2024-2025學年江蘇省南京某中學高三（上）暑期測試數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年江蘇省南京一中高三（上）暑期測試數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若集合C=4UB且4CB=0,則稱4B構(gòu)成C的一個二次劃分，任意給定一個正整數(shù)nN2,可以給出

整數(shù)集Z的一個n次劃分[Ok，[1k，…，[n-1bl.其中同式0<i<n-1）表示除以n余數(shù)為i的所有整數(shù)構(gòu)

成的集合.這樣我們得到集合Z/nZ=-｛[0]n,[l]n，…，[n-l]n｝,稱作模n的剩余類集.模九的剩余類集可定義

加減乘三種運算，如[2]n+[n-l]n=[2+（n-l）]n=[l]n,[0]n-[n-2]n=[0-（n-2）]n=[2]n,

[k]nx[/]?=[kxl]n=[7]n（其中/為kxI除以n的余數(shù)），根據(jù)實數(shù)中除法運算可以根據(jù)倒數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為

乘法，因此要定義除法運算只需通過因我定義倒數(shù)就可以了，但不是所有Z/nZ中都可以定義除法運算.如果

該集合還能定義除法運算，則稱它能構(gòu)成素域、那么下面說法錯誤的是（）

A.Z/ziZ能構(gòu)成素域當且僅當n是素數(shù)B.[3]54-[4]5=[2]5

C.Z/2Z是最小的素域（元素個數(shù)最少）D.[2]7+[6]7=[3]7

2.“a=）+/OT（kCZ）”是“迎包也追=門+1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條伴D.既不充分也不必要條件

3.已知復(fù)數(shù)Z滿足｝=g+苧3則Z,z2,Z3,…，z2020中不同的數(shù)有（）

A.4個B.6個C.2019個D.以上答案都不正確

4.若單位向量匕3滿足位,3〉=120°,向量下滿足0-砂l(fā)（c-b：）,則|五亮+九4皿=（）

A/3n1+/3c1+/3

A.2B-4C-2D.V3

5.17到19世紀間，數(shù)學家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根,并得到連分式的一個重要功能：用其逼近

實數(shù)求近似值.例如，把方程/—X—1=。改寫成久=1+；①，將其再代入等式右邊得到x=1+工，繼

1+5

續(xù)利用①式將工再代入等式右邊得到久=1反復(fù)進行，取久=1時，由此得到數(shù)列1,1+1,1+

1+率

X

乎,數(shù)列｛｝的前項中，滿足|廝-

]1，1+]+1，記作｛。九｝，則當71足夠大時，。久逼近頭數(shù)an2024

『1+1

與馬<0.005的廝的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：與^?1.618）（）

A.1007B.1009C.2014D.2018

6.如圖，已知正三棱臺力BC-的上、下底面邊長分別為4和6,側(cè)棱長為2,點P在側(cè)面BCC/i內(nèi)運

動（包含邊界），且4P與平面BCG2所成角的正切值為，則所有滿足條件的動點P形成的軌跡長度為（）

A47r

A-T

B?丁

c/7r

c--

D.y

7.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師

安排了為期一周的對抗訓練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝局數(shù)不

少于3局時，則認為這輪訓練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為pi，p2,且滿足pi+

P2=*每局之間相互獨立.記甲、乙在九輪訓練中訓練過關(guān)的輪數(shù)為X,若E（X）=16,則從期望的角度來

看，甲、乙兩人訓練的輪數(shù)至少為（）

A.27B.24C.32D.28

8.已知函數(shù)/（%）=s譏X+仇％,將/（%）的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列｛/｝,對于VziC

密,則下列說法中正確的是（）

A.H7T<<（71+1）7T

B.Xn+1-Xn<71

C.數(shù)列｛1%-若劃|｝是遞增數(shù)列

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.如圖所示，在五面體48CDE尸中，四邊形A8CD是矩形，

