生活中的軸對(duì)稱 教材講練-2021-2022學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破

專題01生活中的軸對(duì)稱教材同步講練

知識(shí)點(diǎn)11軸對(duì)稱圖形及軸對(duì)稱性質(zhì)

1、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做

軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

注意：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可能只有一條，也可能有多條甚至無(wú)數(shù)條.

2、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱：如果兩個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，

這條直線叫做這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.

3、軸對(duì)稱的性質(zhì)：在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線

段相等，對(duì)應(yīng)角相等.

注意：在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，沿對(duì)稱軸折疊后，重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

類似地，重合的線段是對(duì)應(yīng)線段，重合的角是對(duì)應(yīng)角.

例1.（2021?黑龍江哈爾濱市?八年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.如果兩個(gè)三角形全等，則它們是關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的圖形

B.如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，那么它們是全等三角形

C.等邊三角形是關(guān)于一條邊上的中線成軸對(duì)稱的圖形

D.一條線段是關(guān)于經(jīng)過(guò)該線段中點(diǎn)的中線成軸對(duì)稱的圖形

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念和全等三角形的概念求解即可.

【詳解】選項(xiàng)A：如果兩個(gè)三角形全等，則它們不一定是關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的圖形，選項(xiàng)A不正確；

選項(xiàng)B：如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，那么它們是全等三角形，所以選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C：三角形的中線是線段，而對(duì)稱軸是直線，應(yīng)該說(shuō)等邊三角形是關(guān)于一條邊上的中線所在直線成軸對(duì)

稱的圖形，所以選項(xiàng)C不正確；

選項(xiàng)D：一條線段是關(guān)于經(jīng)過(guò)該線段中垂線成軸對(duì)稱的圖形，所以選項(xiàng)D不正確；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握：①如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那

么這兩個(gè)圖形全等；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分

線；③線段、等腰三角形、等邊三角形等都是軸對(duì)稱圖形.

變式1.（2021?無(wú)錫市八年級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）

A.關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形

B.全等三角形一定關(guān)于某條直線對(duì)稱

C.兩圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于對(duì)稱軸的兩側(cè)

D.有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊的所在的直線對(duì)稱

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義：兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)著，直線兩旁的部分能完全重合，那么這兩個(gè)圖形成

軸對(duì)稱進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形，此選項(xiàng)正確；

B、全等三角形是關(guān)于某直線對(duì)稱的錯(cuò)誤，例如圖一，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

圖一

C、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)錯(cuò)誤，例如圖二：故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊所在的直線對(duì)稱，錯(cuò)誤，例如圖三:

【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是熟練把握軸對(duì)稱的定義.

例2.（2021?沙坪壩區(qū)?重慶南開(kāi)中學(xué)九年級(jí)月考）下列平面圖形是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可.

【詳解】由軸對(duì)稱圖形的定義知，C選項(xiàng)符合題意，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，理解基本定義是解題關(guān)鍵.

變式2.（2021?黑龍江哈爾濱市?八年級(jí)期末）下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.B,

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義對(duì)各選項(xiàng)判斷即可得到答案.

【詳解】A.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，找軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

變式3.（2021?江蘇九年級(jí)二模）如圖的四個(gè)圖案中，具有一個(gè)共有的性質(zhì)，那么在下列各數(shù)中也滿足上

述性質(zhì)的是（）

D.808

【答案】D

【分析】先確定每個(gè)圖形的性質(zhì)，然后找出他們的共同性質(zhì)，再判斷四個(gè)選項(xiàng)中是軸對(duì)稱的即可.

【詳解】解：：五角星是軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，三圓兩輛相切圖形是軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，

心形是軸對(duì)稱圖形，箭頭是軸對(duì)稱圖形，他們的共有性質(zhì)是軸對(duì)稱性質(zhì)，

在四個(gè)選項(xiàng)中只有D是軸對(duì)稱圖形.故選擇D.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的性質(zhì)，共同性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例3.（2021北京市八年級(jí)期中）下列說(shuō)法中正確的是（）

①對(duì)稱軸上沒(méi)有對(duì)稱點(diǎn)；②如果A48c與關(guān)于直線￡對(duì)稱，那么%BC=S“B，C，；③如果線段/3=49,

直線工垂直平分44,則和49關(guān)于直線上對(duì)稱；④射線不是軸對(duì)稱圖形.

A.②B.①④C.②④D.②③

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和定義，對(duì)題中條件進(jìn)行一一分析，選出正確答案.

