第七章方差分析法

第七章方差分析AnalysisofVariance（ANOVA)11/9/20241版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握方差分析中的基本概念；掌握方差分析的基本思想和原理；掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用；初步了解多重比較方法的應(yīng)用；了解雙因素方差分析的方法及應(yīng)用。11/9/20242版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組學(xué)習(xí)內(nèi)容第一節(jié)方差分析簡(jiǎn)介常用術(shù)語(yǔ)

基本假定第二節(jié)單因素方差分析

分析模型

基本思想

分析步驟

多重比較第三節(jié)雙因素方差分析無交互作用雙因素方差分析有交互作用雙因素方差分析11/9/20243版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.1方差分析簡(jiǎn)介7.1.1方差分析中的基本概念7.1.2方差分析中的基本假設(shè)與檢驗(yàn)11/9/20244版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組失業(yè)保險(xiǎn)案例：為什么要進(jìn)行方差分析？

為了減小失業(yè)保險(xiǎn)支出、促進(jìn)就業(yè)，政府試圖為失業(yè)者提供再就業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)：如果失業(yè)者可以在限定的時(shí)間內(nèi)重新就業(yè)，他將可以獲得一定數(shù)額的獎(jiǎng)金。政策會(huì)有效嗎？11/9/20245版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組試驗(yàn)數(shù)據(jù)不同獎(jiǎng)金水平失業(yè)者的再就業(yè)時(shí)間（天）

無獎(jiǎng)金低獎(jiǎng)金中獎(jiǎng)金高獎(jiǎng)金9286967810010892758593907688887787898979739075718394788282807275687879817211/9/20246版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組要研究的問題總體1，μ1（獎(jiǎng)金=1）總體2，μ2（獎(jiǎng)金=2）總體3，μ3（獎(jiǎng)金=3）樣本1樣本2樣本3樣本4總體4，μ4（獎(jiǎng)金=4）11/9/20247版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組各個(gè)總體的均值相等嗎？Xf(X)

1

2

3

4

Xf(X)