DCE均是等邊三角形，且4B=2，^,EF=x（x>0）,貝心）

A.￡77/平面A8CD

B.二面角力-EF-B隨著光的減小而減小

C.當BC=2時，五面體力BCDEF的體積U（x）最大值為年

D.當BC=|時，存在x使得半徑為r的球能內(nèi)含于五面體力BCDEF

10.已知橢圓的：￡+'=1（的>b>0）,雙曲線C2：U=>0也>0），橢圓G與雙曲線。2有

共同的焦點，離心率分別為ei，e2,橢圓G與雙曲線在第一象限的交點為P且N&PF2=（貝女）

A.若e［=苧，則02=V-3

B.登+式的最小值為1+，吾

c.△尸小尸2的內(nèi)心為/，/到y(tǒng)軸的距離為。2

D.A6PF2的內(nèi)心為/,過右焦點尸2作直線P/的垂線，垂足為。，點。的軌跡為圓

11.已知函數(shù)/(%)定義域為R，滿足/(X+2)=g/Q),當一l3x<l時，/(x)=|x|.若函數(shù)y=/(X)的圖象

與函數(shù)g(x)=&［導］(―2023WKW2023)的圖象的交點為(右,月)，(x2,y2),....(xn,yn),(其中［幻表示

不超過x的最大整數(shù))，貝1()

A.g。)是偶函數(shù)B.n=2024

C.￡%v=0D.￡L%=21oi2-2TOII

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.%2+y2_aXy+%+y=1是雙曲線，求a的范圍____.

13.若數(shù)列｛a九｝滿足對任意九EN*,數(shù)列｛a九｝的前九2項至少有幾項大于幾，且a九20,則稱數(shù)列｛%；｝具有性質(zhì)

M2.若存在具有性質(zhì)M2的數(shù)列｛廝｝,使得其前幾項和九工福恒成立，則整數(shù)2的最小值是.

14.黎曼猜想由數(shù)學家波恩哈德-黎曼于1859年提出，是至今仍末解決的世界難匙.黎曼猜想研究的對象

是類似于出)-述-s=*+?/+…的無窮級數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和.+??...+

白入手.請你回答以下問題：

n5

1111

(1)［正+/+9+—I"而^］=;(其中［x］表水不超過久的最大整數(shù)，如［—3.5］=4,［2］=2.)

(2)已知正項數(shù)列｛(1九｝的前幾項和為S幾，且滿足S九=(<1九+2)，則￡+—F-7——］=______.

乙的131、232023

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(%)=aex~r—x—1.

(1)討論/(%)的單調(diào)性.

(2)證明：當。之1時，/(%)+x-Inx>

1

(3)證明：e~i>ln(n+1)+n.

16.(本小題15分)

有幾個元素，將其中相同的元素歸成一類，共有k類，這k類元素中每類分別中q,r2,加個，rr+r2+

…+加<"，將這幾個元素全部取出的排列叫做幾個不盡相異元素的全排列.

（1）求上述幾個不盡相異的元素的全排列數(shù)；

（2）由結(jié)論（1）,回答“1個球隊與10個球隊各比賽1次，共有10場比賽，問五勝三負二平的可能情形有多少

種？”

17.（本小題15分）

如圖1,在梯形力BCD中，AB//CD,E是線段4B上的一點，BE=CD=CE=<2,BC=2,將△力DE沿

DE翻折至UAPDE的位置.

（1）如圖2,若二面角P—ED—B為直二面角，M,N分別是BC,PE的中點，若直線與平面P8C所成角

為氏sin9>苧,求平面P8C與平面PEC所成銳二面角的余弦值的取值范圍；

（2）我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，點K為線段CE的中點，G,“分

別在線段PK,CD上（不包含端點），且GH為PK,CD的公垂線，如圖3所示，記四面體CKGH的內(nèi)切球半徑

為r,證明：，>2忌+告）.