【詳解】①對(duì)稱軸上有對(duì)稱點(diǎn)，錯(cuò)誤；②如果A48c與關(guān)于直線上對(duì)稱，那么SMBC=夕。，正確；

③如果線段/8=4"，直線Z垂直平分由于位置關(guān)系不明確，則和4夕不一定關(guān)于直線Z對(duì)稱,

錯(cuò)誤；④射線是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個(gè)圖

形就是軸對(duì)稱圖形.折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸.

變式4.（2021?四川石室初中八年級(jí)期中）如圖，AABC與AAB，。關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任一點(diǎn)

（A、P、A，不共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AAAP是等腰三角形B.MN垂直平分AA，、CC

C.AABC與AAB，。面積相等D.直線AB,的交點(diǎn)不一定在直線MN上

【答案】D

【分析】據(jù)對(duì)稱軸的定義，AABC與AABC，關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任意一點(diǎn)，可以判斷出圖中各

點(diǎn)或線段之間的關(guān)系.

【詳解】解：「△ABC與AABC，關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任意一點(diǎn)，

...△AAT是等腰三角形，MN垂直平分A",CC,這兩個(gè)三角形的面積相等，故A、B、C選項(xiàng)正確，

直線AB,AB，關(guān)于直線MN對(duì)稱，因此交點(diǎn)一定在MN上，故D錯(cuò)誤，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱性質(zhì)的理解和應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

例4.（2021?四川廣安市?八年級(jí)期末）如圖，已知A/BC與V關(guān)于直線I對(duì)稱，NB=110°,ZA'=25°,

則/C的度數(shù)為（）

C!C

A.25°B.45°C.70°D.110°

【答案】B

【分析】根據(jù)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等求得未知角即可.

【詳解】解：:△/BC與V/2'C'關(guān)于直線/對(duì)稱，；.NA=/A，=25。,

VZB=110°,AZC=180°-ZB-ZA=180°-25o-110o=45°.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是熟知成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.

變式5.（2021?江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關(guān)于BC所在直線

對(duì)稱，ZABE=90°,則/尸的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得NABC=NEBC,然后求出NEBC,再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等解答.

【詳解】：平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關(guān)于BC所在的直線對(duì)稱，；.NABC=/EBC,

VZABE=90°,.?.NEBC=45°,

:四邊形EBCF是平行四邊形，，/F=/EBC=45。.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式6.（2021?江蘇南通市?九年級(jí)一模）如圖，在尺也/。8中，/A4c=90。，ADLBC,垂足為。，KABD

與■△/￡）氏關(guān)于直線/。對(duì)稱，點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)夕，若/3NC=14。，則的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】由對(duì)稱的性質(zhì)得,根據(jù)/A4c=90?？傻?840=38。，再根據(jù)直角三角形兩銳角關(guān)

系求解即可.

【詳解】解：?/4ABD與XADB'關(guān)于直線AD對(duì)稱，/.NBAD=NB，AD

ZBAC=90°,ZS^C=14°/.ABAD+ZB'AD+AB'AC=90°

AZBAD=38°/8=90。-38。=52。故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角關(guān)系，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)12利用軸對(duì)稱作圖

1、已知軸對(duì)稱圖形求作對(duì)稱軸方法：先確定圖形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再作以這兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直

平分線，這條直線就是它的對(duì)稱軸.

2、已知對(duì)稱軸，求作與已知圖形成軸對(duì)稱的圖形的步驟

方法：（1）先觀察已知圖形，并確定能代表已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（2）分別作出這些關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（3）根據(jù)已知圖形連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可得到與已知圖形成軸對(duì)稱的圖形.

例1.（2021?吳江市八年級(jí)月考）如圖是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的規(guī)則為4x7的臺(tái)球桌面示意圖，圖中四個(gè)角上的

陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)臺(tái)球邊緣多次反彈），

那么球最后將落入的球袋是（）

1號(hào)袋4號(hào)袋

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng).

【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，臺(tái)球走過(guò)的路徑為：

1號(hào)袋4號(hào)袋

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì).軸對(duì)稱的性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；（2）

對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.注意結(jié)合圖形解題的思想；嚴(yán)格按軸對(duì)稱畫(huà)圖是正確解答本題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?河北八年級(jí)期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊

球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）

1號(hào)袋2號(hào)袋

A.1號(hào)袋B.2號(hào)袋C.3號(hào)袋D.4號(hào)袋

【答案】B

【分析】利用軸對(duì)稱畫(huà)圖可得答案.

【詳解】解：如圖所示，

球最后落入的球袋是2號(hào)袋，故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形.

