2024年人教版七年級數(shù)學(xué)下冊同步講義：有理數(shù)

專題1.2有理數(shù)

考點(diǎn)1：有理數(shù)分類

考點(diǎn)2:相反數(shù)定義及其應(yīng)用繳

考點(diǎn)3:數(shù)軸的定義及應(yīng)用

考點(diǎn)4:絕對值的幾何意義及應(yīng)用

考點(diǎn)5：有理數(shù)大小的比較1

號目標(biāo)導(dǎo)航

1.有理數(shù)的概念

⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）

⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

⑶正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。

理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①兀是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。②有限

小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。3,整數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)

注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數(shù)，-1,-3,-5…也是奇數(shù)。

2.有理數(shù)的分類

⑴按有理數(shù)的意義分類

‘正整數(shù)

像數(shù)J0

?整數(shù)

有理數(shù)＜

正分?jǐn)?shù)

超數(shù)V

出分?jǐn)?shù)

⑵按正、負(fù)來分

「正整數(shù)

j正有理數(shù)＜

、正分?jǐn)?shù)2

有理數(shù)〈0（0不能忽視）

「負(fù)整數(shù)

、負(fù)有理數(shù)4

〔負(fù)分?jǐn)?shù)

總結(jié)：①正整數(shù)、。統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)）；②負(fù)整數(shù)、。統(tǒng)稱為非正整數(shù)；③正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為

非負(fù)有理數(shù)；④負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)；

3.數(shù)軸

（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。

注意：①數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；②原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；

③同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；④數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。

（2）數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

①所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的

點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。

②所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸

上的點(diǎn)不是—一對應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點(diǎn)兀不是有理數(shù)）

（3）利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小

①在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

②正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)；

③兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。

（4）數(shù)軸上特殊的最大（小）數(shù)

①最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù);

②最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù)；

③最大的負(fù)整數(shù)是-1,無最小的負(fù)整數(shù)

(5)a可以表示什么數(shù)

①a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0；

②a<0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0

③a=0表示a是0；反之，a是0,,則a=0

4.相反數(shù)

(1)相反數(shù)：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。

注意：①相反數(shù)是成對出現(xiàn)的；②相反數(shù)只有符號不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù)；

③0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。

(2)相反數(shù)的性質(zhì)與判定

①任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)；

②0的相反數(shù)是0；

③互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a,b互為相反數(shù)，則a+b=0

(3)相反數(shù)的幾何意義

在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)

(0除外)在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。

說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。

(4)相反數(shù)的求法

①求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號即可求得(如：5的相反數(shù)是-5)；

②求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)時(shí)，要用括號括起來再添然后化簡(如；5a+b的相反數(shù)是-(5a+b)?；?/p>

簡得-5a-b)；

③求前面帶“「的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號括起來再添然后化簡（如：-5的相反數(shù)是-（-5）,化簡得5）

（5）相反數(shù)的表示方法

①一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a,其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。

當(dāng)a>0時(shí)，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）

當(dāng)a<0時(shí)，-a>0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）

當(dāng)a=0時(shí),-a=0,（0的相反數(shù)是0）

5.絕對值

①絕對值的幾何定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對值，記作間。

②絕對值的代數(shù)定義

一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

可用字母表示為：

如果a>0,那么|a|=a；如果a<0,那么|a|=-a；③如果a=0,那么|a|=0。

可歸納為①：a>0,<=>|a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）

②k0,<=>|a|=-a（非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）

6.有理數(shù)大小的比較

⑴利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的?。?/p>

⑵利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。划愄杻蓴?shù)比較大小，正數(shù)大

典例：（2022?全國?七年級）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：3,-1,-2,0.5,-0.75,0,30%,

n.