18.（本小題17分）

己知動點P與定點4（犯0）的距離和P到定直線尤=：的距離的比為常數(shù)藍，其中m>0,n>0,且m力n,

記點尸的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明軌跡的形狀；

（2）設(shè)點B（-皿0）,若曲線C,上兩動點M,N均在x軸上方，AM//BN,且4N與BM相交于點Q.

①當根=2，I,n=4時，求證：患+高的值及△力8Q的周長均為定值；

（ii）當小>九時，記A4BQ的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為r,試探究是否存在常數(shù)4,使得S=初恒成立？若

存在，求；1（用a,n表示）；若不存在，請說明理由.

19.（本小題17分）

對稱變換在對稱數(shù)學中具有重要的研究意義.

若一個平面圖形K在爪（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記爪為K

的一個對稱變換,例如，正三角形R在小式繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所

以機i是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應(yīng)關(guān)系，記機1=(；：Q；又如，R在

。(關(guān)于對稱軸q所在直線的反射)的作用下仍然與R重合(如圖1圖3所示)，所以I1也是R的一個對稱變換,

類似地，記人=(；2.記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S.

一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足：

I.Va,bEG,aObEG;

II.Va,b,ceG,(aOb)Oc=aO(bOc)；

III.Be6G,VaeG,aOe=eOa=a;

IV.VaEG,3a-1GG,aOa-1=a-1Oa=e.

對于一個群G,稱m中的e為群G的單位元，稱W中的a-1為a在群G中的逆元.

一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的代數(shù)運算。來說作成一個群.

(1)直接寫出集合S(用符號語言表示S中的元素)；

⑵同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如113=0Jn)=

eIj)=(!\=(ii。對于集合s中的元素，定義一種新運算*,規(guī)則如下：

Q"慮a?}={瓦也也}

={cl>c2>C3)={1,2,3}.

①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群；

②已知H是群G的一個子群，e,e'分別是G,H的單位元，a€H,a-1,優(yōu)分別是a在群G,群”中的逆元.

猜想e,e'之間的關(guān)系以及a-1，a'之間的關(guān)系，并給出證明；

③寫出群S的所有子群.

131

圖1圖2圖3

參考答案

l.D

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.4

8.D

9.ACD

10.AC

11.BC

12.(一oo,—2)U(2,+8)

13.2

14.188

15.解：xGR,

當aWO時，f'{x}<0,所以函數(shù)/'(久)在R上單調(diào)遞減，

當a>0時，令f'(x)=aex~1—1=0,解得x—1—Ina,

令［(x)>0,解得x>1—Ina,即f(x)在Q.—ma,+8)上單調(diào)遞增,

令<0,得x<1—Ina,即/'(x)在(―8,1—伍a)上單調(diào)遞減，

綜上所述，當aWO時，函數(shù)”久)在R上單調(diào)遞減，

當a>0時,/(x)在(-8,1—Zna)上單調(diào)遞減,在(1—Zna,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：令g(x)=/(x)+x—伍x=ae^T—伍久一1,xE(0,+oo),

g'CO=ae*T-%

令九(%)="(%),a>1,

則/(、)=aex~r+^>0,

所以g'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當a=1時，g'(x)=ex~r—

又“⑴=0,

所以。€(0,1)g'(x)<0,即g(%)單調(diào)遞減,

xE(1,+8),“(%)>0,即g(%)單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(l)=e°-,1一1=0,而此時空多=°，

所以當。=1時，/(%)+%一仇無之一^-成立,

當a>1時，可得工-1<0,ea-1<1,

a

一1111

所以g'(￡)=ae^T—a-a(ea-14—1)<0,

又“⑴=a—l>0,

所以存在％oE(1,1),使得g'(%o)=0,即ae~T=L,

CLXQ

%￡(O,%o),“(%)V0,g(%)單調(diào)遞減，

%￡(&,+8),“(%)>0,g。)單調(diào)遞增，

???g(x)>g(%o)=ae&T-lnx0-1,

由ae%oT=l可得，g(%)>xQ—2+Ina>2/x0?——2+Ina=Ina,

xo%o\xo

下面證明,a>2。a>1,

令9(X)=Inx—H%>1，

⑺=」5-(2j-2)(%T)2

>0,

x(x+l)x(x+l)2

所以0(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

???(p(x)>0⑴=0,

即"a>得證，即g(%)=/(x)+x-Inx>成立，

綜上所述，當a>1時，/(%)+x-Inx>成立.