變式2.（2021?湖南九年級(jí)其他模擬）圖1中的圖案可以由圖2的圖案通過(guò)翻折后得到的有（）

圖1圖2

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：觀察圖案可知：具有軸對(duì)稱性質(zhì)的圖案只有2個(gè)，

第二個(gè)需要上下翻折可得，第一個(gè)需要左右翻折可得.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

例2.（2021?福建廈門(mén)市?八年級(jí)期中）如圖，已知△NBC和直線小，畫(huà)出與A/BC關(guān)于直線加對(duì)稱的圖形

（不要求寫(xiě)出畫(huà)法，但應(yīng)保留作圖痕跡）

m

A

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】找出點(diǎn)4、B、C關(guān)于直線優(yōu)的對(duì)稱點(diǎn)的位置，然后順次連接即可.

【詳解】解：如圖所示，△，9。即為A/BC關(guān)于直線機(jī)對(duì)稱的圖形.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，準(zhǔn)確找出點(diǎn)/、8、C的對(duì)稱點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?浙江九年級(jí)一模）如圖，己知圖形X和直線/.以直線/為對(duì)稱軸，圖形X的軸對(duì)稱圖形是

A.

C.

【答案】c

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念解答.

【詳解】解：已知圖形的軸對(duì)稱圖形是

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

例3.（2021?河北秦皇島市?九年級(jí)一模）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2

中①②③④的某一位置，使它與原來(lái)7個(gè)小正方形組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，并且只有一條對(duì)稱軸，這個(gè)

位置是（)

------1

②?

I-------

I①

一一1

③|

I④

圖1圖2

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和對(duì)稱軸的條數(shù)兩個(gè)角度思考判斷.

【詳解】當(dāng)放置在①位置時(shí)，構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸，不符合題意;

當(dāng)放置在②位置時(shí)，構(gòu)成的圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意

當(dāng)放置在③位置時(shí)，構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱圖形，且有一條對(duì)稱軸，符合題意

當(dāng)放置在④位置時(shí)，構(gòu)成的圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了拼圖中的軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義，準(zhǔn)確確定對(duì)稱軸的條數(shù)是解題的

關(guān)鍵.

變式4.（2021?廣東九年級(jí)其他模擬）小明將一正方形紙片畫(huà)分成16個(gè)全等的小正方形，且如圖所示為他

將其中四個(gè)小正方形涂成灰色的情形.若小明想再將一小正方形涂成灰色，使此紙片上的灰色區(qū)域成為線

對(duì)稱圖形，則此小正方形的位置為何？（）.

第

第

第

第

三

四

二

一

行

行

行

行

---I

???

第一列f

第二列一

第三列f

第四列f

A.第一列第四行B.第二列第一行C.第三列第三行D.第四列第一行

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和紙片上的四個(gè)灰色小正方形，確定出對(duì)稱軸，即可得出小正方形的位置.

【詳解】解：根據(jù)題意得：涂成灰色的小方格在第二列第一行.故選B.

笫

第

第

第

四

三

二

一

行

行

行

行

—-?JI

第二列f

第三列f

第四列f

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定出對(duì)稱軸，畫(huà)出圖形.

變式5.（2021?石家莊市第四十四中學(xué)九年級(jí)一模）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn),

以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的A/BC為格點(diǎn)三角形，在圖中與A/BC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)

三角形可以畫(huà)出（）

C

AB

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.3個(gè)以上

【答案】D

【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的答案.

【詳解】解：符合題意的三角形如圖所示：

滿足要求的圖形有4個(gè)故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用軸對(duì)稱來(lái)設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是要掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的含義.

例4.（2021?河北廊坊市?八年級(jí)期末）在正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）

A,B的坐標(biāo)分別為（0,2）,（—2,—1）.利用線段48分別在圖1、圖2、圖3中按要求畫(huà)出A/BC,并寫(xiě)

出點(diǎn)。的坐標(biāo).（1）A/BC的對(duì)稱軸是歹軸；（2）A/BC的對(duì)稱軸是過(guò)點(diǎn)3且平行于坐標(biāo)軸的直線，

并寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；（3）的對(duì)稱軸是過(guò)點(diǎn)B但不平行于坐標(biāo)軸的直線，且點(diǎn)。落在丁軸右側(cè)的格

點(diǎn)上.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4,2）或（0,-4）；（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）做出點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和對(duì)稱軸的位置作圖即可;

（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和對(duì)稱軸的位置作圖即可；

【詳解】（1）如圖1,A/BC即為所求，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,—1）.

（2）如圖2,即為所求，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（―4,2）或（0,-4）.

