2020-2021學(xué)年湖北省高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年湖北省高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，，且為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A．6 B． C． D．-6【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù),再利用復(fù)數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的定義求解a即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，，所以，故，因為為純虛數(shù)，所以且解得，故選：A2．下列結(jié)論錯誤的是（）A．圓柱的每個軸截面都是全等矩形B．長方體是直四棱柱，直四棱柱不一定是長方體C．四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體D．用一個平面截圓錐，必得到一個圓錐和一個圓臺【答案】D【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征可判斷A；由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征可判斷B；由多面體的結(jié)構(gòu)特征可判斷C；由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可判斷D.【詳解】A，圓柱的每個軸截面都是全等矩形，A正確；B，底面是四邊形，側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直四棱柱，B正確；C，由六面體的定義，四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體，C正確；D，用一個平行于底面的平面截圓錐，必得到一個圓錐和一個圓臺，D錯誤.故選：D3．已知兩邊所在直線與兩邊所在直線分別平行，若，則（）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】按照兩個角的兩邊的方向分成兩類討論：①都相同或都相反；②一個相同，一個相反．【詳解】解：當(dāng)?shù)膬蛇吪c的兩邊的方向都相同或都向相反時，；當(dāng)?shù)膬蛇吪c的兩邊的方向是一個相同，一個相反時，，故選：B．4．對于任意兩個向量和，下列命題中正確的是（）A．若滿足，且與反向，則B．C．D．【答案】D【分析】利用向量的概念以及向量的平行四邊形法則、三角形法則、向量的數(shù)量積，判斷選項的正誤即可.【詳解】A，因為向量不能比較大小，故A錯誤；B，由向量的三角形法則可知，，故B錯誤；C，，故C錯誤；D，由向量的平行四邊形法則可得，故D正確.故選：D5．若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先對化簡，可得的值，再變形，代值求解可得結(jié)果【詳解】解：由，得，得，所以，故選：A6．在中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，它的面積為，則角A等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)面積公式可得，從而可求出角．【詳解】解：由余弦定理得，又根據(jù)三角形面積公式得，∴，又角為的內(nèi)角，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．將半徑為3圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧長公式可求圓錐的底面半徑r，高h(yuǎn)，進(jìn)而可求內(nèi)切球的半徑R，可求圓錐的內(nèi)切球的體積．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則，∴r＝，h，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則，∴R，故選：B．8．在中，已知點在線段上，點是的中點，，，，則的最小值為（）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】利用三點共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點是的中點，則，又因為點在線段上，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．給出下列命題，其中是真命題的是（）A．純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 B．若，則C．若，則與互為共軛復(fù)數(shù) D．若，則與互為共軛復(fù)數(shù)【答案】AD【分析】A．根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義判斷.B.若，則，與關(guān)系分實數(shù)和虛數(shù)判斷.C.若，分可能均為實數(shù)和與的虛部互為相反數(shù)分析判斷.D.根據(jù)，得到，再用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷.【詳解】A．根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，顯然是真命題；B．若，則，當(dāng)均為實數(shù)時，則有，當(dāng)，是虛數(shù)時，，所以B是假命題；C．若，則可能均為實數(shù)，但不一定相等，或與的虛部互為相反數(shù)，但實部不一定相等，所以C是假命題；D.若，則，所以與互為共軛復(fù)數(shù)，故D是真命題.故選：AD【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)及共軛復(fù)數(shù)的概念，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．三角形有一個角是，這個角的兩邊長分別為8和5，則（）．A．三角形另一邊長為7 B．三角形的周長為20C．三角形內(nèi)切圓周長為 D．三角形外接圓面積為【答案】ABD【分析】利用余弦定理求得第三邊長，由此判斷AB選項的正確性；利用三角形面積列方程，解方程求得內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切圓的周長，由此判斷C選項的正確性；利用正弦定理求得外接圓的半徑，由此求得外接圓的面積，從而判斷D選項的正確性.【詳解】可得另一邊長為，三角形的周長為20，則A正確，B正確；設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，則，則內(nèi)切圓周長為，則C不正確；設(shè)外接圓半徑為，則，,其面積為，則D正確．故選：ABD.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形內(nèi)切圓，外接圓有關(guān)計算.屬于較易題.11．如圖所示，在三棱錐中，，且，為線段的中點.則（）A．與垂直B．與平行C．點到點，，，的距離相等D．與平面，與平面所成的角可能相等【答案】AC【分析】由題設(shè)可證底面，作中點，由中位線定理可證，易證，再由為外心得到三點距離相等，為外心，可證點到點，，，的距離相等；結(jié)合正切定義可證與平面，與平面所成的角不相等【詳解】過點作，垂足為，連接，可得為的中點.因為，所以，所以平面，所以，從而A正確；由條件可知，而與有交點，因而與不平行，B錯誤；點是的外心，所以到，，的距離相等，根據(jù)條件可知平面，從而平面，又因為是的外心，所以點到，，的距離相等，所以點到，，，四點的距離都相等，C正確；與平面所成的角即，與平面所成的角即，，，所以兩個角不可能相等，D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：本題考查錐體基本性質(zhì)的應(yīng)用，線線垂直的證明，兩直線平行的判斷，錐體外接球球心的判斷，線面角大小的判斷，綜合性強，需掌握以下方法：（1）能利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理證明線線垂直；（2）要證兩直線不平行只需證明兩直線或?qū)?yīng)的平行直線相交即可；（3）尋找錐體外接球球心關(guān)鍵在于先尋找底面三角形外接圓圓心，在垂直于底面外接圓圓心的線段上，再尋找跟頂點與底面任意一頂點相等的點.12．