(3)證明：由(2),當a=l時，有/(%)+%—仇無之0,gpex-1>Inx+1,

令％=巴口，nEN*,得前>In巴口+1=ln(n+1)—Inn+1,

nnvz

11

???e+e2+—I-en>ln2—Ini+Zn3—ln2+Zn4—/n3+—I-ln(n+1)—Inn+n,

11

???e+e2+—Fen>ln(n+1)+n,

1

即￡憶1即>ln(n+l)+n.

16.解：(1)假定幾個不盡相異元素的所有排列數(shù)有N種，在每種排列中，如果把相同的元素,

當成不相同的元素，則n個元素的所有排列數(shù)可增加為N--4苒……4:種；

另一方面，幾個不同的元素的全排列有41種，

N.4?.X；2.….=線即N=7~

萬萬rkn4?4|…礁rv\r2'.-rk\

即得n個不盡相異元素的全排列數(shù).

(2)將比賽結(jié)果的勝、負、平看作三種元素，按題意，10場比賽的結(jié)果是五勝三負二平，

即是一個不盡相異元素的全排列，由(1)知，共有越=2520種可能情況.

BE=CD=CE=y[2,BC=2,

設(shè)PE=t(t>0),

???F(0,0,0),C(l,l,0),D(0,2,0),P(0,t,t).N(0,■，苧t)，

ZZ44

MN=(-L苧t,苧t)廊=(-1，苧t+1,與t)，

BC=(0,2,0),麗=(0,苧t,苧t),正=(1,1,0).

設(shè)平面PBC的法向量聲=

%?BC=0得2yl=o

由f+亭+1加+%=o,取…得一吸。,1)，

,n7-BP=0

???sinO=同|麗一ji+￥j；+*—j4+6t2+8可

解得，<t<2.

設(shè)平面PEC的法向量底=(x2,y2,z2)f

由｛f五n?.~前pf=0o,得(|x2苧+皿丫2+=苧°tZ2=0

取小=1，得五=

設(shè)平面P8C與平面PEC所成銳二面角為a,

向詞_爭+1_1（爭+1）2_1（2/2V2+1/6

貝kosa=

I同I可―國好+i_可7+i_qTTf干）

???平面PBC與平面PEC所成銳二面角余弦值的取值范圍是(耳匚,?).

(2)證明：S是四面體的表面積，VK_CGH^^S-r,令KG與面CGH所成角為a,

VK_CGH=^GHCH-KGsina<^GH-CH-KG,

66

11

SCHC=.GH,SKHC=^KG-GH,

???GH是公垂線，CD上的點和PK上的點的最短距離是GH,

ScKG>SKGH，SCKH>SCHG（取不到等號），

S>CH-GH+KG-GHGH-（CH+KG）,^GH-CH-KG>^GH-（CH+KG）-r,

63

4>2（擊+擊）

18.解：(1)設(shè)點P(x,y),由題意可知J(~7：+y2=

I，m?

即(%—m)2+y2=(；%_九)2,

22

經(jīng)化簡，得C的方程為馬+uJ=l，

當m<71時，曲線C是焦點在％軸上的橢圓；

當相>71時，曲線C是焦點在％軸上的雙曲線.