（3）如圖3,A/BC即為所求，點(diǎn)。的坐標(biāo)為。,1）或（1,—3）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽對(duì)稱變換作圖，準(zhǔn)確分析作圖是解題的關(guān)鍵.

變式6.（2021?云南大理白族自治州?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AA8C各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別

為：A（4,0）,B（1,4）,C（3,1）.（1）在圖中作A/4'B'C',使和AA8C關(guān)于x軸對(duì)稱；

(2)寫(xiě)出點(diǎn)B',C'的坐標(biāo)；(3)求AA5C的面積.

【分析】(1)直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，進(jìn)而得出答案；(2)直接利用(1)中所畫(huà)圖形得出各點(diǎn)坐標(biāo)即可;

(3)利用三角形所在矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得到答案.

【詳解】解：(1)由關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)我們可以得到的圖形如圖所示

(2)由(1)中所畫(huà)的圖形我們可以得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：^(-1--4)C(-3,-l)

(3)如圖所示,S^BC~S矩形七尸四一^AAEC—1HB—^ABFC

i711

?；SM=3(AE?CE)=3,^B=-(^.S7/)=10,SABFC=&(BF?CF)=3

S矩形=，E?EF=7x4=28SAABC=S^EFHA-S^EC-SAAHB-SABFC=28-10-3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱變換以及三角形面積求法，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

變式7.(2020?佛山市順德區(qū)北洛鎮(zhèn)碧江中學(xué)八年級(jí)月考)如圖，直角坐標(biāo)系中，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)

格中，A/OB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)/,3的坐標(biāo)分別是4(3,1),B(2,3)

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出A/OB關(guān)于y軸的對(duì)稱A4'。'，點(diǎn)，的坐標(biāo)為，點(diǎn)8'的坐標(biāo)為

(2)請(qǐng)寫(xiě)出4點(diǎn)關(guān)x軸的對(duì)稱點(diǎn)Z"坐標(biāo)為.

【答案】⑴圖見(jiàn)解析,2,3)；(2)/(3,-1).

【分析】(1)先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫(huà)出點(diǎn)H,",再順次連接點(diǎn)4,0,8'即可得，然后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于y

軸對(duì)稱的變換規(guī)律即可得；(2)根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱的變換規(guī)律即可得.

【詳解】(1)先畫(huà)出點(diǎn)H,8',再順次連接點(diǎn)即可得△H05',如圖所示：

點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱的變換規(guī)律：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，

4(3,1),5(2,3),2,3),故答案為:2,3)；

.?^（3,1）,.-.^（3,-1）,故答案為：^（3,-1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)軸對(duì)稱圖形、點(diǎn)坐標(biāo)與軸對(duì)稱變化，熟練掌握點(diǎn)坐標(biāo)與軸對(duì)稱變換規(guī)律是解題關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)13軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短路徑）

基本問(wèn)題：在直線/上找一點(diǎn)尸，使得其到直線異側(cè)兩點(diǎn)Z、5的距離之和最小.

變式1：在直線/上找一點(diǎn)尸，使得其到直線同側(cè)兩點(diǎn)2、8的距離之和最小.

變式2：直線加、〃交于。，尸是兩直線間的一點(diǎn)，在直線加、〃上分別找一點(diǎn)Z、B,使得APNB的周

長(zhǎng)最短.

例1.（2021?山東德州市?八年級(jí)期末）如圖，在A/BC中，AB=6,BC=1,/C=4,直線加是A/BC

中邊的垂直平分線，尸是直線加上的一動(dòng)點(diǎn)，則△4PC的周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】10

【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+CP值的最小，求出

AB長(zhǎng)度即可得到結(jié)論.

【詳解】解：；直線m垂直平分BC,...B'C關(guān)于直線m對(duì)稱，

設(shè)直線tn交AB于D,...當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長(zhǎng)，

.?.△APC周長(zhǎng)的最小值是6+4=10.故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置.

變式1.（2021?山東濱州市?八年級(jí)期末）如圖，在A/BC中，ZACB=90°-D5=30>AC=6,P為

2C邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ZCP周長(zhǎng)的最小值為

【分析】因?yàn)锽C的垂直平分線為DE,所以點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線DE對(duì)稱，所以當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P和E重合時(shí)則

△ACP的周長(zhǎng)最小值，再結(jié)合題目的已知條件求出AB的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖，:P為BC邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，.?.點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線DE對(duì)稱，

.?.當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P和E重合時(shí)則AACP的周長(zhǎng)最小值，VZACB=90°,ZB=30°,AC=6,AAB=2AC=12,

AP+CP=AP+BP=AB=12,「.△ACP的周長(zhǎng)最小值=AC+AB=18,故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線的問(wèn)題以及垂直平分線的性質(zhì)，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，

確定點(diǎn)P的位置這類題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要.

