)K,若CK=一時(shí)，求DF的長(zhǎng).

3

AAA

14.如圖1,在等腰三角形ABC中，ZA=120°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別在邊AB,AC±,AD=AE,

連接BE,點(diǎn)M,N,P分別為DE,BE,BC的中點(diǎn).

(1)觀察猜想：

圖1中，線段MN與NP的數(shù)量關(guān)系是,ZMNP的大小是；

(2)探究證明：

把AIDE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MP、BD、CE,判斷AMNP的形狀，試說(shuō)明

理由；

(3)拓展延伸：

把強(qiáng)DE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1,AB=3,請(qǐng)直接寫(xiě)出刖NP面積的最大值.

圖1圖2

15.問(wèn)題背景如圖(1),已知△ABCs/^ADE,求證：△ABDs/iACE；

嘗試應(yīng)用如圖(2),在AABC和4ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30°,AC

與DE相交于點(diǎn)F.點(diǎn)D在BC邊上，—=A/3,求生的值；

BDCF

拓展創(chuàng)新如圖（3）,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，/BAD=NCBD=30°,ZBDC=90°,AB=4,AC=2百，

直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng).

A

A

16.己知：A4BC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△

A!B'C,記旋轉(zhuǎn)角為a,當(dāng)90。＜戊＜180。時(shí)，作AD_LAC,垂足為。，4。與BC交于點(diǎn)

E.

(1)如圖1,當(dāng)NQVO=15。時(shí)，作N/TEC的平分線EF交3c于點(diǎn)P.

①寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)；

②求證：EA!+EC=EF-,

(2)如圖2,在(1)的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接R4,PF,若AB=五,

求線段以+PF的最小值.(結(jié)果保留根號(hào)).

17.已知在△ABC中，AC=BC=m,D是AB邊上的一點(diǎn)，將/B沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)

B落在AC邊的點(diǎn)P處(不與點(diǎn)A,C重合)，折痕交BC邊于點(diǎn)E.

(1)特例感知如圖1,若NC=60°,D是AB的中點(diǎn)，求證：AP=|AC；

(2)變式求異如圖2,若/C=90°,m=6V2,AD=7,過(guò)點(diǎn)D作DHLAC于點(diǎn)H,求DH和

AP的長(zhǎng)；

(3)化歸探究如圖3,若m=10,AB=12,且當(dāng)AD=a時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B

落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍.

18.問(wèn)題背景：如圖1,在四邊形ABCD中，NBAD=90°,NBCD=90°,BA=BC,NABC=

120°,ZMBN=60°,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.探究圖中線段

AE,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.

小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G,使CG=AE,連接BG,先證明4BCG咨ABAE,

再證明△BFG0ABFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形ABCD中，/BAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,ZABC=2

ZMBN,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交AD、DC于E、F,上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直

接寫(xiě)出結(jié)論（直接寫(xiě)出“成立”或者“不成立”），不要說(shuō)明理由；

探究延伸2：如圖3,在四邊形ABCD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,ZABC=2ZMBN,

NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30°的A處.艦

艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，

艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海

里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處.且指揮

中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70°.試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

圖1圖2圖3圖4

19.如圖，四邊形A3CD是正方形，點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn).

(1)問(wèn)題解決：如圖①，連接B。，分別取CB,8。的中點(diǎn)P,Q,連接尸。，則尸。與

8。的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)問(wèn)題探究：如圖②，AAO'E是將圖①中的AAOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到

的三角形，連接CE,點(diǎn)尸，。分別為CE,3。的中點(diǎn)，連接PQ,PB.判斷APQ3的

形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)拓展延伸：如圖③，AAO'E是將圖①中的AAOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到

的三角形，連接5。，點(diǎn)P,。分別為CE,3。的中點(diǎn)，連接PQ,若正方形A5CD

的邊長(zhǎng)為1,求APQ3的面積.

20.發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（1）如圖①，AABC與4ADE都是等邊三角形，直線BD,CE交于點(diǎn)F.直線BD,AC交于點(diǎn)

H.求NBFC的度數(shù).