3

1

2

4

11/9/20248版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組失業(yè)保險(xiǎn)案例：實(shí)驗(yàn)結(jié)果……1=無獎(jiǎng)金2=低獎(jiǎng)金3=中獎(jiǎng)金4=高獎(jiǎng)金。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以認(rèn)為各總體的平均失業(yè)時(shí)間相同嗎？11/9/20249版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組研究方法：兩樣本的t檢驗(yàn)？如果采用t檢驗(yàn)法對(duì)多個(gè)總體均值進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn)，會(huì)出現(xiàn)如下問題：全部檢驗(yàn)過程煩瑣，做法不經(jīng)濟(jì)無統(tǒng)一的總體方差估計(jì)，檢驗(yàn)的精度降低犯第一類錯(cuò)誤的概率增大，檢驗(yàn)的可靠性降低11/9/202410版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組方差分析可以用來比較多個(gè)均值方差分析（Analysisofvariance，ANOVA）的主要目的是通過對(duì)方差的比較來同時(shí)檢驗(yàn)多個(gè)均值之間差異的顯著性。可以看作t檢驗(yàn)的擴(kuò)展，只比較兩個(gè)均值時(shí)與t檢驗(yàn)等價(jià)。20世紀(jì)20年代由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)喧（R.A.Fisher）最早提出的，開始應(yīng)用于生物和農(nóng)業(yè)田間試驗(yàn)，以后在許多學(xué)科中得到了廣泛應(yīng)用。11/9/202411版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組ANOVA(analysisofvariance)由于方差分析法是通過比較有關(guān)方差的大小而得到結(jié)論的，所以在統(tǒng)計(jì)中，常常把運(yùn)用方差分析法的活動(dòng)稱為方差分析。方差分析的內(nèi)容很廣泛，既涉及到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的模式，又關(guān)乎數(shù)據(jù)分析模型中因素效應(yīng)的性質(zhì)。本章在完全隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)下，討論固定效應(yīng)模型方差分析的基本原理與方法，重點(diǎn)介紹單因素方差分析及兩因素方差分析的內(nèi)容。11/9/202412版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.1.1方差分析中的幾個(gè)基本概念因變量：我們實(shí)際測(cè)量的、作為結(jié)果的變量，例如失業(yè)持續(xù)時(shí)間。因變量也稱試驗(yàn)指標(biāo)，其不同的取值常稱為觀察值或試驗(yàn)數(shù)據(jù)。自變量：作為原因的、把觀測(cè)結(jié)果分成幾個(gè)組以進(jìn)行比較的變量例如獎(jiǎng)金水平。在方差分析中，自變量也被稱為因素(factor)。因素的不同表現(xiàn)，即每個(gè)自變量的不同取值稱為因素的水平。11/9/202413版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.1.1方差分析中的幾個(gè)基本概念方差分析主要用來研究一個(gè)定量因變量與一個(gè)或多個(gè)定性自變量的關(guān)系只有一個(gè)自變量的方差分析稱為單因素方差分析。研究多個(gè)因素對(duì)因變量的影響的方差分析稱為多因素方差分析，其中最簡(jiǎn)單的情況是雙因素方差分析。11/9/202414版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組為便于理解，在單因素方差分析中，將因素的任何一個(gè)水平（處理）看作是一個(gè)總體，該水平（處理）下試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)可看成是從總體中抽出的一個(gè)樣本，處理的重復(fù)數(shù)即為樣本容量。7.1.1：固定效應(yīng)與隨機(jī)效應(yīng)模型11/9/202415版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組若因素的每一個(gè)水平（處理）均做試驗(yàn)，相當(dāng)于對(duì)該因素進(jìn)行了全面調(diào)查。此種情形下，方差分析目的在于：對(duì)比較尋優(yōu)，即確定因素的顯著影響水平，且該顯著影響水平僅在中有效，在外無效，一句話，試驗(yàn)數(shù)據(jù)不能對(duì)因素做推斷，這屬于固定效應(yīng)模型方差分析范疇。固定效應(yīng)模型：因素的所有水平都是由實(shí)驗(yàn)者審慎安排而不是隨機(jī)選擇的。7.1.1：固定效應(yīng)模型11/9/202416版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組若只對(duì)因素的部分水平（處理）做試驗(yàn)，相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，此種情形下，方差分析目的在于：對(duì)因素的總體變量所服從的分布進(jìn)行差異性檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)，即樣本推斷總體，這屬于隨機(jī)效應(yīng)模型方差分析范疇。隨機(jī)效應(yīng)模型：因素的水平是從多個(gè)可能的水平中隨機(jī)選擇的。固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)模型在假設(shè)的設(shè)置和參數(shù)估計(jì)上有所差異，本章研究的都是固定效應(yīng)模型。7.1.1：隨機(jī)效應(yīng)模型11/9/202417版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組方差分析與回歸分析的聯(lián)系*回歸分析主要用來研究定量自變量和定量因變量之間的關(guān)系（第八章學(xué)習(xí)）?；貧w分析中方差分析常常用來檢驗(yàn)回歸方程的整體顯著性?；貧w模型中也可以包含定性自變量。這時(shí)回歸模型與方差分析模型是等價(jià)的。11/9/202418版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.1.2：方差分析中的基本假設(shè)（1）在各個(gè)總體中因變量都服從正態(tài)分布；（2）在各個(gè)總體中因變量的方差都相等；（3）各個(gè)觀測(cè)值之間是相互獨(dú)立的。11/9/202419版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）正態(tài)性的檢驗(yàn)各組數(shù)據(jù)的直方圖Q-Q圖，K-S檢驗(yàn)*11/9/202420版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（2）等方差性的檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)方法：計(jì)算各組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，如果最大值與最小值的比例小于2:1，則可認(rèn)為是同方差的。

本例中，最大值和最小值的比例等于1.83<2。Levene檢驗(yàn)*獎(jiǎng)金水平均值N標(biāo)準(zhǔn)差188.4496.82285.33911.02382.5698.38477.1196.0111/9/202421版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組方差分析對(duì)前兩個(gè)假設(shè)條件是穩(wěn)健的，允許一定程度的偏離。獨(dú)立性的假設(shè)條件一般可以通過對(duì)數(shù)據(jù)搜集過程的控制來保證。如果確實(shí)嚴(yán)重偏離了前兩個(gè)假設(shè)條件，則需要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，也可以使用非參數(shù)的方法來比較各組的均值。(3)其它說明11/9/202422版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.1單因素方差分析模型7.2.2方差分析的基本原理7.2.3單因素方差分析的步驟7.2.4方差分析中的多重比較7.2.單因素方差分析11/9/202423版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.1單因素方差分析模型11/9/202424版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)11/9/202425版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組同一試驗(yàn)條件下的數(shù)據(jù)變異-----隨機(jī)因素影響不同試驗(yàn)條件下，試驗(yàn)數(shù)據(jù)變異-----隨機(jī)因素和可能存在的系統(tǒng)性因素即試驗(yàn)因素共同影響試驗(yàn)數(shù)據(jù)變異原因（誤差來源）分析11/9/202426版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差類型隨機(jī)誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異比如，同一獎(jiǎng)金水平下不同不同人的失業(yè)時(shí)間是不同的這種差異可以看成是隨機(jī)因素影響的結(jié)果，稱為隨機(jī)誤差