例2.（2020?綿陽(yáng)期末）如圖，在四邊形/BCD中，ZC=70°,/B=/D=90°,E、尸分別是BC、DC

上的點(diǎn)，當(dāng)△，昉的周長(zhǎng)最小時(shí)，/￡/尸的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

【分析】據(jù)要使△/訪的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出/關(guān)于8C和

CD的對(duì)稱點(diǎn),A",即可得出NN/'E+ZA"=ZHAA'=70",進(jìn)而得出/NEF+N/莊1=2CZAA

'E+ZA"）,即可得出答案.

【答案】解：作/關(guān)于2C和CD的對(duì)稱點(diǎn),A",連接HA",交BC于E,交CD于F,貝I]/'A"

即為△/斯的周長(zhǎng)最小值.作DA延長(zhǎng)線AH,

VZC=70°,：.ZDAB=H0a,ZHAA'=70°,/.'E+ZA"=ZHAA'=70°,

VZEA'A=ZEAA',ZFAD=ZA",：.ZEAA'/=70°,AAEAF=\\Q°-70°=40°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)

和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E,尸的位置是解題關(guān)鍵.

變式2（2020?長(zhǎng)白縣期末）如圖，//OB=a,點(diǎn)尸是內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在。/、08上移

動(dòng)，當(dāng)△尸兒加的周長(zhǎng)最小時(shí)，的值為（）

A.90°+aB.90°片aC.180°-aD.180°-2a

【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、OB的對(duì)稱點(diǎn)為、尸2,連接尸1、P2,交CU于交03于N,叢PMN的周

長(zhǎng)最小值等于尸1尸2的長(zhǎng)，然后依據(jù)等腰△OPP2中，/。尸1尸2+/。「2尸1=180°-2a,即可得出

OPM+ZOPN=ZOP1M+ZOPiN=180°-2a.

p】

【答案】解：分別作點(diǎn)尸關(guān)于CM、。8的對(duì)稱點(diǎn)尸1、尸2,連接尸1、P2,交CM于交0B于N,則

OP\=OP=OPi,ZOP1M=ZMPO,ZNPO=ZNP2O,

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PN=PW,的周長(zhǎng)的最小值=尸12，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得NPOP2=2//O8=2a,；.等腰△。外尸2中，ZOPiP2+ZOP2Pi=180°-2a,

：./MPN=NOPM+NOPN=/OP\M+NOP2N=/OP\P2+/OP2Pl=180°-2a,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，正確正確作出輔助線，得到等腰△OPP2中/。2尸2+/。尸#1

的度數(shù)是關(guān)鍵.凡涉及最短距離問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

例3.（2021?湖北八年級(jí)期末）如圖，A/BC的頂點(diǎn)A,B,。都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按

下列要求畫(huà)圖.

（1）畫(huà)4G，使它與A/BC關(guān)于直線/成軸對(duì)稱；

（2）在直線/上找一點(diǎn)P,使點(diǎn)尸到點(diǎn)A,點(diǎn)3的距離之和最短；

（3）在直線/上找一點(diǎn)。，使點(diǎn)。到邊ZC,5C的距離相等.

?<?'??>?????）

j，一」一<L_L_L」_」一，一▲_L_j」

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，在網(wǎng)格上分別找到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)4、點(diǎn)與、點(diǎn)G，連

接4月、4G、B.a,即可得到答案；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得PBi=PB；再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最

短的性質(zhì)，即可得到答案；（3）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】(1)如圖所示，在網(wǎng)格上分別找到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)4、點(diǎn)與、點(diǎn)C1,連接4片、

B.C.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，點(diǎn)2、點(diǎn)用關(guān)于直線/成軸對(duì)稱

：.PB.=PB：.PA+PB=PA+PB,如下圖，連接45]

當(dāng)點(diǎn)P在直線I和4sl的交點(diǎn)處時(shí)，PA+PB[=AB,,為最小值，

...當(dāng)點(diǎn)P在直線/和4sl的交點(diǎn)處時(shí)，PZ+P8取最小值，即點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短;

(3)如圖所示，連接CG

根據(jù)題意的：NNCG=NBCG二點(diǎn)0在直線/和CG的交點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)。到邊zc，的距離相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、兩點(diǎn)之間線段最短、角平分線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱、兩點(diǎn)

之間線段最短、角平分線的性質(zhì)，從而完成求解.