（2）已知：AABC與4ADE的位置如圖②所示，直線BD,CE交于點(diǎn)F.直線BD,AC交于點(diǎn)

H.若/ABC=/ADE=a,ZACB=ZAED=3,求/BFC的度數(shù).

應(yīng)用結(jié)論

（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,0）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）,N為y

軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN.將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK,連接NK,0K.求線

段OK長(zhǎng)度的最小值.

21.【學(xué)習(xí)概念】有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱(chēng)為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段

稱(chēng)為對(duì)余線.

【理解運(yùn)用】

(1)如圖1,對(duì)余四邊形中，AB=5,BC=6,CD=4,連接AC,若AC=AB,求sin/CAD的

值.

(2)如圖2,凸四邊形中，AD=BD,AB_LAC,當(dāng)ZCD'+CBZMCA?時(shí)，判斷四邊形ABCD是否

為對(duì)余四邊形，證明你的結(jié)論.

【拓展提升】在平面直角坐標(biāo)中，A(—1,0),B(3,0),C(：1,2),四邊形ABCD是對(duì)余四邊

形，點(diǎn)E在對(duì)余線BD上，且位于4ABC內(nèi)部，ZAEC=90°+ZABC,設(shè)一=u,點(diǎn)D的

BE

縱坐標(biāo)為t,請(qǐng)直接寫(xiě)出u與t的函數(shù)解析式.

BCAB

22.（2021?山西中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：

如圖①，在CJABCD中，BE工AD,垂足為E,尸為CD的中點(diǎn)，連接所，BF,試

猜想所與3尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將口A6CD沿著3/（R為CD的中點(diǎn)）所在

直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',連接DC,并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷AG與BG

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將口ABCD沿過(guò)點(diǎn)6的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為4,使45,8于點(diǎn)“，折痕交AD于點(diǎn)連接44,交CD于點(diǎn)N.該

小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此口ABCD的面積為20,邊長(zhǎng)A5=5,BC=245,求圖中陰影部

分（四邊形8HNM）的面積.請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果.

圖①圖②圖③

23.(2020?廣西中考真題)已知：在矩形ABCD中，AB=6,AO=2百，P是BC邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，折痕為

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，則線段EB=,EF=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B,C均不重合時(shí)，取石廠的中點(diǎn)0,連接并延長(zhǎng)PO與GF的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)連接尸尸，ME,MA.

①求證：四邊形MEM是平行四邊形：

②當(dāng)tan/MAO=g時(shí)，求四邊形MEM的面積.

圖1圖2

24.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖(1),在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=36

AT

連接AC,BD交于點(diǎn)M.①空?的值為；②NAMB的度數(shù)為

BD

(2)類(lèi)比探究：如圖(2),在AOAB和△OCD中，NA0B=NC0D=90°,Z0AB=Z0CD=30°，

Af1

連接AC,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.請(qǐng)計(jì)算——的值及NAMB的度數(shù).

BD

(3)拓展延伸:在(2)的條件下，將aOCD繞點(diǎn)0在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線交于點(diǎn)

M.若OD=1,0B=。值，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng).

25.綜合與實(shí)踐

(1)觀察理解：如圖1,AA3C中，NACB=90°,AC=BC,直線/過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)A，B

在直線/同側(cè)，BD±l,垂足分別為。，E,由此可得：ZAEC^ZCDB=90°,

所以NC4E+NACE=90°,又因?yàn)镹ACB=90°,所以NBCD+NACE=90°,所以

NCAE=NBCD,又因?yàn)锳C=BC,所以AAEC=ACD3（);(請(qǐng)?zhí)顚?xiě)全等判定的

方法)

圖1

圖，圖5

(2)理解應(yīng)用：如圖2,AE1AB，且AE=AB,BC±CD,且80=00,利用（1）

中的結(jié)論，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S=

(3)類(lèi)比探究：如圖3,及AABC中，ZACB=90°,AC=4,將斜邊A3繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。至A3',連接8C,求AAB'C的面積.

