2024-2025學年浙江省杭州市某校高二（上）質檢數學試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學年浙江省杭州市聯(lián)誼學校高二（上）質檢

數學試卷（10月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.直線退x—3y—1=0的傾斜角是（）

A.TB*C.胡D,

oo36

2.已知集合4={己1,2,3,4},B={x\x2-5x+4<0},則力CB=（）

A.[1,2,3,4}B.[1,4}C.{2,3}D.{0,1,4}

3.在空間直角坐標系Oxyz中，點（3,-1,-4）關于平面Oxy的對稱點為（）

A.(—3,—1,-4)B.(-3,1-4)C.(3-1,4)D.(—3,1,4)

4.已知復數z滿足z+2z=3+3則z=()

A.1+iB.1-iC.2+iD.2-i

5.如圖，在斜棱柱48。。一/18道1。1中，ZC與8。的交點為點M,AB=a,AD=b,~AA1=c,則西=

A.-|a++c

B.-柒+期+工

一

Cc.-1-—a--b-c

D.+c

6.設函數fG）=33a）在區(qū)間（o；|）上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）

A.（-oo-l]B.[-3,0）C.（0,1]D.[3,+oo）

7.已知光線從點力（-6,3）射出，經直線2支-y+10=0反射，且反射光線所在直線過點B（-8,-3）,則反射

光線所在直線的方程是（）

A.3x—2y+18=0B.2x—3y+7=0

C.3%+2y+30=0D.2%+3y+25=0

8.在正四面體。-ABC中，M,N分別為OC和AB的中點，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為（）

A.|4

B4C-5D1

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

TT

9.已知函數/'(久)=sin(2x+§),則()

A,函數f(x)的最小正周期為兀

B.函數/(%)的圖象關于直線比=T對稱

TTTT

C.函數/(乃在區(qū)間匕萬)上單調遞減

TT

D.函數/(%)的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移§個單位長度得到

10.關于空間向量，下列說法正確的是()

A.直線/的方向向量為2=(1,1,—2),直線機的方向向量為另=(2,—琦)，則/1機

B.直線I的方向向量為Z=(0,—1,—1),平面a的法向量為石=(0,1,1),貝i|/〃a

C.平面a,0的法向量分別為2=(—1,1,2),b=(l,0,1)，則a〃/?

D.若對空間內任意一點。，都有方=+場+次，則P,A,B,C四點共面

11.如圖所示，邊長為2的等邊△。力B從起始位置(。力1與y軸重合)繞著。點順V*

時針旋轉至。8與x軸重合得到△。&&,在旋轉的過程中，下列說法正確的~卜1、公

是()

A.邊力B所在直線的斜率的取值范圍是[-居-*]L/A.

B.邊所在直線在y軸上截距的取值范圍是[2,4]?&

C.邊4/1與邊7I2B2所在直線的交點為(3-避,3-避)

D.當力B的中垂線為x—y=0時，k°B=2-平

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

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12.某學校有高二學生700人，其中男生420人，女生280人.有人為了獲得該校全體高二學生的身高信息,

采用分層抽樣的方法抽取了容量為100的總樣本(觀測數據單位：CM),若已知男生樣本的平均數為172,

女生樣本的平均數為162,則總樣本的平均數是.

13.已知直線%：3x+4y—5=0,I2：6x+8y+5=0,則A與Z2的距禺

d=.

14.如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面PCD1平面力BCD,底面48CD是矩

形，AB=2BC=6,PC1PD,PC=PD,點。是CD的中點，則線段PB上

的動點E到直線4。的距離的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

求滿足下列條件的直線的勺一般式方程：

(1)直線I的一個方向向量是(—1,2),且經過52x-y+9=0,/2：3x+2y-4=0的交點P；

(2)與直線03x-y=0垂直，且點Q(2,-5)到直線Z的距離為迎.

16.(本小題15分)

如圖，長方體力BCD—AiBiQDi中，48=BC=1,AA1=2,E是A4i的中點.

(1)求證：CE，平面EBi%；

(2)求點E到平面CBiDi的距離.

17.(本小題15分)

在△48C中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且避asinB=c-bcosA.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若c=邪,b=1,求△4BC的面積.

18.(本小題17分)

圖1是直角梯形4BCD,AB//DC,4D=90°,AB=2,DC=3,AD=4，CE=2FD,以BE為折痕將

BCE折起，使點C到達Ci的位置，且如圖2.

(I)求證：平面BCiE_L平面4BED；

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(II)求直線BC1與平面4C1D所成角的正弦值；

(III)在棱DC1上是否存在點P,使得二面角P-EB-C1的平面角為45。？若存在，求線段C1P的長度；若不存

在，請說明理由.