負(fù)數(shù)集合：｛__________________

整數(shù)集合：｛...｝;

正有理數(shù)集合：｛__________________

鞏固練習(xí)

1.（2022?全國?七年級）在-1,0,1,-5；這四個(gè)數(shù)中，屬于負(fù)整數(shù)的是（）

A.—1B.0C.1D.—5—

3

2.（2022?全國?七年級課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)B.零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

C.0.5既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，因而它不是有理數(shù)D.在有理數(shù)中，零的意義表示沒有

3.（2022?廣西河池?七年級期末）下列各數(shù)中，是負(fù)整數(shù)的是（）

,1

A.+1B.-2C.——D.0

2

4.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）在表中符合條件的空格里畫上"V".

有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)自然數(shù)

-8是

—225是

3

《是

。是

3221

5.（2022?全國?七年級課時(shí)練習(xí)）在數(shù)+8,+丁0.275,2,0,-1.04,亍,-8,-100,中，負(fù)分?jǐn)?shù)有

,非負(fù)整數(shù)有.

考點(diǎn)2：相反數(shù)定義及其應(yīng)用

典例：（2022?吉林吉林?一模）如圖，數(shù)軸上的整數(shù)。被"冰墩墩"遮擋，貝心的相反數(shù)是（）

-2-101,工3

A.-1B.-2C.1D.2

鞏固練習(xí)

1.（2022?浙江寧波?中考真題）一2022的相反數(shù)是（）

11

A.-2022B.----C.2022

20222022

2.（2022?江蘇泰州?二模）若a的相反數(shù)是-5,那么。=（)

A.5B.-5C.0D.10

3.（2022?遼寧營口?中考真題）-2的相反數(shù)是

4.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）判斷下列說法是否正確：

（1）-3是相反數(shù)；

（2）+3是相反數(shù);

⑶3是-3的相反數(shù)；

⑷一3與+3互為相反數(shù).

5.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）求出下列各數(shù)，并在數(shù)軸上把它們表示出來:

（1）3的相反數(shù)；

（2）-2的相反數(shù)；

⑶-1g的相反數(shù)的相反數(shù)；

⑷0的相反數(shù).

考點(diǎn)3：數(shù)軸的定義及應(yīng)用

典例：（2022?全國?七年級課時(shí)練習(xí)）如圖1,點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別對應(yīng)的數(shù)

為-5,b,4,某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點(diǎn)4發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對應(yīng)刻度1.8cm,

點(diǎn)C對齊刻度5.4cm.則數(shù)軸上點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)6為（）

圖1圖2

A.3B.-1C.-2D.-3

鞏固練習(xí)

1.（2021?廣西?靖西市教學(xué)研究室七年級期中）下面表示數(shù)軸的圖中，正確的是（）

A.B---101~*

-101

C.D

1--101

2.（2022?河北承德?二模）如圖，數(shù)軸的單位長度為1,如果點(diǎn)B表示的數(shù)是4,那么點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

A

B

A.1B.0C.-2D.-4

3.（2022?河北邯鄲?三模）如圖，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)分別表示數(shù)〃和一2,則〃可以是（

a

A

A.l3C.1D.2

4.（2022?河北?模擬預(yù)測）在數(shù)軸上，點(diǎn)M,N在原點(diǎn)。的兩側(cè)，分別表示數(shù)a,3,將點(diǎn)/向左平移2個(gè)

單位長度，得到點(diǎn)P,若OP=2OM則。的值為（）

A.-1B.-2C.13D.-4

5.（2020?湖南?常德市第七中學(xué)七年級期中）數(shù)軸上一點(diǎn)A表示的數(shù)為一7,當(dāng)點(diǎn)A在數(shù)軸上滑動2個(gè)單位

后所表示的數(shù)是.