系統(tǒng)誤差因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異比如，不同獎(jiǎng)金水平之間的失業(yè)時(shí)間之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于獎(jiǎng)金本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差11/9/202427版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組方差分析的實(shí)質(zhì)與分析目的方差分析的實(shí)質(zhì)：觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析。方差分析的目的：系統(tǒng)中是否存在顯著性影響因素11/9/202428版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.1單因素方差分析模型（1）單因素方差分析:模型中有一個(gè)自變量（因素）和一個(gè)因變量。在失業(yè)保險(xiǎn)實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)張三在高獎(jiǎng)金組，則

張三的失業(yè)時(shí)間

=高獎(jiǎng)金組的平均失業(yè)時(shí)間+隨機(jī)因素帶來的影響

=總平均失業(yè)時(shí)間

+高獎(jiǎng)金組平均值與總平均值之差

+隨機(jī)因素帶來的影響

11/9/202429版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.1單因素方差分析模型（2）11/9/202430版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.2方差分析的基本原理11/9/202431版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組總變差（離差平方和）的分解數(shù)據(jù)的誤差用離差平方和(sumofsquares)描述。組內(nèi)離差平方和(withingroups)因素的同一水平(同一個(gè)總體)下樣本數(shù)據(jù)的變異比如，同一獎(jiǎng)金水平下失業(yè)時(shí)間的差異組內(nèi)離差平方和只包含隨機(jī)誤差組間離差平方和(betweengroups)因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的變異比如，四個(gè)獎(jiǎng)金水平之間失業(yè)時(shí)間的差異組間離差平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差11/9/202432版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組總變差（離差平方和）分解的圖示組間變異總變異組內(nèi)變異11/9/202433版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組SST＝SSA＋SSE

總變差因素A及隨機(jī)因素導(dǎo)致的變差隨機(jī)因素導(dǎo)致的變差組間離差平方和組內(nèi)離差平方和11/9/202434版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組11/9/202435版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組離差平方和的自由度與均方三個(gè)平方和的自由度分別是SST的自由度為nk-1，nk為全部觀察值的個(gè)數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平的個(gè)數(shù)SSE的自由度為nk-k各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值多少對(duì)離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差。均方的計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度。11/9/202436版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組組間離差平方和組內(nèi)離差平方和組間方差組內(nèi)方差受因素A和隨機(jī)

因素的影響只受隨機(jī)

因素的影響11/9/202437版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組F比值如果因素A的不同水平對(duì)結(jié)果沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，兩個(gè)方差的比值會(huì)接近1如果不同水平對(duì)結(jié)果有影響，組間方差就會(huì)大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會(huì)大于1當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平之間存在顯著差異，或者說因素A對(duì)結(jié)果有顯著影響。組間方差組內(nèi)方差F=11/9/202438版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組F比的分布F分布曲線11/9/202439版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組F分布與拒絕域如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE

1a

F分布顯著水平下的臨界點(diǎn)F

(k-1,nk-k)0拒絕H0不能拒絕H0F11/9/202440版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.2：方差分析的基本思想將k個(gè)水平（處理）的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，利用方差的可分解性，把觀測(cè)值總變異的離差平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的離差平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源總體方差估計(jì)值；通過計(jì)算這些總體方差估計(jì)值的適當(dāng)比值，即F比值，并以此比值的大小來判斷各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。目的是檢查所討論因素是否作為系統(tǒng)性因素來影響試驗(yàn)結(jié)果。11/9/202441版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.3：方差分析的步驟1.檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合方差分析的假設(shè)條件。2.提出零假設(shè)和備擇假設(shè)：零假設(shè)：各總體的均值之間沒有顯著差異，即