變式3.（2021?河南駐馬店市?八年級(jí)期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三

【答案】見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系即可；（2）畫(huà)出A、B、C關(guān)于y軸對(duì)稱的Ai、Bi>

Ci即可；（3）作點(diǎn)Bi關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B2,連接CB2交x軸于點(diǎn)P；

【詳解】（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）尸點(diǎn)位置如圖所示.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換、最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)

稱解決最短問(wèn)題.

例4.（2021?廣西貴港市?八年級(jí)期末）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法及證明過(guò)程）：如圖,

已知點(diǎn)P在/A4C內(nèi)，分別在48、ZC邊上求作點(diǎn)E和點(diǎn)/，使的周長(zhǎng)最小.

B

【答案】見(jiàn)解析

【分析】步驟：①作P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P1.②作P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P2.③連接P1P2.④P|P2與AB的交

點(diǎn)就是E,P1P2與BC的交點(diǎn)就是F.即為所求.

【詳解】解：如圖：APER即為所求，

瑪

注：①作P關(guān)于4B的對(duì)稱點(diǎn)不；②作P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)鳥(niǎo)；③連接PR.

④P1P2與AB的交點(diǎn)就是E,P1P2與BC的交點(diǎn)就是F.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，軸對(duì)稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

變式4.（2022?潁泉區(qū)期中）如圖，點(diǎn)尸是內(nèi)部一點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻要從P的出發(fā)，先到CU,再

到最后返回到點(diǎn)P.請(qǐng)作出螞蟻爬行的最短路徑（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.）

【分析】作點(diǎn)尸關(guān)于。/、的對(duì)稱點(diǎn)P、P",連接PP"與CM、05交于點(diǎn)河、N,可得螞蟻爬行的最短

路徑為：PM+MN+PN=P'M+MN+P"N=P'P".

【答案】解：如圖，

作點(diǎn)P關(guān)于04、的對(duì)稱點(diǎn)P、P",連接PP"與。/、。2交于點(diǎn)M、N,

則螞蟻爬行的最短路徑為：PM+MN+PN=P'M+MN+P"N=P'P".

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

知識(shí)點(diǎn)14等腰三角形性質(zhì)及判定

1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另外一邊叫做底，腰和底

的夾角叫做底角，兩腰的夾角叫做頂角.特別地，三邊相等的三角形叫做等邊三角形.

（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等，可簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”.

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”）.

注意：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線都是等腰三角形的對(duì)稱軸.

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成"等角對(duì)等邊"）.

4、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；

性質(zhì)：等邊三角形除了具有等腰三角形的一切性質(zhì)外，還具有更特殊的性質(zhì)：（1）有三條對(duì)稱軸；（2）

每個(gè)內(nèi)角都等于60°,三條邊都相等.

判定：（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；（2）有兩個(gè)角等于60。的三角形是等邊三角形；

（3）有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.

例L（2021?香坊區(qū)八年級(jí)期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為13c加，其中一邊長(zhǎng)為3c%則該等腰三角形的底長(zhǎng)為

（）

A.3cm^5cmB.3cmcmC.3cmD.5cm

【答案】C

【解答】解：①3c加是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊=13-3X3=7CTO,

此時(shí)，三角形的三邊分別為3°加、3cm>7c%,：3+3=6<7,...不能組成三角形；

②3cm是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)=/（13-3）=5cm,

此時(shí)，三角形的三邊分別為5CH、5cm、3cm,能夠組成三角形，

綜上所述，該等腰三角形的底長(zhǎng)為3c%.故選：C.

變式1.（2021?樺甸市八年級(jí)期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm和％加，則它的周長(zhǎng)是（）

A.17cmB.22cmC.17c加或22。加D.無(wú)法確定

【答案】B

【解答】解：當(dāng)腰是4c加時(shí)，：4+4<9,.?.此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，此種情況不行；

當(dāng)腰是9c加時(shí)，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長(zhǎng)是4CZH+9CVM+9cm=22（?加，故選：B.

例2.（2021?寧波市海曙區(qū)初二期末）若中剛好有N8=2NC,則稱此三角形為“可愛(ài)三角形”，并

且NN稱作“可愛(ài)角”.現(xiàn)有一個(gè)“可愛(ài)且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛(ài)角”應(yīng)

該是（）.

A.45°或36。B.72°或36°C.45°或72。D.36?；?2。或45。

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。且等腰三角形的兩個(gè)底角相等，再結(jié)合題中一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍即

可求解.

