2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的模為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：或選【解析】1．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；2．復(fù)數(shù)的模．2．若α為第四象限角，則（）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)扇形的面積，利用扇形的面積公式求其半徑，再根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式及周長(zhǎng)的求法求周長(zhǎng)即可.【詳解】若扇形的半徑為，而圓心角的弧度數(shù)，則，故，∴扇形的周長(zhǎng).故選：C4．以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)求出，再應(yīng)用兩角差正切公式求值即可.【詳解】由題意知：，而.故選：C5．下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可．【詳解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x）＝cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosxsin（x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選A．【解析】三角函數(shù)的性質(zhì).6．已知向量的夾角為，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，即，則，解得（舍去）或，故選D.7．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】計(jì)算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.8．要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)變換前后的解析式，結(jié)合左加右減、上加下減的原則，即可判斷平移過(guò)程.【詳解】，∴將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，可得.故選：B9．已知函數(shù)，則的最大值是（）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】利用二倍角余弦公式，結(jié)合的值域范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求的最大值.【詳解】，而，∴.故選：C10．如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動(dòng)，則的最大值是（）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】令，由邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上，可得出，的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個(gè)向量，算出它們的內(nèi)積即可．【詳解】解：令，由于，故，，，，故，，故，同理可求得，即，,,，的最大值是2，故選：．二、填空題11．函數(shù)的最小正周期是__________．【答案】【分析】對(duì)給定函數(shù)式用二倍角的余弦公式降冪即可得解【詳解】由已知得：，其最小正周期為.故答案為：12．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.【答案】8.【分析】利用轉(zhuǎn)化得到加以計(jì)算，得到.【詳解】向量則.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.13．已知，，則的值為．【答案】3【詳解】，故答案為3.14．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理將邊化為角，再根據(jù)兩角和正弦公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得cosB的值，即得B角.【詳解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.15．設(shè)，其中，，若對(duì)一切恒成立，則對(duì)于以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④的單調(diào)遞增區(qū)間是．正確的是_______________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．【答案】①③【分析】利用輔助角公式可得且，根據(jù)題設(shè)不等式恒成立可得，再由各項(xiàng)的描述，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)奇偶性定義判斷正誤.【詳解】由題設(shè)，且，∵對(duì)一切恒成立，∴，即，則,①，正確；②，而，所以，錯(cuò)誤；③，故，即是非奇非偶函數(shù)，正確；④因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，令，則等價(jià)于上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；故答案為：①③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用輔助角公式求得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)及不等式恒成立有求值.三、解答題16．已知平面上三點(diǎn)A，B，C．，．（1）若三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件；（2）若中角C為鈍角，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得向量與平行，根據(jù)平行的坐標(biāo)表示即可求出答案；（2）由題意，且向量與不平行，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）由三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，得A，B，C在同一直線上，即向量與平行，∴，解得；（2）當(dāng)角C是鈍角時(shí)，，∴，解得，又向量與不平行，則，綜上：的取值范圍是．17．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)角的范圍，結(jié)合同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系、兩角和正弦公式求值即可；（2）由二倍角正余弦公式求、，應(yīng)用兩角差余弦公式求值即可.【詳解】（1）∵，，∴．∴；．（2）∵，，∴．18．如圖，在中，D為邊BC上一點(diǎn)，，，.（1）若，求的大小；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用誘導(dǎo)公式求出結(jié)果．（2）利用解直角三角形和三角形的面積公式求出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，則，，所以，因?yàn)棣?β∈（0，π），所以，即．（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，因?yàn)?，所以，所以；所以．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，解直角三角形的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用．19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期;（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（1）；（2），【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，化簡(jiǎn)得，即可求解函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）由，得，利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最大值與最小值．試題解析：（1）所以周期為.（2）因?yàn)?，所?所以當(dāng)時(shí)，即時(shí).當(dāng)時(shí),即時(shí).20．在中，，，且，再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）的值；（2）的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）．【分析】選擇條件①，由正弦定理得，再由余弦定理可得，再運(yùn)用面積公式可算出的面積.選擇條件②，由正弦定理得，再由余弦定理算得，再運(yùn)用面積公式可算出的面積.【詳解】解：選條件①：．（1）在中，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，，，所以．化?jiǎn)得，解得或．當(dāng)時(shí)，，與題意矛盾．所以，所以．（2