備擇假設(shè)：至少有兩個(gè)均值不相等，即11/9/202442版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.3：方差分析的步驟3.根據(jù)樣本計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值。方差分析表變差來源離差平方和SS自由度df均方MSF值組間SSAk-1MSAMSA/MSE組內(nèi)SSEnk-kMSE總變異SSTnk-111/9/202443版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.3：方差分析的步驟4.確定決策規(guī)則并根據(jù)實(shí)際值與臨界值的

比較，或者p-值與α的比較得出檢驗(yàn)結(jié)論。

在零假設(shè)成立時(shí)組間方差與組內(nèi)方差的比值服從服從自由度為(k-1,nk-k)的F分布臨界值拒絕域p-值α實(shí)際值

F檢驗(yàn)的臨界值和拒絕域

11/9/202444版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組失業(yè)保險(xiǎn)的例子（1）在失業(yè)保險(xiǎn)實(shí)驗(yàn)中，設(shè)顯著性水平α=0.05，試分析獎(jiǎng)金水平對(duì)失業(yè)時(shí)間的影響是否顯著。不同獎(jiǎng)金水平失業(yè)者的再就業(yè)時(shí)間（天）

無獎(jiǎng)金低獎(jiǎng)金中獎(jiǎng)金高獎(jiǎng)金9286967810010892758593907688887787898979739075718394788282807275687879817211/9/202445版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組失業(yè)保險(xiǎn)的例子（2）1、根據(jù)前面的分析，數(shù)據(jù)符合方差分析的假設(shè)條件。2、提出零假設(shè)和備擇假設(shè)：H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4，H1：μ1、μ2、μ3、μ4不全相等。11/9/202446版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組失業(yè)保險(xiǎn)的例子（3）3、計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值。

手工計(jì)算可以按照方差分析表的內(nèi)容逐步計(jì)算。由于計(jì)算量大，實(shí)際應(yīng)用中一般要借助于統(tǒng)計(jì)軟件。下面是Excel計(jì)算的方差分析表。變差來源SS自由度MSFp-值F臨界值組間624.973208.323.040.04332.90組內(nèi)2195.333268.60總變差2820.3135

11/9/202447版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組失業(yè)保險(xiǎn)的例子（4）4、樣本的F值為3.04。由于

因此我們應(yīng)拒絕零假設(shè)，從而得出獎(jiǎng)金水平對(duì)再就業(yè)時(shí)間有顯著影響的結(jié)論。類似的，由于，可以得出同樣的結(jié)論。2.90.04330.053.0411/9/202448版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組例2熱帶雨林（1）各水平下的樣本容量不同時(shí)單因素方差分析的方法也完全適用，只是公式的形式稍有不同，在使用軟件進(jìn)行分析時(shí)幾乎看不出這種差別。

一份研究伐木業(yè)對(duì)熱帶雨林影響的統(tǒng)計(jì)研究報(bào)告指出，“環(huán)保主義者對(duì)于林木采伐、開墾和焚燒導(dǎo)致的熱帶雨林的破壞幾近絕望”。這項(xiàng)研究比較了類似地塊上樹木的數(shù)量，這些地塊有的從未采伐過，有的1年前采伐過，有的8年前采伐過。根據(jù)數(shù)據(jù)，采伐對(duì)樹木數(shù)量有顯著影響嗎？顯著性水平α=0.05。

11/9/202449版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組例2熱帶雨林（2）1、正態(tài)性檢驗(yàn)：直方圖從未采伐過1年前采伐過8年前采伐過27121822124291522219151920183318191617222014122414122722817191911/9/202450版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組例2熱帶雨林（3）同方差性檢驗(yàn)：最大值與最小值之比等于33.19/4.81=1.34，明顯小于4，因此可以認(rèn)為是等方差的。

組計(jì)數(shù)求和平均方差從未采伐過1228523.7525.661年前采伐過1216914.0824.818年前采伐過914215.7833.1911/9/202451版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組例2熱帶雨林（4）2、提出零假設(shè)和備擇假設(shè)零假設(shè)：雨林采伐對(duì)林木數(shù)量沒有顯著影響（各組均值相等）；備擇假設(shè)：雨林采伐對(duì)是有顯著影響（各組均值不全相等）。11/9/202452版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組例2熱帶雨林（5）3、方差分析表4、結(jié)論。F值=11.43>3.32，p-值=0.0002<0.05，因此檢驗(yàn)的結(jié)論是采伐對(duì)林木數(shù)量有顯著影響。變差源SSdfMSFP-valueFcrit組間625.162312.5811.430.00023.32組內(nèi)820.723027.36總計(jì)1445.8832