(4)拓展提升：如圖4,點(diǎn)3,C在NM4N的邊AM、AN上，點(diǎn)E,尸在NM4N內(nèi)

部的射線A。上，Nl、N2分別是A4BE、AC4b的外角.已知A6=AC,

Z1=Z2=ZBAC.求證：CF+EF=BE；

26.已知如圖，四邊形ABCD,BE、DF分別平分四邊形的外角NMBC和/NDC,若NBAD=a,

ZBCD=B

(1)如圖1,若a+B=150°,求/MBC+NNDC的度數(shù)；

(2)如圖1,若BE與DF相交于點(diǎn)G,NBGD=45°,請(qǐng)寫(xiě)出a、B所滿足的等量關(guān)系式;

(3)如圖2,若a=B,判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖2

專(zhuān)題29綜合與實(shí)踐

1.(重慶中考真題)在AABC中，AB=AC,。是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AZ),將繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得NZME+4AC=180°.

(1)如圖1,當(dāng)4AC=90°時(shí)，連接3E,交AC于點(diǎn)歹.若座平分/ABC,BD=2,

求AF的長(zhǎng)；

(2)如圖2,連接能，取BE的中點(diǎn)G,連接AG.猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的猜想；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。G,CE.若NBAC=120。，當(dāng)BD>CD,

ZAEC=150°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD-DG的值.

CE

【答案】(1)、歷；(2)AG=-CD,證明見(jiàn)解析；(3)BD—DG=&

2CE2

【分析】

(1)連接CE,過(guò)點(diǎn)/作W_LBC,垂足為證明AABF2得：AF=HF,

再在等腰直角AEHC中，找到歹”=巫。/，再去證明為等腰三角形，即可以間

2

接求出AF的長(zhǎng)；

(2)作輔助線，延長(zhǎng)B4至點(diǎn)使AAf=AB,連接EM,在△巫F中，根據(jù)三角形

的中位線，得出AG=』ME,再根據(jù)條件證明：AADC^AAEM,于是猜想得以證明；

2

(3)如圖(見(jiàn)解析)，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出AADE是等邊三角形，再根據(jù)

Z46C+NA￡C=180。證出AB,C,E四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一、角的

和差可得△口)￡是等腰直角三角形，設(shè)CE=DE=2a,從而可得AD=2a,S=2jL,

根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得N8DP=NB4P=120。，從而可得

ZAGD=ZGDP=ZAPE>=90°，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得四邊形AGDP是矩形，

RD—_Aprp

DG=AP,最后根據(jù)等量代換可得一=—=—=—=——，解直角三角形求出

CECECE

。P=如即可得出答案.

【詳解】

解：（1）連接CE,過(guò)點(diǎn)/作垂足為H.

?.?3E平分ZABC,ZBAC=90°.

:.FA=FH.

\-AB=AC,

:.ZABC=ZACB=45°9

:.FH=—CF，

2

NBAC+NDAE=180°,

ABAC=ZDAE=90°，

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在AABD和AACE中，＜/BAD=ZCAE,

AD=AE

:.^ABD^ACE(SAS),

:.BD=CE=2,ZABD^ZACE=45°,

：.ZBCE=90°,

?.?BE平分NABC,

ZABF=ZCBF.

:.ZAFB=ZBEC,

ZAFB=ZEFC,

:./BEC=NEFC,

：.ZCEB=ZEFC.

AF=—CF=42.

2

(2)AG=~CD

2

延長(zhǎng)B4至點(diǎn)M,使=連接EM.

M

E

：G是座的中點(diǎn)，

AG=-ME.

2

;ZBAC+ZDAE=ABAC+ZCAM=180°,

:.ZDAE=ZCAM,

:.ZDAC^ZEAM,

AD=AE

在△ADC和△AEM中，＜/D4C=/EAM,

AC=AM

:.AADC^^AEM(SAS),

：.CD=ME,

:.AG=-CD.