考點(diǎn)4：絕對值的幾何意義及應(yīng)用

典例：（2022?福建,廈門市湖里中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，某數(shù)軸的單位長度為1.5,如果點(diǎn)A,8表示的數(shù)的絕

對值相等，那么點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

，4I-III-I力I-I----->

AB

A.-2B.-3C.-4.5D.0

鞏固練習(xí)

1.（2022?遼寧?中考真題）-2022的絕對值是（)

11

A.-2022B.2022C.-------D.-------

2022-----------------------2022

2.（2022?山西陽泉?七年級期末）我們這樣研究一個(gè)數(shù)的絕對值的性質(zhì)：當(dāng)a>0時(shí)，如|a|=|2|=2,止匕時(shí)a

的絕對值是它本身；當(dāng)。=0時(shí)，如|。|=0,此時(shí)a的絕對值是0；當(dāng)a<0時(shí)，如|a|=|-2|=2,此時(shí)a的絕

對值是它的相反數(shù).這種分析問題的方法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.分類討論思想B.公理化思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.轉(zhuǎn)化思想

3.（2022?山東青島?一模）若X的絕對值是3,則X的值是（）

1

A.3B.-3C.+3D.—

3

4.（2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校期中）絕對值等于11的數(shù)是

5.（2022?江蘇泰州?中考真題）若x=-3,則國的值為.

考點(diǎn)5：有理數(shù)大小的比較

典例：（2022?浙江溫州?九年級開學(xué)考試）比-1大的數(shù)是（）

A.-3B.0C.--D.-1.5

9

鞏固練習(xí)

1.（2022?全國?七年級課時(shí)練習(xí)）幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如表:其中液化溫度最低的氣體是（）

氣體氧氣氫氣氮?dú)饴葰?/p>

液化溫度回-183-253-195.8-268

A.氨氣B.氮?dú)釩.氫氣D.氧氣

2

2.（2022?浙江?瑞安市安陽鎮(zhèn)濱江中學(xué)三模）數(shù)1,0,--2中最小的是（）

2，.

A.1B.0C.D.—2

3

3.（2022?廣西?靖西市教學(xué)研究室七年級期中）下列各組數(shù)中，比較大小正確的是（）

2144

A.|-TI^|-7TIB.-|-3-|=-（-3一）

131121111111

54

C.-|-8|>7D.--

65

4.（2022?黑龍江?哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校期中）比較大小：一4.3-3.4

5.（2021,河南南陽?七年級期中）如圖，給出了未來一周中每天的最高氣溫和最低氣溫，其中最低氣溫是多

少？最高氣溫呢？請先將這七天中每天的最低氣溫在數(shù)軸上表示出來，再按從低到高的順序排列.

M能力提升

一、單選題（每題3分）

1.（2021?黑龍江?遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校一模）下列各數(shù)既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的是（）

A.-1B.0C.1D.n

2.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校期中）-5的相反數(shù)是（）.

11

A.—5B.5C.-D.—

55

3.（2022?河南?新鄉(xiāng)市第一中學(xué)九年級期中）若x的相反數(shù)是5,則x的值是（）

1廠

A.-5B.——C.5D.±5

5

4.（2022?廣西桂林?中考真題）-3的絕對值是（）

1

A.3B.-C.0D.-3

3

5.（2022?北京?中考真題）實(shí)數(shù)a〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

ab

??■?ii.ii.

-3-2-10123

A.aV—2B.b<lC.a>bD.—a>b

6.（2022?河北唐山?二模）在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于8的點(diǎn)對應(yīng)的x滿足（）

A.-8<尤<8B.x<-8ngx>8C.x<8D.x>8

二、填空題（每題3分）

7.（2022?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）請寫出一個(gè)小于11的正整數(shù).

8.（2022?廣西欽州?七年級期末）相反數(shù)等于它本身的數(shù)是.

o3

9.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校期中）用">號填空：

10.（2021?北京?臨川學(xué)校七年級期中）在數(shù)4.3,-|,I0I,-I-3I,-（+5）中，

是正數(shù)

11.（2022?江西景德鎮(zhèn)?七年級期末）已知數(shù)軸上有一點(diǎn)A表示的數(shù)是-5,將點(diǎn)A向右移動4個(gè)