11/9/202453版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.2.4方差分析中的多重比較在方差分析中，不拒絕零假設(shè)H0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足，分析終止；當(dāng)零假設(shè)H0被拒絕時(shí)，我們可以確定至少有兩個(gè)總體的均值有顯著差異。但要進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)男┚抵g有顯著差異還需要采用多重比較的方法進(jìn)行分析。這在方差分析中稱為事后檢驗(yàn)(PostHoctest)。多重比較是同時(shí)對(duì)各個(gè)總體均值進(jìn)行的兩兩比較。方法很多，如Fisher最小顯著差異（LeastSignificantDifference，LSD）方法、Tukey的誠(chéng)實(shí)顯著差異（HSD）方法或Bonferroni的方法等。這里我們只介紹最小顯著差異方法。11/9/202454版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組用LSD法進(jìn)行多重比較的步驟1、提出假設(shè)H0:mi=mjH1:mi

mj2、計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量3a、如果或則拒絕H0。3b、計(jì)算的置信區(qū)間：

如果0包含在該置信區(qū)間內(nèi)則不能拒絕H0，否則拒絕H0。11/9/202455版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組實(shí)例：失業(yè)保險(xiǎn)實(shí)驗(yàn)根據(jù)第一個(gè)總體和第四個(gè)總體計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出t檢驗(yàn)的臨界值

由于，因此我們有證據(jù)表明

無獎(jiǎng)金組與高獎(jiǎng)金組的再就業(yè)時(shí)間有顯著差異。其他獎(jiǎng)金水平效應(yīng)之間差異的顯著性也可以用類似的方法計(jì)算。

11/9/202456版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組實(shí)例：熱帶雨林采伐很多統(tǒng)計(jì)軟件都可以直接進(jìn)行多重比較。下表是SPSS對(duì)熱帶雨林例子的輸出結(jié)果。置信區(qū)間5.31~14.03，3.26~12.68不包括0，差異顯著。置信區(qū)間-6.04~3.02包括了0，差異不顯著。