2

(3)如圖，設(shè)交于點(diǎn)P,連接DE,DP,

ZDAE+ABAC=180°,ABAC=120°,

：.ZDAE=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=AE,

.?.VADE是等邊三角形，

:.ZAED=6Q°,AD=DE,

vZAEC=150°,

:.NCED=ZAEC—ZAED=90°,

ZBAC=120°,AB=AC,

ZABC=ZACB=1(1800-ZBAC)=30°,

:.ZABC+ZAEC=180°,

二點(diǎn)AB,C,E四點(diǎn)共圓，

由圓周角定理得：ZAEB=ZACB=30°=-ZAED,

2

」.BE垂直平分A。，ZDEB=-ZAED=30°(等腰三角形的三線合一)，

2

:.AG=DG,AP=DP,BD=AB=AC,

BE平分ZABC,

ZABE=ZCBE=-ZABC=15°,

2

NCDE=NCBE+ZDEB=45°,

Rt^CDE是等腰直角三角形，

CE=DE,CD=V2CE,

設(shè)CE=DE=2a,則AD=2a,CD=2四,

由(2)可知，AG=—CD=yfla,

2

DG=AG=y/2a，

AG~+DG~=AD2，

.?.△AQG是等腰直角三角形，且NAGD=90。，

ZEGD=-ZAGD=45°(等腰三角形的三線合一),

2

ZBDG=ZEGD-ZCBE=30°,

BD=BA

在△5D尸和歷1P中，<BP=BP,

DP=AP

:.ABDP=BAP(SSS),

：.ZBDP=ZBAP=120°,

ZGDP=ZBDP-ABDG=90°,Z.CDP=180°-ZBDP=60°,

Z.CPD=180°-ZCDP-ZACB=90°,

:.ZAGD=NGDP=NAPD=90。,

二四邊形AGDP是矩形，

:.DG^AP,

在RtACDP中，CP=CD-cosZPCD=2億?—=V6tz>

2

BD-DGAC-APCP娓a娓

則mil-----------=------------=-----=------=----.

CECECE2a2

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、圓周角定理、解

直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合能力比較強(qiáng)，較難的是題(3),判斷出AB,四點(diǎn)共圓是

解題關(guān)鍵.

2.(湖南中考真題)如圖，在RtZkABC中，點(diǎn)P為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△A5P沿直

線AP折疊，使得點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為3',連接AB',CB',BB'，PB'.

(1)如圖①，若PB'LAC,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若AB=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

pc

(3)如圖③，若NACS=30°,是否存在點(diǎn)P,使得A5=CB'.若存在，求此時(shí)——的

BC

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

cc

B'B'

①②③

3pc13

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)—；(3)存在，——的值為二或一.

5BC24

【分析】

(1)先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得=再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

ZAB'P=ZABP,PB'=PB,從而可得NCPB'=NAB'P,然后根據(jù)平行線的判定可得

AB'HBC,最后根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)即可得證；

(2)設(shè)AC與尸3'的交點(diǎn)為點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)。，設(shè)A3=AC=4a(a>0),

從而可得BC=4缶，先證出ACOP?加'。4,從而可得生="=上=立，設(shè)

OB'OAAB'4

OC=y/2b,OB'=4b(b>0),根據(jù)線段的和差可得O尸=3億—4"04=4a—J為，代

入可求出6=逑。，從而可得。4=型“，再在中，解直角三角形可得

77

_i-jo

B，D=2?b=—a,由此可得AO=—a,然后在及△AO。中，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定

77

義即可得；

(3)如圖(見(jiàn)解析)，設(shè)A3=CB'=2根(m>0),從而可得

BC=4m,AC=2回乳,AB'=2m,分①點(diǎn)5'在直線AC的左側(cè)；②點(diǎn)3'在直線AC的右

側(cè)兩種情況，再分別利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】

(1)證明：?.?Pfi'LAC,ZBAC=90°,

：.PB'//AB,

:.ZCPB'=ZABP,

由折疊的性質(zhì)得:NAB?=ZABP,PB'=PB,

:.ZCPB'=ZAB'P,

:.AB'//BC,

???四邊形ABP?是平行四邊形，

又=PB，

,平行四邊形ABPB'是菱形，

（2）如圖，設(shè)AC與P3'的交點(diǎn)為點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)。,