【解析】解：由題意可知：設(shè)這個(gè)等腰三角形為AABC,且/B=2/C,

情況一：當(dāng)NB是底角時(shí)，則另一底角為NA,且NA=NB=2/C,

由三角形內(nèi)角和為180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,

.*.5ZC=180o,/?ZC=36°,ZA=ZB=72°,此時(shí)可愛(ài)角為/A=72°,

情況二：當(dāng)NC是底角，則另一底角為/A,且/B=2/A=2NC,

由三角形內(nèi)角和為180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,.,.4ZC=180°,即NC=45。，

此時(shí)可愛(ài)角為NA=45。，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題借助三角形內(nèi)角和考查了新定義題型，關(guān)鍵是讀懂題目意思，熟練掌握等腰三角形的兩底角

相等及三角形內(nèi)角和為180°.

變式2.（2021?哈爾濱初二月考）在A/BC中，4D是ZBAC的平分線，且48=ZC+CD,若ABAC=81°,

則ZABC的大小為.

【答案】33°

【分析】可在A3上截取4E=/C,先根據(jù)SAS證明△ZED四△/CD,可得。E=DC,然后根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)、題中條件可得進(jìn)而可得NC==2/8,而由三角形的內(nèi)角和易求得/B+NC的度

數(shù)，進(jìn)一步即可求出答案.

【解析】解：如圖，在N5上截取N￡=/C,在△4ED和△NCD中，

'：AE=AC,ZEAD=ZCAD,AD=AD,：./\AED^/\ACD（SAS）,：.DE=DC,NC=NAED,

"：AB=AC+CD,AB^AE+EB,：.CD=BE,；.BE=ED,:./EDB=NB,:./C=NAED=2/B,

又?.?/5+NC=180°-/A4C=99°,Z3=33°.故答案為：33°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外

角性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2021?成都市?初二期末）如圖鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架，若

【解析】設(shè)/A=x,VAPi=PiP2=P2P3=...=Pi3Pi4=Pi4A,AZA=ZAP2Pi=ZAPi3Pi4=x.

NP2Plp3=NP13P14Pl2=2X,NP2P3P4=NP13Pl2P10=3X,.......,NP7P6P8=/P8P9P7=7x.

...NAP7P8=7X,/AP8P7=7X.在AAP7P8中，ZA+ZAP7P8+ZAP8P7=180°,即X+7X+7X=180°.

解得x=12°,即NA=12°.

變式3.（2020?湖南永定?八年級(jí)期中）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的.借助如圖

所示的“三等分角儀”能三等分任何一個(gè)角.這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成，兩根棒在。點(diǎn)

相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE,點(diǎn)D,E可在槽中滑動(dòng)，若/BDE=78。，則NAOB等于_

度.

【答案】26

【分析】根據(jù)題意易得NO=NCDO,ZDCE=ZDEC,則有NDCE=NDEC=2/0,ZBDE=3ZO,然后進(jìn)

行求解即可.

【解析】解：：OC=CD=DE,.-.ZO=ZCDO,ZDCE=ZDEC,

ZDCE=ZDEC=2/0,ZBDE=ZO+ZDEC=3ZO,

VZBDE=78°,AZ0=26°；故答案為26.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例4.（2021?曹縣八年級(jí)期中）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)/,2是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)是小正方

形的頂點(diǎn)，且使△NBC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）

【答案】C

【解答】解：如圖，分情況討論:

①N5為等腰△A8C的底邊時(shí)，符合條件的。點(diǎn)有4個(gè)；

②N5為等腰△48。其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

所以△NBC是等腰三角形，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選：C.

變式4.（2020??？谑械谑闹袑W(xué)初二月考）如圖，在AABC中，ZABC=60°,/C=45。，AD是BC邊上

的高，/ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F,則圖中共有等腰三角形（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)在△ABC中，/ABC=60。，NACB=45。，利用三角形內(nèi)角和定理求得/BAC=75。，然后可

得等腰三角形.

【解析】VZABC=60°,ZACB=45°,AD是高，

.,.ZDAC=45°,；.CD=AD,；.△ADC為等腰直角三角形，

VZABC=60°,BE是NABC平分線，二/ABE=/CBE=30。，

itAABD中，ZBAD=180°-ZABD-ZADB=180°-60°-90°=30°,

...NABF=NBAD=30。，；.AF=BFBP△ABF是等腰三角形，

在AABC中，ZBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-60°-45°=75°,

ZAEB=ZCBE+ZACB=30°+45°=75°,ZBAE=ZBEA,

；.AB=EB即AABE是等腰三角形，等腰三角形有AACD,AABF,AABE；故答案選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的高、角平分線，等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是要

熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí).