(I)采伐類型(J)采伐類型均值差(I-J)標(biāo)準(zhǔn)誤p-值95%置信區(qū)間下限上限從未采伐過1年前采伐過9.672.140.00015.3114.038年前采伐過7.972.310.00173.2612.681年前采伐過從未采伐過-9.672.140.0001-14.03-5.318年前采伐過-1.692.310.4682-6.403.028年前采伐過從未采伐過-7.972.310.0017-12.68-3.261年前采伐過1.692.310.4682-3.026.4011/9/202457版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3雙因素方差分析7.3.1無交互作用的雙因素方差分析7.3.2有交互作用的雙因素方差分析7.3.3雙因素方差分析的步驟7.3.4貢獻(xiàn)率分析11/9/202458版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組交互作用交互作用即一個(gè)因素對(duì)因變量的影響程度受另一個(gè)因素的影響的情況。假設(shè)學(xué)生分兩類：在校和在職。把兩類學(xué)生隨機(jī)分成兩組，分別采用課堂講授和交互式教學(xué)方法，考試結(jié)果如下表?？梢娬n堂講授的方式更適合于在校生，交互式教學(xué)方式更適合于在職生。在這種情況下我們說兩個(gè)因素之間存在著交互作用。課堂講授交互式教學(xué)在校學(xué)生9075在職學(xué)生759011/9/202459版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組交互作用示意圖11/9/202460版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組交互作用級(jí)因子間的交互作用會(huì)隨著因子個(gè)數(shù)的增加而增加。如四個(gè)因子A，B，C，D間的交互作用有以下幾類：(1)二級(jí)交互作用有6個(gè)：AB，AC，AD，BC，BD，CD；(2)三級(jí)交互作用有4個(gè)：ABC，ABD，ACD，BCD；(3)四級(jí)交互作用有1個(gè)：ABCD。交互作用共有11個(gè)，比因子個(gè)數(shù)還多。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，多數(shù)交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不計(jì)的，一般我們主要考慮部分二級(jí)交互作用，但考察哪些二級(jí)交互作用由具體情況來決定。11/9/202461版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組雙因素方差分析的類型和基本假設(shè)雙因素方差分析中因素A和B對(duì)結(jié)果的影響相互獨(dú)立時(shí)稱為無交互作用的雙因素方差分析。如果除了A和B對(duì)結(jié)果的單獨(dú)影響外還存在交互作用，這時(shí)的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析。雙因素方差分析中的基本假設(shè)是各個(gè)子總體都服從正態(tài)分布，有相同的方差，并且各個(gè)觀測(cè)值之間相互獨(dú)立（與單因素時(shí)相同）。11/9/202462版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.1無交互作用雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)11/9/202463版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.1無交互作用的雙因素方差分析模型在無交互作用的雙因素方差分析模型中因變量的取值受四個(gè)因素的影響：總體的平均值；因素A導(dǎo)致的差異；因素B導(dǎo)致的差異；以及誤差項(xiàng)。寫成模型的形式就是：11/9/202464版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組無交互作用的雙因素方差分析模型11/9/202465版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組離差平方和的分解SSASSBSSESST11/9/202466版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組無交互作用的雙因素方差分析表變差來源離差平方和SS自由度df均方MSF值A(chǔ)因素SSAr-1MSA=SSA/(r-1)FA=MSA/MSEB因素SSBs-1MSB=SSB/(s-1)FB=MSB/MSE誤差SSE(r-1)(s-1)MSE=SSE/(r-1)(s-1)合計(jì)SSTrs-111/9/202467版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.2有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)11/9/202468版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.2有交互作用的雙因素方差分析模型在有交互作用的雙因素方差分析模型中因變量的取值受五個(gè)因素的影響：總體的平均值；因素A導(dǎo)致的差異；因素B導(dǎo)致的差異；由因素A和因素B的交互作用導(dǎo)致的差異；以及誤差項(xiàng)。寫成模型的形式就是：11/9/202469版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.2有交互作用的雙因素方差分析模型11/9/202470版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組離差平方和的分解SSTSSASSBSSESSAB11/9/202471版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組有交互作用的雙因素方差分析表變異來源離差平方和SS自由度df均方MSF值A(chǔ)因素SSAr-1MSA=SSA/(r-1)FA=MSA/MSEB因素SSBs-1MSB=SSB/(s-1)FB=MSB/MSEAB交互作用SSAB(r-1)(s-1)MSAB=SSAB/(r-1)(s-1)FAB=MSAB/MSE誤差SSErs(l-1)MSE=SSE/rs(l-1)合計(jì)SSTrsl-111/9/202472版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.3

雙因素方差分析的步驟（1）雙因素方差分析的步驟與單因素分析類似，主要包括以下步驟：1.分析所研究數(shù)據(jù)能否滿足方差分析要求的假設(shè)條件，需要的話進(jìn)行必要的檢驗(yàn)。如果假設(shè)條件不滿足需要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換。11/9/202473版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.3

雙因素方差分析的步驟（2）2、提出零假設(shè)和備擇假設(shè)。雙因素方差分析可以

同時(shí)檢驗(yàn)兩組或三組零假設(shè)和備擇假設(shè)。要說明因素A有無顯著影響，就是檢驗(yàn)如下假設(shè)：要說明因素B有無顯著影響，就是檢驗(yàn)如下假設(shè)：

在有交互作用的雙因素方差中，要說明兩個(gè)因素的交互作用是否顯著還要檢驗(yàn)第三組零假設(shè)和備擇假設(shè)：11/9/202474版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7.3.3

雙因素方差分析的步驟（3）3、計(jì)算F檢驗(yàn)值。4、根據(jù)實(shí)際值與臨界值的比較，或者p-值與α的比較得出檢驗(yàn)結(jié)論。與單因素方差分析的情況類似，對(duì)FA、FB和FAB，當(dāng)F的計(jì)算值大于臨界值Fα（或者p-值<α）時(shí)拒絕零假設(shè)H0。11/9/202475版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組雙因素方差分析：失業(yè)保險(xiǎn)的例子（1）年齡組123

928894獎(jiǎng)11008980

859078868878金21088972937579967782水3927975

907181

788782平4757368

768372同時(shí)考慮獎(jiǎng)金和年齡因素，二者對(duì)失業(yè)時(shí)間有顯著影響嗎？11/9/202476版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組雙因素方差分析：失業(yè)保險(xiǎn)的例子（2）1、同時(shí)考慮獎(jiǎng)金水平和年齡因素時(shí)，每種實(shí)驗(yàn)條件

下的數(shù)