已知函數(shù)的部分圖象與y軸交于點，與x軸的一個交點為，如圖所示則下列說法正確的是（）A．的最小正周期為6B．的圖象關(guān)于直線對稱C．將的圖象向左平移1個單位長度得到的是的圖象D．在上單調(diào)遞減【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與y軸交于點，由求得，再由函數(shù)圖象與x軸的一個交點為，結(jié)合求得，從而求得函數(shù)解析式，然后再逐項判斷.【詳解】因為函數(shù)的部分圖象與y軸交于點，所以，因為，所以，又函數(shù)圖象與x軸的一個交點為，所以，則，即，由圖象知，即，所以，則，所以，A.的最小正周期為，故正確；B.因為，所以直線是的一條對稱軸，故正確；C.將的圖象向左平移1個單位長度得到，故正確；D.因為，所以，故錯誤.故選：ABC三、填空題13．已知是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為______.【答案】【分析】依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，，所以，因為所以；故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.14．已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個論斷：①，②，③，④.以其中的兩個論斷作為命題的條件，作為命題的結(jié)論，寫出一個真命題：______.【答案】若，，則【分析】若，，則，運用線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得到結(jié)論.【詳解】解：l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，可得若，，則，理由：在內(nèi)取兩條相交直線a，b，由可得.，又，可得.，而a，b為內(nèi)的兩條相交直線，可得.故答案為：若，，則【點睛】此題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題15．歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)此公式，的最大值為________．【答案】3【分析】由已知得，再利用余弦函數(shù)的值域即可求解.【詳解】，又，即當(dāng)時，取得最大值為3，故答案為：316．已知正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，則該四棱錐外接球的表面積為_______．【答案】【分析】連接交于點，連接，則平面ABCD,易知球心O在線段上，然后在中，由求得球的半徑即可.【詳解】如圖所示：連接交于點，連接，則平面ABCD，因為正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，所以，設(shè)外接球的半徑為R，易知球心O在線段上，在中，，即，解得，所以外接球的表面積為，故答案為：四、解答題17．已知（1）若的夾角為，求;（2）若向量互相垂直，求的值．【答案】（1）2；（2）.【詳解】試題分析：（1）由，結(jié)合已知條件利用向量的數(shù)量積公式能求出結(jié)果．（2）由向量互相垂直的性質(zhì)得，由此能求出k的值．試題解析：（1）∵.∴（2）由題意可得：即－∴∴點睛：平面向量中涉及有關(guān)模長的問題時，常用到的通法是將模長進(jìn)行平方，利用向量數(shù)量積的知識進(jìn)行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一個工具型的知識，具備代數(shù)和幾何特征，在做這類問題時可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，會加快解題速度.18．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．【答案】（1）c＝2；（2）﹣．【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；（2）先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根據(jù)cos2B＝1﹣2sin2B，得解．【詳解】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），整理得，c2+4c﹣12＝0，解得c＝2或﹣6（舍負(fù)），故c＝2．（2）∵cosA＝﹣，且A∈(0，π），∴sinA＝，由正弦定理知，，即，∴sinB＝，∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．19．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點．（1）求證:平面平面；（2）求證:平面；（3）求三棱錐體積．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【詳解】試題分析：（1）由直線與平面垂直證明直線與平行的垂直；（2）證明直線與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因為AB⊥BC，所以AB⊥平面，因為AB平面，所以平面平面.（2）取AB中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因為E，F(xiàn)分別是、的中點，所以FG∥AC，且FG=AC，因為AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因為EG平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因為=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.【解析】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．20．已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，時，的最小值為4，求a的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式為，然后解不等式，可得答案；（2）由計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可求得實數(shù)的值.【詳解】（1），令，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，所以，所以，解得.21．如圖，四邊形是菱形，且，以為交線作平面平面，且側(cè)面是等邊三角形，M為的中點，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）求平面與平面所成銳二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）【分析】（1）證明，利用面面及線面垂直的性質(zhì)定理證明即可.（2）利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理證明即可.（3）由二面角的定義可得即為二面角的平面角即可得解.【詳解】（1）連接，四邊形是菱形，，則為等邊三角形，因為M為的中點，所以，又因為平面平面，且平面平面，所以平面，由平面，所以.（2）是等邊三角形，連接PM，，由，且，則平面，因為平面，則.（3）設(shè)等邊的邊長為，則,因為平面平面，，由（1），（2）得,則即為二面角得平面角，因為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.22．在中，角，，所對邊分別為，，，．（1）設(shè)，，判斷最大時的形狀．（2）若，求周長的取值范圍．【答案】（1）直角三角形；（2）．【分析】（1）由正弦定理化角為邊，利用余