數(shù)學課后導練：數(shù)學歸納法應用舉例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導練基礎達標1。等式12+22+32+…+n2=（5n2—7n+4）（）A.n為任何正整數(shù)時都成立B。僅當n=1,2,3時成立C.當n=4時成立，n=5時不成立D。僅當n=4時不成立解析:當n=1時，左=1=右，成立；當n=2時，左=5=右，成立;當n=3時,左=14=右，成立;當n=4時,左=30≠28=右，不成立。故答案為B.答案:B2.平面內原有k條直線,它們的交點個數(shù)記為f(k），則增加一條直線它們的交點個數(shù)最多為…()A.f（k）+1B。f(k）+kC。f（k）+k+1D。k·f(k）解析:每增加一條直線，它必與其他直線各有一個交點，已有k條.所以增加k個交點,∴交點為f（k)+k.答案：B3。平面上有k（k≥3）條直線,其中有k—1條直線互相平行,剩下一條與它們不平行，則這k條直線將平面分成區(qū)域的個數(shù)為(）A。k B.k+2 C.2k D.2k+2解析：k-1條平行線將平面分為k部分,與其相交一條又將每部分一分為二。答案：C4。用數(shù)學歸納法證明“當n是非負整數(shù)時55n+1+45n+2+35n能被11整除”的第一步應寫成：當n=__________時，55n+1+45n+2+35n=__________=__________，能被11整除。解析：∵n為非負整數(shù)，∴n≥0且n∈N?！鄋0=0。代入得51+42+30=22.答案：051+42+30225。設凸k邊形的內角和為f(k),則凸k+1邊形的內角和f(k+1）=f(k)+__________.解析：由內角和公式（n-2）π,得f(k+1）—f(k)=（k-1）π+(k-2）π=π.答案:π6。用數(shù)學歸納法證明1+2+22+23+…+25n—1（n∈N＊)是31的倍數(shù)時,從“n=k到n=k+1”需添的項是__________.解析:當n=k時,1+2+22+…+25k-1,當n=k+1時,1+2+22+…+25k—1+25k+…+25(k+1）-1,∴增加項為25k+25k+1+…+25k+4。答案：25k+25k+1+…+25k+47。設f（n）=+++…+(n∈N＊),那么f（n+1）-f（n）等于__________.解析：∵f（n)=+++…+,f(n+1)=++…++，∴f（n+1)—f（n)=+—=-.答案:—8.證明12—22+32-42+…+(2n-1）2-（2n)2=-n（2n+1).證明:(1）當n=1時，左邊=12-22=-3,右邊=-1·(2×1+1)=-3，等式成立。（2）假設當n=k時，等式成立,即12—22+32-42+…+（2k-1）2—(2k）2=—k(2k+1）,則當n=k+1時，12—22+…+（2k—1)2—（2k）2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-（2k+2)2=-（k—1）[2（k+1)+1]。由（1）(2）可知，對任何n∈N*,等式成立。9。已知數(shù)列{an｝滿足a1=，且前n項和Sn滿足:Sn=n2an,求{an}的通項公式，并給出證明。解：由已知a1=,Sn=n2an,a1+a2=4a2，a2=a1=，a1+a2+a3=9a3.∴a3=。同理a4=。猜想:an=.下面用數(shù)學歸納法加以證明：（1)當n=1時,a1=,而=，公式成立.（2）假設當n=k時，公式成立，即ak=。當n=k+1時，ak+1=Sk+1—Sk=（k+1）2ak+1-k2ak.ak+1=ak=·=,即當n=k+1時，公式也成立。由(1）（2）可知,對任何n∈N＊公式都成立.綜合運用10。設有通過一點的k個平面，其中任何三個或三個以上的平面不共有一條直線,這k個平面將空間分成f（k）個部分,則k+1個平面將空間分成f（k+1)=f（k)+__________個部分。答案：2k11.平面上原有k個圓，它們的交點個數(shù)記為f（k），則增加第k+1個圓后，交點個數(shù)最多增加__________個。答案：2k12.設數(shù)列｛an｝滿足a1=2,an+1=2an+2，用數(shù)學歸納法證明an=4×2n-1—2的第二步中，設n=k時結論成立,即ak=4×2k—1—2，那么當n=k+1時,__________.解析：ak+1=2ak+2=2(4×2k-1-2)+2=4×2k-2=4×2(k+1）—1—2.答案:4×2（k+1）—1-213.設an=（2n+1)(3n+2),求它的前n項和Sn,并用數(shù)學歸納法證明結論.解:S1=a1=15;S2=a1+a2=55;S3=a1+a2+a3=132。猜想Sn=(4n3+13n2+13n）。證明:(1）n=1時顯然成立。(2)假設n=k時成立,即Sk=（4k3+13k2+13k)，則Sk+1=Sk+ak+1=(4k3+13k2+13k）+（2k+3)(3k+5)=(4k3+13k2+13k)+6k2+19k+15=(4k3+25k2+51k+30)=［4(k+1)3+13（k+1）2+13(k+1）］。∴當n=k+1時也成立。由（1)(2）知,Sn=(4n3+13n2+13n)對任意n∈N＊成立.拓展探究14.用數(shù)學歸納法證明n∈N時，(2cosx-1)(2cos2x—1）…（2cos2n—1·x-1)=.證明:(1）當n=1時,左式=2cosx—1,右式==2cosx—1,即左式=右式.∴等式成立.（2）假設當n=k時等式成立,即（2cosx—1）（2cos2x—1)…(2