(2)設(shè)點MQ1，%),N(%2，y2)，用'(％3，%)，其中%>0,、2>0且％3=-％2,丫3=一丫2,

⑴證明：由(1)可知C的方程為最+占=1,2(22,0),8(—2"0),

loO

因為力M〃BN,所以T^=T^=T7^=*^，

—2V2%2~1~2V2—%2—2V2—2V2

22Z

因此，M,A,M'三點共線，且|BN|=J(尤2+2，1)2+及=J(-x2-272)+(-y2)=|XM|,

設(shè)直線MM'的方程為％=ty+2/1,聯(lián)立C的方程，得(戶+2?2+4，1b一8=0,

則yi+%=一震,y/3=一號'

由(1)可知|4M|=竿氏1—黑I=4—停=\AM'\=4—苧叼，

一苧丁苧尢)一苧-苧)

所以患+患=|4M|+|BN|_(41)+(43_(2ty1)+(2t>3

MMHBNI一("苧巧)(4-*9—(2子丁)(2子墳3)

4一苧?1+為4一爭?(一震)

=1(定值),

2

4-V^t(y1+y3)+1ty1y34-<2t-(-善p+好-(--^)

由橢圓定義|BQ|+\QM\+\MA\=8,得|QM|=8-田Q|-|4M|,

..AM//BN,四1=31=8—|BQ|一|4M|

.AM〃&W,.?出N|-四一\BQ\

(8-\AM\y\BN\

解得田Q|=

\AM\+\BN\

(8-\BN\\\AM\

同理可得

MQ|=~\AM\+\BN\~

斫以“Cl+IRCI—(8-|8N|>|4M|(8-\AM\y\BN\

所以MQI+EQI-MM|+|BN|+MM|+|8N|

_8(|4M|+|BN|)-2|4MHBN|

—\AM\+\BN\

2

=8----1------=8—2=6.

Wi+|F/V)

因為|4B|=4，I,所以AABQ的周長為6+4/1(定值).

22

(ii)當zn>n時，曲線C的方程為今—+”=1,軌跡為雙曲線,

nzmz—nz

根據(jù)⑴的證明，同理可得M,4M'三點共線，且|BN|=MM'|,

設(shè)直線MM'的方程為久=sy+zn,聯(lián)立C的方程,

222222222

得[(TH?—n)s—n]y+2sm(m—n)y+(m—n)=0,

._2sm(m2—n2)_(m2—n2)2(、

,,J71.(源—幾2)S2—TI2，％乃(m2—n2)s2—n2........(*)'

因為|4M|=^x1-n,\BN\=\AM'\=^x3-n,

所以，?1=1?1=|4M|+|4M'|

771八14Ml\BN\\AM\\AM'\\AM\-\AM'\

（I2X1_n）+（!2X3_n）（駟y+Z^）+（嗎+E^）

（和一幾）學3一磔一喘/+吟馬（23+牛馬

_等3+%)+吟敬,

警百力+吟?01+匕)+%登，

將(*)代入上式，化簡得焉+焉=￥，，

、'\AM\\BN\m^—n^

由雙曲線的定義|BQ|+\QM\-\MA\=2n,得|QM|=2n+\AM\-\BQ\,

相提|4M|_|QM|解徨IRCI_(.2n+\AM\\\BN\

根據(jù)兩"W,解侍IBQI-MM+|BN|,

同理根據(jù)需;=湍，解得阿=寫端沖，

斫以MCI*IRHI-

^+\BN\y\AM\(2n+\AM\y\BN\_2n+2\AM\-\BN\

所以MQI+|BQI-MM+|BN|+\AM\+\BN\-\AM\+\BN\

22

Q.2Q.TH2f2m+n

=2n+—i----1—=2n4----------

1I17In

]AM\'T'\BN\

_i

由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，S=^(\AB\+\AQ\+\BQ\)-r,

當S="時，A=h\AB\+\AQ\+|BQ|）=m+常數(shù)）.

乙乙乙ri

因此，存在常數(shù)4使得S=方恒成立，且4=駕直.

19.解析：（1）由題設(shè)可知，正三角形R的對稱變換如下:

繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)變換mi=（；:繞中心。作240。的旋轉(zhuǎn)變換機2=?I:

J.乙/''4?_）.L'

繞中心。作360。的旋轉(zhuǎn)變換爪3