19.(本小題17分)

已知點P和非零實數九若兩條不同的直線k%均過點P，且斜率之積為九則稱直線0，G是一組“Pa共輾

線對”，如直線小y=2x和％：y=—2是一組“。一1共軌線對”，其中。是坐標原點.

(1)已知dL是一組“。-3共輾線對”，且直線小y=2x,求直線L的方程；

(2)已知點4(0,1)、點B(—1,0)和點C(1,O)分別是三條傾斜角為銳角的直線PQ,QR,RP上的點(48。與P,

Q,R均不重合)，且直線PR,PQ是“Pi共輾線對“，直線QP,QR是“Q4共軌線對”，直線RP，RQ是

“夫9共朝線對”，求點P的坐標；

(3)已知點”(-1,一避)，直線看,〃是“”_2共朝線對”，當G的斜率變化時，求原點。到直線13,〃的距離

之積的取值范圍.

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參考答案

1.A

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.B

8.A

9.AC

10.AD

11.ACD

12.168cm

i13j.-2

14.*

15.解：(1)根據直線1方向向量，可求得直線斜率為-2,

聯(lián)立A：2x-y+9=0,12：3%+2y-4=0,可求得

根據點斜式可得y—5=-2(%+2),化簡可得2*+y-1=0.

(2)直線1與直線％：3久一y=0垂直，可求得的?用3=-L

解之可求得比=設直線/的一般式方程為久+3y+m=0,

根據點到直線距離公式根一勒加=回解之可得機=3或機=23,

所以直線2的方程為x+3y+3=0或x+3y+23=0.

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16.(1)證明：如圖建系4—xyz,在長方體中，AB=BC=1,44],=2,

貝!14(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),1)(0,1,0),2式0,0,2),

Bi(l,0,2),射(1,1,2),%(0,1,2),E(0,0,l),

=(-1-1,1)-瓦瓦=(T,l,0),=(-1,0-1),

因為次?07=1-1=0，CE-B^E=1-1=O,

所以CECEJ.B]E,又B[D]ClB^E=Bi,B1Di，B±Eu平面EBiDi，

所以CE1平面EBWi；

(2)解：設平面的法向量為=(x,y,z),

'x=2

防=(0-1,2)

y=2nm=(2,2,1),

lor=(-1,1,0)z=1

XCE=(-1-1,1),

所以d=|隼妾|,-2-2+1,3.

「22+22+121-3-X-

17.解：(1)方法一：由誨數譏8=c-bcosZ及正弦定理,

可得巡sizMsiTiB=sinC—sinBcosA,

即避isn/sinB=sin(/+B)—sinBcosA9

即巡sizMsiziB=sinBcosA+cosBsinA—sinBcosA,

整理得利TIB=易又B￡(0辦可得B=1；

4

方法二：由避as譏8=c-b?扶f房

Z7bc

整理得24acs譏8=c24-a2—b2,

即避siziB=cosB,即tcmB=§，

TT

又Be(0,7T),可得B=q；

(2)方法一：由余弦定理得：l=a2+3-2a?平號

BPa2—3a+2=0,解得a=1或Q=2,

所以S=/X1X*=字或S='X避X:12一(.)2=號

方法二：由正弦定理：熹方=言，可得S出C=<

sm3UsinC2

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又Ce(0,7T),所以C=裁。=條

所以4尸=CF=^/3,

因為ACi=逆，貝！MF?+c/2=4穹，

所以GF1AF,

又CF1BE,且BECiAF=F,

故C/1平面4BED,

又CFu平面BCiE,

故平面BCiE1平面ABED；

(II)解：以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

貝|。(0,0,0)/(4,0,0),B(W，2,0),E(0,l,0),F(^,|,0),C1(^,|，V3),

所以跖=(一號T，2)而=(73,0,0),西=(*|,8)，

設平面ZC1。的法向量為五=(%,y,z),

(n-DA=0f=。

則《?際=0,即好久+|y+@=0，

令z=避，貝卜=0,y=-2,

故71=(0,-2,4),

I跖.司—4_2“

所以|cos<BC；九>|=

\BC[\\n\一,4+3x27-，

故直線BCi與平面4C1D所成角的正弦值為竽;

(III)解：假設在棱DC】上存在點P,使得二面角P-E8-3的平面角為45。,

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DP=kDC[=凈凱舟）卜e（0,1）,

則p謨快回),

z/

所以BE=(—y/3,—1,0)fPE=

因為力E1平面QBE,

所以平面C/E的一個法向量為Z=(-l，V3,0),

設平面PBE的法向量為拓=(a,hc),

+b

n(m-BE=0J^=°

則(方.方=0'即(一乎ka+(1—|k)b—避既=0，

可取為=心k「3k郃k-平),

a?I、l1一、1_1，而________\-pk-3Fk\___________J2

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