-,-AB=AC,

.?.尺以人8。是等腰三角形，ZABC=ZACB=45°,

設(shè)A3=AC=4a(a>0),則BC=4缶，

-：BP=3PC,

BP=3\/2a,PC=yf2a，

由折疊的性質(zhì)得：ZAB'P=ZABP=45°,PB'=PB=3AB'=AB4a，

NOCP=ZOB'A=45°

在△口??和Afi'OA中，《

ZCOP=ZB'OA

.?.△COP~AB'Q4,

.ocOP_PC_y/2ay/2

,OB7-O4-V

設(shè)OC=?(6>0),則03'=46,0尸=30a—46,OA=4a—四,

OP_3y/2a-4b_y/2

OA4a-yflb4

472

解得z?=-----a，

7

20

OA=4a-0x〃=—ci，

77

在RVB'OD中，BfD=OBfcosZABfP=2y/2b=-a,

7

:.AD=AB,-B,D=—a,

7

12

An丁a3

則8sNB,AC=31=^=y

7°

（3）???NAC5=30。,NB4C=90。，

,\ZABC=60°,

設(shè)AB=C3'=2根（根＞0）,則BC=4m,AC=仃￡^^=2瓜1，

由折疊的性質(zhì)得：NAB'P=NABP=60°,AB'=AB=2根，

AB'=CB'=2m,

由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當(dāng)點(diǎn)3'在直線AC的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)3'作6'E_LAC于點(diǎn)E,

:.CE=-AC=s[3m（等腰三角形的三線合一），

2

B'E=y/B'C2-CE2=m=-B'C,

2

..在H/VB'CE中，/B'CE=30。,

ZB'CP=ZB'CE+ZACB=300+30°=60°.

又=CB'，

:.ZB'AC=ZB'CE^30o,

ZAB'C=180°-ZB'AC-ZB'CE=120°,

ZCB'P=ZAB'C-ZAB'P=120°-60°=60°,

.?.△CB'P是等邊三角形，

PC=CB'=2nl，

PC_2m_l

BC4m2

②如圖，當(dāng)點(diǎn)5'在直線AC的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)3‘作8'尸，AC于點(diǎn)歹,

同理可得：NB'CF=30。,

:.ZB'CF=ZACB,

二點(diǎn)3'在3c上，

由折疊的性質(zhì)得：AP±BB''

在HfAABP中，BP=AB-cosZABC=m,

PC=BC—BP=3m,

PC3m3

BC4m4'

綜上，存在點(diǎn)P,使得AB=CB',此時(shí)一PC上的值為1土或3'.

BC24

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、等

邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(3),正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

3.(江蘇中考真題)已知正方形ABCD與正方形AEFG,正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

CF

(1)如圖①，連接BG、CF,求f的值；

BG

(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE,分別去CF、BE的中點(diǎn)M、N,連接MN、

試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶連接BE、BF,分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q,連接QN,AE=6,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段QN掃過(guò)的

面積.

【答案】(1)0；(2)MN±BE-MN=-BE-,(3)97

2

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接AE、AC，證明AC4PsM4G即可求解；

(2)由M、N分別是CF、BE的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線，故想到連接BM并延長(zhǎng)使BM=MH,連接

FH、EH,則可證ABVCgAHMr即可得到加'=3。=胡，再由四邊形3EFC內(nèi)角和為

360?？傻?則可證明石四△加石，即ABHE是等腰直角三角形，最

后利用中位線的性質(zhì)即可求解；

(3)Q、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又Q、N兩點(diǎn)分別是BF、

BE中點(diǎn)，所以想到取AB的中點(diǎn)0,結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答.

【詳解】

解：(1)連接AF、AC

■■■四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形

AB=BC,AG=FG,ABAD=NGAE=ZCBA=ZAGF=90°

AF,AC分別平分NE4G,NR4Z)

:.ZBAC=ZGAF=45°

ZBAC+ZCAG=ZGAF+ZCAG即ZBAG=ZCAF

且AABC,AAGF都是等腰直角三角形

.?羋=空=6

ABAG

:.ACAF^NBAG

BGAB

(2)連接BM并延長(zhǎng)使BM=MH,連接FH、EH

是CF的中點(diǎn)