例5.（2020?廣東揭陽(yáng)?初二期末）如圖，A48C中，AB=AC,。是中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是

（）.

A./B=NCB.ADA.BCC.2。平分NB/CD.AB=2BD

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.

【解析】A、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，所以N5=NC,故A項(xiàng)結(jié)論正確；

B、C項(xiàng)，等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線以及底邊上的高線“三線合一”，所以4D平

仿NBAC,故B、C項(xiàng)結(jié)論均正確；

D、由于三角形角度不確定，故無(wú)法得到AB和BD的關(guān)系，故D項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角

相等；等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線以及底邊上的高線“三線合一”.

變式5.（2021?廣東高州?初二月考）等腰三角形底邊長(zhǎng)為6,周長(zhǎng)為16,則三角形的面積為（）

A.30B.25C.24D.12

【答案】D

【分析】先求出腰長(zhǎng)，作底邊上的高，根據(jù)等腰三角形三線合一和勾股定理求出高，再代入面積公式求解

即可.

【解析】解：根據(jù)題意，腰長(zhǎng)為：|x（16-6）=5,如圖，作底邊BC上的高AD,

/.AB=5,BD=；X6=3,/.AD=^JAB2-BD2=-32=4'?,?三角形的面積為：；x6x4=12.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形“三線合一”作出底邊上的高，再根

據(jù)勾股定理求出高的長(zhǎng)度，作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

例6.（2021?渝水區(qū)八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)。，E在△N8C的邊8c上，BD=AD=DE=AE=CE.

（1）求/D4E的度數(shù)；（2）求證：△/3C是等腰三角形.

【答案】（1）NDAE=60°（2）略

【解答】（1）解：：40=。石=/￡,是等邊三角形，.,./D4E=60°；

(2)證明：:44DE是等邊三角形；.N4DE=/AED=60°，'：BD^AD,：.ZB=ZBAD,

VZADE=ZB+ZBAD：.Z5=30°,同理NC=30°,

:.NB=/C,.?.△4SC是等腰三角形.

變式6.（2021?南海區(qū)八年級(jí)期末）如圖，在△NBC中，AB=AC,點(diǎn)、D、E、/分別在/8、BC、/C邊上,

且BE=CF,BD=CE.（1）求證：△￡>￡下是等腰三角形；（2）當(dāng)//=40°時(shí)，求NDEF的度數(shù).

【答案】(1)略(2)ZDEF=70°

【解答】證明：'：AB^AC,：.ZABC^ZACB,

'BE=CF

在△D8E和△ECF中,ZABC=ZACB>:.ADBE沿AECF,

,BD=CE

:.DE=EF,，△。斯是等腰三角形；

（2）,:dDBEmLECF,.,.Z1=Z3,Z2=Z4,

VZ^+Z5+ZC=180°,：.ZB=1-（180°-40°）=70°

2

.".Zl+Z2=110°.,.Z3+Z2=110°AZDEF=10°

例7.（2021?福山區(qū)初二期末）在下列結(jié)論中：

（1）有一個(gè)外角是120。的等腰三角形是等邊三角形；

（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；

（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；

（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)內(nèi)角都

相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題.

【解析】解：（1）：因?yàn)橥饨呛团c其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的和是180°,已知有一個(gè)外角是120°,即是有一個(gè)內(nèi)

角是60°,有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.該結(jié)論正確.（2）：兩個(gè)外角相等說(shuō)明該三

角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)

誤.

（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來(lái)就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是

等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)誤.（4）：三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.正確；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解決問(wèn)題.

變式7.（2021?遼寧鐵嶺?八年級(jí)期末）如圖，E是等邊A4BC中NC邊上的點(diǎn)，Zl=Z2,8E=C。，則AIDE

是（）

AD

BC

A.等腰三角形B.等邊三角形C.不等邊三角形D.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】先證得可得NBAE=/CAD=6Q°,即可證明A/OE是等邊三角形.

【詳解】解：:LABC為等邊三角形；.AB=4C,ZBAE=60°,

VZ1=Z2,BE=CD,：./\ABE^/\ACD（&4S）,

：.AE=AD,ZBAE=ZCAD=60°,是等邊三角形.故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握等邊三角形的

判定定理.

變式8.（2021?無(wú)錫市八年級(jí)期中）如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/秒的速度

由C向B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/秒的速度由C向A勻速運(yùn)動(dòng)，AP、BQ交于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)Q

到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若/AMQ