:.CM=MF

又NCMB=/FMH

：.ACMB^AFMH

:.BC=HF,ZBCM=NHFM

在四邊形BEFC中

ZBCM+ZCBE+ZBEF+ZEFC=360°

又NCR4=NAEF=90°

ZBCM+ZABE+ZAEB+/EFC=360°-90°-90°=l80°

即ZHFM+ZEFC+ZABE+ZAEB=180°

即ZHFE+ZABE+ZAEB=180°

-,-ZBAE+ZABE+ZAEB=1SQ°

:.ZHFE=ZBAE

又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形

：.BC=AB=FH,EA=EF

:./\BAE=AHFE

：.BE=HE.ZBEA=AHEF

;ZHEF+ZHEA=ZAEF=90。

ZBEA+ZHEA=90°=ZBEH

???三角形BEH是等腰直角三角形

:M、N分別是BH、BE的中點(diǎn)

:.MN//HE,MN=-HE

2

AMNB=ZHEB=90°,MN=-BE

2

:.MN±BE,MN=-BE

2

(3)取AB的中點(diǎn)0,連接OQ、ON,連接AF

在AAB/中，0、Q分別是AB、BF的中點(diǎn)

OQ=^AF

同理可得ON=」AE

2

AF=42AE=6y/2

:.0Q=3叵,ON=3

所以QN掃過(guò)的面積是以0為圓心，3板和3為半徑的圓環(huán)的面積

:.S=?叵、兀一W兀=9兀.

【點(diǎn)睛】

本題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、三角形全等、正方形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)與應(yīng)用和動(dòng)

點(diǎn)問(wèn)題，屬于幾何綜合題，難度較大.解題的關(guān)鍵是通過(guò)相關(guān)圖形的性質(zhì)做出輔助線.

4.問(wèn)題提出：

(1)在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,ZACB的平分線交AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D分別作

DE±AC,DFXBC,垂足分別E、F,在圖1中與線段CE相等的線段是；

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,AB是半圓0的直徑，AB=8,P是AB上一點(diǎn)，且尸3=224,連接PA,PB,

NAPB的平分線交AB于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C分別作CEJ_AP,CF±BP,垂足分別為E、F,求線段CF

的長(zhǎng)；

問(wèn)題解決：

如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖，己知。0的直徑AB=70m,點(diǎn)C在上，

且CA=CB.P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D,連接AD、BD,過(guò)點(diǎn)P分別作PEL

AD,PF±BD,垂足分別為E、F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是

戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長(zhǎng)為x(m),陰影部分的面積為y(m).

①求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理.試

求當(dāng)AP=30m時(shí)，室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形PEDF)的面積.

c

c

圖i圖2圖3

【解析】（1）由“角平分線的性質(zhì)定理”可知DE=DF,由“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”

可得四邊形CEDF是矩形，由于DE=DF,所以矩形CEDF是正方形，所以與線段CE相等的線

段有DE、DF、CF；

（2）由題意可知/A=60°,ZB=30°,由AB=8以及30°的直角三角形的各邊之間的關(guān)

系，可以得到AP=-AB=4,BP=A/3AP=4A/3,CE=A/3AE；設(shè)CF=a,由（1）可知：CF

2

=CE=PE=a,貝IjAE=4—a,由CE=A/^AE,可歹!J方程g（4-a）=a,解得a=6-2百，即

CF的長(zhǎng)為6—2道；

（3）第①小問(wèn)：陰影部分的面積等于AABC、4APE與4BPF的面積之和.根據(jù)題意可知^

ABC為等腰直角三角形，其面積為70X35+2=1225；將4APE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（如

答圖所示），發(fā)現(xiàn)4APE與4BPF的面積之和等于RtABPG的面積，RtABPG的面積=PG-BP

+2=AP?BP+2=x（70—x）+2；所以陰影部分面積=1225+x（70—x）+2,化簡(jiǎn)即可.第②

小問(wèn)，正方形PEDF的面積=PF?.如答圖，在RtZkBPG中，PG=30,BP=40,運(yùn)用勾股定理

可求出BG=50,再運(yùn)用等積法求出PF的長(zhǎng)，從而求出正方形PEDF的面積.

【答案】解：（1）ED、DF、CF；

(2)：AB是直徑，PB=2PA,.\ZA0P=9